摘 要：基于稀疏增強(qiáng)動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解（SPDMD）方法對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流大渦模擬（LES）結(jié)果開展降階模型研究，并將分解結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)DMD方法進(jìn)行比較。結(jié)果表明，動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解方法能提取尾流動(dòng)態(tài)特征，揭示風(fēng)力機(jī)尾流演化規(guī)律。標(biāo)準(zhǔn)DMD方法傾向于選擇具有小尺度和高頻率的模態(tài)，而SPDMD方法選擇具有低頻率的大尺度流動(dòng)特征。相比于標(biāo)準(zhǔn)DMD方法，SPDMD方法在低維子空間上建立風(fēng)力機(jī)非定常尾流場(chǎng)的降階模型，以較少的模態(tài)數(shù)目重構(gòu)和預(yù)測(cè)風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)，可提高計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞：風(fēng)力機(jī)；尾流；動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解；降階模型

中圖分類號(hào)：TK89 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

在風(fēng)電場(chǎng)中，下游風(fēng)力機(jī)通常運(yùn)行在上游風(fēng)力機(jī)的尾流中，因此上游尾流影響下游風(fēng)力機(jī)的發(fā)電效率［1］和動(dòng)態(tài)載荷［2］，尾流效應(yīng)通?？赡軙?huì)對(duì)大型風(fēng)電場(chǎng)造成10%～20% 的發(fā)電量損失［3］。在風(fēng)電場(chǎng)尾流調(diào)控中，準(zhǔn)確的尾流模型是開展分析、控制和優(yōu)化工作的基礎(chǔ)［4］，因此開展風(fēng)力機(jī)尾流模型研究在風(fēng)能技術(shù)應(yīng)用中至關(guān)重要。得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，以大渦模擬（large eddy simulation，LES）為主的高保真數(shù)值模擬已被廣泛用于研究風(fēng)力機(jī)尾流演化的物理過程及尾流特性中［5-6］。然而基于計(jì)算流體力學(xué)方法的仿真手段，不僅計(jì)算量大、耗費(fèi)時(shí)間長，而且難以直接應(yīng)用到優(yōu)化和控制工作中。為了提高非定常流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的分析效率、理解復(fù)雜流場(chǎng)流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，需對(duì)蘊(yùn)含在其中的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行提取。模態(tài)分解技術(shù)能提供從高維、復(fù)雜非定常流場(chǎng)中提取尺度不一的擬序結(jié)構(gòu)及流動(dòng)特征結(jié)構(gòu)的能力，可直觀地展示出非定常流場(chǎng)的時(shí)空發(fā)展演化規(guī)律［7］。同時(shí)通過模態(tài)分解方法得到的高維、非線性復(fù)雜流場(chǎng)的降階模型（reduced-ordermodel，ROM）對(duì)高維流體系統(tǒng)的降維、流場(chǎng)的流動(dòng)預(yù)測(cè)和控制［8］具有重要的意義。

當(dāng)前主要的模態(tài)分解技術(shù)有本征正交分解（properorthogonal decomposition，POD）［9］和動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解（dynamicmode decomposition，DMD）［10］，POD 通過空間正交模態(tài)將非定常流場(chǎng)投影到低維空間上，按能量大小給出流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)，并可通過少量模態(tài)疊加獲得高階流場(chǎng)的近似描述［11］。Tabib 等［12］使用POD 提取了風(fēng)力機(jī)近尾流的高能模態(tài)，發(fā)現(xiàn)1 階POD 模態(tài)就包含了尾流場(chǎng)的大部分能量；Andersen 等［13］發(fā)現(xiàn)POD 方法能以高精度評(píng)估風(fēng)電場(chǎng)；Fortes-Plaza 等［14］通過POD 與卡爾曼濾波結(jié)合對(duì)LES 數(shù)值模擬的風(fēng)力機(jī)尾流建模，提出適用于主動(dòng)偏航尾流調(diào)控的風(fēng)電場(chǎng)降階模型。但是POD 方法得到的模態(tài)包含多種流動(dòng)頻率，不利于尾流特性分析，同時(shí)POD 方法需借助其他方法對(duì)流體系統(tǒng)進(jìn)行降階建模，而這些問題可被DMD 方法克服。DMD 無需依賴任何模型架構(gòu)，是一種直接從高維、大規(guī)模的流場(chǎng)數(shù)據(jù)中提取流場(chǎng)特征的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法，能分析非定常流動(dòng)的主要特征和動(dòng)力學(xué)信息［10］。DMD 方法的本質(zhì)是將非線性動(dòng)力系統(tǒng)映射到一個(gè)無限維的線性空間下，尋找一組低維的子空間作為基底，將高維、復(fù)雜非定常流場(chǎng)表示為這些子空間在新的低維坐標(biāo)系上的疊加，從而在低維線性空間中描述流場(chǎng)發(fā)展演化，其具有時(shí)空耦合建模的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)［15］。Sarmast 等［16］應(yīng)用DMD方法對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流主要?jiǎng)討B(tài)模態(tài)進(jìn)行分析，揭示了尾流不穩(wěn)定的主要原因是葉尖渦的相互不穩(wěn)定性。Debnath 等［17］使用DMD 和POD 方法分析塔筒和機(jī)艙對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流的影響，結(jié)果表明模態(tài)分解技術(shù)能較好地捕捉到尾流渦量結(jié)構(gòu)的波動(dòng)及其不穩(wěn)定機(jī)制。Premaratne 等［18］在中性穩(wěn)定大氣邊界層條件下進(jìn)行風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明DMD 方法能識(shí)別出在包含剪切層的一系列給定感興趣區(qū)域中占主導(dǎo)地位的高能動(dòng)力學(xué)模態(tài)。孫翀等［19］通過DMD 方法對(duì)兩葉片風(fēng)力機(jī)大渦模擬流場(chǎng)進(jìn)行處理，分解的模態(tài)結(jié)果揭示了葉尖渦相互不穩(wěn)定性的機(jī)制。Cassamo 等［20］將Koopman 算子應(yīng)用于風(fēng)電場(chǎng)系統(tǒng)背景下的輸入輸出動(dòng)態(tài)模式分解（IODMD），建立了風(fēng)電場(chǎng)流場(chǎng)降階模型。

在針對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流流動(dòng)構(gòu)建降階模型的過程中，其關(guān)鍵點(diǎn)是保證在最簡化的結(jié)構(gòu)中捕捉到最多的流動(dòng)特征，其本質(zhì)就是DMD 的模態(tài)選擇，即通過選擇最少的模態(tài)數(shù)目，得到一個(gè)非定常尾流場(chǎng)的準(zhǔn)確表達(dá)。由于DMD 方法模態(tài)的排序準(zhǔn)則不唯一或缺乏合理性，無法用有限的模態(tài)數(shù)目選擇出若干個(gè)主要模態(tài)，極有可能挑選出由于誤差引起的衰減率很大的偽模態(tài)，無法識(shí)別出對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)變化起最主要作用的模態(tài)。為了剔除對(duì)流動(dòng)貢獻(xiàn)較弱的特征信息，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)模態(tài)的選取及數(shù)量在流場(chǎng)降階模型的精度和大小之間的平衡，Jovanovic 等［21］提出稀疏增強(qiáng)動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解方法（sparsitypromotingdynamic mode decomposition，SPDMD），該方法是稀疏優(yōu)化方法與標(biāo)準(zhǔn)DMD 方法的結(jié)合。高梅等［22］基于SPDMD 方法分析了200 hPa 急流流場(chǎng)，識(shí)別出流場(chǎng)的主要特征模態(tài)，并應(yīng)用選擇的最優(yōu)模態(tài)在振幅的加權(quán)下建立流場(chǎng)的降階模型能實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)較高精度的重構(gòu)。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，基于SPDMD 方法對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流大渦模擬結(jié)果開展降階模型研究，評(píng)估SPDMD 方法提取尾流流動(dòng)特征、揭示尾流時(shí)空演化規(guī)律的優(yōu)越性。構(gòu)建基于SPDMD 方法的動(dòng)態(tài)尾流模型，對(duì)比真實(shí)尾流場(chǎng)與建模尾流場(chǎng)的特性差異。

1 分析方法

1 分析方法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)DMD

通過實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬得到時(shí)間間隔為Δt 的N 個(gè)時(shí)刻的流場(chǎng)快照，按時(shí)間序列表示為：

XN ={x1， x2， x3，…， xN } （1）

式中：xi——第i（i =1，2，…，N）個(gè)時(shí)刻的流場(chǎng)狀態(tài)值。

考慮到流場(chǎng)的連續(xù)變換，假設(shè)瞬時(shí)流場(chǎng)與線性算子A 近似相關(guān)：

xi +1 =Axi （2）

式中：A——系統(tǒng)矩陣。

DMD 方法致力于求解A 的特征值和特征向量，提取出主要模態(tài)，從而獲得流場(chǎng)的動(dòng)態(tài)特征。由于系統(tǒng)矩陣A 是高維矩陣，難以直接計(jì)算，需利用降階方法從數(shù)據(jù)序列中計(jì)算A 的相似矩陣。根據(jù)數(shù)據(jù)序列構(gòu)造兩個(gè)快照矩陣：

X1 ={x1， x2， x3，…， xN -1 } （3）

X2 ={x2， x3， x4，…， xN } （4）

結(jié)合式（2）可知：

X2 =[ x2， x3， x4，…， xN ]=[ Ax1， Ax2， Ax3，…， AxN -1 ]=AX1（5）

由于數(shù)值穩(wěn)定性，基于奇異值分解（SVD）的標(biāo)準(zhǔn)DMD 算法被廣泛接受。對(duì)快照矩陣X1 做SVD 分解得到：

X1 =UΣV T （6）

A 可由相似矩陣A?代替：

A =UA?UT （7）

式中：Σ——對(duì)角矩陣；U 和V——酉矩陣；其中U 包含了數(shù)據(jù)序列的空間結(jié)構(gòu)，Σ、V 包含了數(shù)據(jù)序列的時(shí)空演變特征。

相似矩陣A? 通過最小化X2 和AX1 之差的Frobenius 范數(shù)來確定：

minimize A ||X2 -AX1||2F （8）

將式（6）和式（7）代入得：

minimize A? ||X2 -UA?ΣV T||2F （9）

式（9）的最優(yōu)解A?為：

A?=UT X2VΣ-1 （10）

計(jì)算A?的特征值μj 和特征向量wj：

A?wj =μj wj （11）

定義DMD 的模態(tài)Φj 為：

Φj =Uwj （12）

至此可得到流場(chǎng)數(shù)據(jù)序列的動(dòng)力學(xué)模態(tài)，根據(jù)相似矩陣A?可進(jìn)一步估計(jì)流場(chǎng)隨時(shí)間的演化過程。

如果A?有一整套線性獨(dú)立的特征向量{ w1，w2，…，wr }及相應(yīng)的特征值為{ μ1，μ2，…，μr }，該特征值包含動(dòng)力學(xué)模態(tài)的時(shí)間頻率和增長/衰減率等信息，則A?可表示為以下對(duì)角形式：

式中：{ q*1 ， …， q*r }——伴隨矩陣A?* 的特征向量。

對(duì)于任意時(shí)刻的流場(chǎng)快照：

xt ≈UWDtμQ*UT x1 =Σi =1rΦi μtiαi， t ∈{0，…， N -1} （14）

對(duì)于每個(gè)αi，可認(rèn)為是相應(yīng)的DMD 模態(tài)的振幅，那么快照矩陣可寫為：

式（15）表明流場(chǎng)演化過程由范德蒙矩陣控制，Vand 包含了相似矩陣A?的r 個(gè)特征值{ μ1，μ2，…，μr }。

1.2 稀疏增強(qiáng)DMD

SPDMD 算法著重于選擇對(duì)流動(dòng)貢獻(xiàn)強(qiáng)、對(duì)流場(chǎng)近似精確高的動(dòng)力學(xué)模態(tài)子集，從而捕捉流動(dòng)的主要特征結(jié)構(gòu)。該算法主要包含確定稀疏結(jié)構(gòu)和振幅修正兩步。

1）確定稀疏結(jié)構(gòu)，目的是在人為選擇的動(dòng)力學(xué)模態(tài)數(shù)目Nz 和流場(chǎng)近似誤差之間實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。

式中：J （α ）—— 流場(chǎng)近似誤差的目標(biāo)函數(shù)，J （α ）=｜｜ ΣV* -WDαVand ｜｜2F；γ——正則化參數(shù)，γ 值越大，α 中非零元素?cái)?shù)量越少，得到的α 越稀疏，從而實(shí)現(xiàn)稀疏結(jié)構(gòu)的建立。

3 結(jié)果分析

3.1 模態(tài)分析

在數(shù)值模擬基礎(chǔ)上提取風(fēng)力機(jī)輪轂高度處尾流場(chǎng)共2500 個(gè)流動(dòng)快照，其中前2000 個(gè)快照用于構(gòu)造快照序列，基于SPDMD 方法進(jìn)行流動(dòng)特性建模，后500 個(gè)快照用于檢驗(yàn)針對(duì)復(fù)雜流動(dòng)所構(gòu)建的降階模型的準(zhǔn)確性。

圖3a 為應(yīng)用DMD 方法得到的動(dòng)力學(xué)模態(tài)振幅與相應(yīng)的頻率Im（ln（μi））之間的關(guān)系，模態(tài)振幅以f =0 呈軸對(duì)稱分布，且在f =0 處存在一個(gè)峰值，這是由于DMD 方法得到的動(dòng)力學(xué)模態(tài)為共軛模態(tài)。圖3b 為應(yīng)用DMD 方法得到的動(dòng)力學(xué)模態(tài)振幅與相應(yīng)增長率Re（ln（μi））的依賴關(guān)系，可見大部分模態(tài)位于增長率為0 的附近，表明大部分模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài)。由圖3 可見，僅通過觀察來識(shí)別對(duì)尾流場(chǎng)近似精確高的動(dòng)力學(xué)模態(tài)子集存在較大難度。

如圖4 所示，參數(shù)γ 的變化實(shí)現(xiàn)了稀疏結(jié)構(gòu)的建立，γ 值越大，模態(tài)振幅α 中非零元素?cái)?shù)量越少，得到的α 越稀疏，選擇的動(dòng)力學(xué)模態(tài)數(shù)量N2 越少，代價(jià)是對(duì)原始尾流場(chǎng)的近似精度損失Ploss 越高。

為研究SPDMD 方法得到的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)降階模型隨模態(tài)數(shù)目增加的收斂性，定義損失函數(shù)為［25］：

圖5 顯示了SPDMD 方法損失函數(shù)隨選擇的DMD 模態(tài)數(shù)目的收斂情況。模態(tài)振幅α 中非零元素?cái)?shù)量越多，保留的動(dòng)力學(xué)模態(tài)數(shù)目越多，對(duì)原始尾流場(chǎng)近似精度損失越小，質(zhì)量越高。由圖5 可見，當(dāng)Nz =47，即保留47 個(gè)動(dòng)力學(xué)模態(tài)時(shí)，原始尾流場(chǎng)近似誤差下降到8.0%；當(dāng)Nz =123，保留123個(gè)動(dòng)力學(xué)模態(tài)時(shí)，原始尾流場(chǎng)近似誤差下降到3.8%。所以基于SPDMD 方法，能在模態(tài)數(shù)目和近似精度中選出一組最佳解，在保障近似尾流場(chǎng)精度較高的前提下，利用保留的非零模態(tài)建立的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)降階模型復(fù)雜度更低。

由標(biāo)準(zhǔn)DMD 方法產(chǎn)生的模態(tài)特征值（圓圈）以及由SPDMD 方法選擇的Nz 個(gè)模態(tài)特征值子集（十字）如圖6 所示，其中虛線為單元圓。單位圓內(nèi)部的特征值代表衰減模態(tài)，只影響尾流時(shí)間的演化的早期階段，隨著時(shí)間演變其結(jié)構(gòu)逐漸衰減，導(dǎo)致對(duì)尾流的作用減小，此類衰減模態(tài)的振幅∣αi∣ 可能較大，見圖3b，單位圓附近的特征值代表穩(wěn)定模態(tài)，其衰退速率小于單位圓內(nèi)部的模態(tài)?？梢妿缀跛刑卣髦刀贾糜趩挝粓A上及圓內(nèi)，這表明各階模態(tài)都為穩(wěn)定模態(tài)。

SPDMD 不是只關(guān)注振幅最大的模態(tài)，而是識(shí)別對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)序列時(shí)間演化過程中影響最大的模態(tài)。由圖6 可見，隨著Nz 的減小，所選模態(tài)子集更加接近單位圓，越來越集中在低頻模態(tài)上。當(dāng)保留的模態(tài)數(shù)目Nz =3 時(shí)，選擇的模態(tài)為一個(gè)零頻模態(tài)和一對(duì)共軛穩(wěn)定模態(tài)，零頻模態(tài)為周期性穩(wěn)定模態(tài)，代表尾流的平均流，包含流場(chǎng)的主要結(jié)構(gòu)。所保留的3階模態(tài)都集中于低頻區(qū)域，可看出SPDMD 使用最普遍的模態(tài)結(jié)構(gòu)來近似數(shù)據(jù)序列。

圖7 為由標(biāo)準(zhǔn)DMD 方法產(chǎn)生的模態(tài)振幅（圓圈）以及由SPDMD 方法選擇的Nz 個(gè)模態(tài)振幅（十字）與其對(duì)應(yīng)頻率的關(guān)系。模態(tài)振幅的絕對(duì)值隨頻率的增大逐漸減小，即高頻模態(tài)在尾流整個(gè)時(shí)間演變過程中作用逐漸減小，所以在SPDMD方法中，隨著所保留的模態(tài)數(shù)量Nz 的減少，保留的動(dòng)力學(xué)模態(tài)越來越集中于低頻率區(qū)域。經(jīng)過振幅優(yōu)化修正后，標(biāo)準(zhǔn)DMD 方法得到的模態(tài)振幅與SPDMD 方法得到的模態(tài)振幅存在一定差異。

3.2 模態(tài)系數(shù)及空間結(jié)構(gòu)

表2 為DMD 和SPDMD 方法得到的風(fēng)力機(jī)尾流的前7階模態(tài)信息，其中1 階模態(tài)為零頻模態(tài)，表征風(fēng)力機(jī)尾流的平均流，包含了尾流的主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)。2～7 階模態(tài)均為共軛模態(tài)，增長率為負(fù)，為穩(wěn)定模態(tài)，隨著時(shí)間的演化，模態(tài)結(jié)構(gòu)呈緩慢衰減趨勢(shì)。DMD 方法中第2 階模態(tài)為由于數(shù)值誤差引起的偽模態(tài)，即衰減率很快的數(shù)值模態(tài)，對(duì)尾流場(chǎng)發(fā)展貢獻(xiàn)較??；第2、3 階模態(tài)均為高頻模態(tài)，其為按振幅排列得到的瞬時(shí)數(shù)值模態(tài)，其存在主要是為了補(bǔ)償風(fēng)力機(jī)尾流重構(gòu)的殘差。而SPDMD 中各階模態(tài)增長率均較小，未捕捉到瞬時(shí)模態(tài)；模態(tài)增長率全為負(fù)值，隨著時(shí)間的演變其結(jié)構(gòu)緩慢衰減，對(duì)尾流的影響逐漸減??；且前7 階模態(tài)都集中于低頻區(qū)域，代表了尾流場(chǎng)的大尺度流動(dòng)特征。相較于DMD 方法，SPDMD 方法在模態(tài)選擇上具有較強(qiáng)的魯棒性，剔除了對(duì)流動(dòng)貢獻(xiàn)較弱的特征信息，在風(fēng)力機(jī)尾流模型研究上展現(xiàn)出更高的優(yōu)越性。

為了揭示各階模態(tài)在風(fēng)力機(jī)尾流發(fā)展過程的作用，定義模態(tài)系數(shù)為：

bi =αiexp{[ln （ μ ] } i ）/Δt t （27）

圖8 展示了第2～7 階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)隨時(shí)間的發(fā)展過程。由圖8a 可看出，DMD 得到的第2、3 階瞬時(shí)數(shù)值模態(tài)系數(shù)收斂速度較快，對(duì)尾流場(chǎng)流動(dòng)貢獻(xiàn)較小，這些模態(tài)對(duì)于樣本空間之外的尾流預(yù)測(cè)不產(chǎn)生影響，且2～7 階模態(tài)在300 s時(shí)已收斂到0，無法表征風(fēng)力機(jī)尾流在整個(gè)樣本段的流動(dòng)過程。由圖8b 可看出，SPDMD 各階模態(tài)系數(shù)都隨時(shí)間呈緩慢收斂的趨勢(shì)，各階模態(tài)增長率的絕對(duì)值大小依次為第7 階gt;第4 階gt;第6 階gt;第5 階gt;第2 階gt;第3 階，對(duì)應(yīng)于圖中7 階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)衰減最快，3 階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)衰減最慢，各階模態(tài)在時(shí)間演變過程中對(duì)尾流的作用逐漸減小。

在空間上，低頻模態(tài)代表風(fēng)力機(jī)尾流大尺度的運(yùn)動(dòng)特征，高頻模態(tài)代表尾流小尺度的運(yùn)動(dòng)特征。模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)分布只是體現(xiàn)SPDMD 方法對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流演化規(guī)律的提取。通過SPDMD 方法得到的前4 階主要?jiǎng)恿W(xué)模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)分布如圖9 所示，模態(tài)空間結(jié)構(gòu)分布經(jīng)過歸一化處理。選擇的前4 階模態(tài)均為低頻模態(tài)，因此模態(tài)空間分布中大尺度結(jié)構(gòu)較多，小尺度結(jié)構(gòu)少。圖9a 中1 階模態(tài)為整個(gè)流場(chǎng)的均值，包含風(fēng)力機(jī)尾流的主要結(jié)構(gòu)。對(duì)于2 階模態(tài)，捕捉到了在流向和徑向上高值和低值交替出現(xiàn)的大尺度渦旋結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)剪切層及其失穩(wěn)后的大尺度渦環(huán)。3 階模態(tài)中，空間結(jié)構(gòu)變小，渦旋結(jié)構(gòu)明顯，捕捉到了在流向和徑向上高值和低值交替出現(xiàn)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，隨著尾流向下游發(fā)展演化，環(huán)狀結(jié)構(gòu)逐漸膨脹。4 階模態(tài)中，尾流場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，尺度進(jìn)一步減小，渦旋尺度也減小。隨著模態(tài)階數(shù)的升高，模態(tài)空間結(jié)構(gòu)分布中的渦旋尺度逐漸減小，結(jié)構(gòu)更清晰，分布更加雜亂，這與模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率的變化有關(guān)。不同的模態(tài)代表了尾流場(chǎng)不同空間尺度的流動(dòng)規(guī)律，尾流場(chǎng)可視作在基本流動(dòng)結(jié)構(gòu)上疊加不同頻率的動(dòng)力學(xué)模態(tài)，因此可將復(fù)雜的非定常尾流場(chǎng)轉(zhuǎn)化為若干主要流動(dòng)模態(tài)隨時(shí)間的演化。

3.3 尾流場(chǎng)重構(gòu)與預(yù)測(cè)

為進(jìn)一步論證DMD/SPDMD 方法對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)提取效果，分別建立DMD/SPDMD 降階模型，并對(duì)樣本空間內(nèi)120 s 時(shí)刻的尾流場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)。圖10 展示了樣本空間內(nèi)的重構(gòu)特性，當(dāng)保留403 個(gè)動(dòng)力學(xué)模態(tài)時(shí)，兩種模型重構(gòu)的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)形態(tài)與真實(shí)時(shí)刻尾流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)特征基本吻合，這些特征包括速度時(shí)空分布不均、尾流彎曲等；隨著選擇的模態(tài)數(shù)目的減少，當(dāng)保留47 個(gè)動(dòng)力學(xué)模態(tài)時(shí)，DMD 降階模型無法重構(gòu)出尾流的小尺度渦旋結(jié)構(gòu)，模型重構(gòu)的尾流場(chǎng)的精度降低。圖10c 展示了DMD 方法的重構(gòu)特性，DMD方法在模態(tài)數(shù)目較多時(shí)，對(duì)尾流場(chǎng)重構(gòu)誤差較??；但模態(tài)數(shù)目較少時(shí)，只能保留尾流彎曲這一主導(dǎo)特性，重構(gòu)尾流場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)清晰度較低，誤差較大。SPDMD 利用振幅修正過程，根據(jù)各模態(tài)的重要性，得到更合理的模態(tài)順序，選擇主要的動(dòng)力學(xué)模態(tài)，通過優(yōu)化過程進(jìn)一步調(diào)整振幅，從而建立風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)的降階模型。圖10b 展示了SPDMD 方法的重構(gòu)特性，在模態(tài)數(shù)目較多時(shí)，對(duì)尾流場(chǎng)重構(gòu)誤差更?。皇褂幂^少數(shù)量模態(tài)時(shí)，重構(gòu)的尾流場(chǎng)則具有更高的精度，且與真實(shí)尾流場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)基本吻合。所以在使用相同模態(tài)數(shù)目時(shí)，SPDMD 方法構(gòu)建的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)降階模型較DMD 方法的精度更高，且很大程度減少了計(jì)算資源。為評(píng)估SPDMD 方法在尾流場(chǎng)重構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)，表3 給出了不同模態(tài)DMD/SPDMD 降階模型的平均相對(duì)誤差。平均相對(duì)誤差定義為：

式中：N—— 快照的數(shù)量；XiCFD 和XiROMF——CFD 計(jì)算和DMD、SPDMD 方法重構(gòu)的第i 個(gè)尾流場(chǎng)快照。

由表3 可見，兩種方法重構(gòu)的尾流場(chǎng)均存在一定的誤差，這是由于風(fēng)力機(jī)后的尾流湍流度較大，渦旋結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，重構(gòu)的尾流場(chǎng)空間結(jié)構(gòu)清晰度較低，分布較為紊亂。與DMD 方法相比，SPDMD 方法的結(jié)果表明，當(dāng)模態(tài)數(shù)目較少時(shí)，其平均相對(duì)誤差較小。SPDMD 方法實(shí)現(xiàn)了更低的擬合誤差，重構(gòu)的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)精度更高。

基于所構(gòu)建的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)降階模型，對(duì)樣本空間外492、528 s 時(shí)刻的尾流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖11 展示了樣本空間之外的模型預(yù)測(cè)特性。在樣本空間外，預(yù)測(cè)的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)與真實(shí)尾流場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)基本吻合，當(dāng)尾流進(jìn)一步演化時(shí)，風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)降階模型能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出尾流場(chǎng)的主要流動(dòng)特性。

為比較SPDMD 方法在尾流場(chǎng)預(yù)測(cè)上的優(yōu)勢(shì)，圖12 進(jìn)一步給出了樣本預(yù)測(cè)段通過DMD、SPDMD 方法得到的均方根誤差云圖。均方根誤差定義為：

式中：Np——預(yù)測(cè)快照的數(shù)量；xCFD （i） 和xd （i）——CFD 計(jì)算和DMD、SPDMD 方法預(yù)測(cè)的第i 個(gè)尾流場(chǎng)快照。

由圖12 可見，兩種方法預(yù)測(cè)的尾流場(chǎng)均存在一定誤差，這與尾流的時(shí)間演化以及尾流湍流度等因素相關(guān)。在樣本預(yù)測(cè)段，模態(tài)數(shù)目相同時(shí)，DMD 方法的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為12.57%，而利用SPDMD 方法通過振幅修正優(yōu)化后建立的降階模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為9.96%，預(yù)測(cè)尾流場(chǎng)的均方根誤差降低了2.6%。相較而言，SPDMD 方法實(shí)現(xiàn)了更低的擬合誤差，預(yù)測(cè)的風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)精度更高。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流大渦模擬結(jié)果開展降階模型研究，基于SPDMD 方法提取尾流場(chǎng)主要流動(dòng)特征，揭示尾流時(shí)空演化規(guī)律。結(jié)果表明：

1）SPDMD 方法能優(yōu)化選出尾流場(chǎng)的主要模態(tài)，剔除了對(duì)流動(dòng)貢獻(xiàn)較弱的特征信息。分解得到的不同的模態(tài)代表了尾流場(chǎng)不同空間尺度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，風(fēng)力機(jī)尾流場(chǎng)可視作在基本流動(dòng)結(jié)構(gòu)上疊加不同頻率的動(dòng)力學(xué)模態(tài)。

2）基于SPDMD 方法構(gòu)建的降階模型，實(shí)現(xiàn)了尾流場(chǎng)的準(zhǔn)確重構(gòu)與預(yù)測(cè)，在樣本預(yù)測(cè)段，模態(tài)數(shù)目相同時(shí)，SPDMD 較DMD 方法預(yù)測(cè)尾流場(chǎng)的均方根誤差降低了2.6%。

3）構(gòu)建的降階模型可用于尾流快速計(jì)算，具有一定的工程參考價(jià)值。

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