單元整體教學是初中數學高效教學活動中重要的模式之一，相比較以往單一課時教學活動而言，單元整體教學立足全局視角，解讀單元整體內容，分析學生學情，設計單元整體教學目標，制定單元教學流程，分析單元整體教學方法，設計單元整體活動等，從全局角度思考如何科學設定單元整體教學模式，多措并舉共同促進初中數學大單元教學質量的提升。

【教材分析】

“勾股定理”是數與形的第一定理，古今中外無數學者對其進行了研究與證明。它刻畫了直角三角形的三邊關系，由“形”定“數”，體現了“數”與“形”的完美結合。勾股定理蘊含著豐富的歷史文化內涵，推進了數的發(fā)展，不僅在數學領域有著重要地位，還在其他學科領域中被廣泛應用。人教版“勾股定理”包含勾股定理及其逆定理等相關內容，是在學生學習了三角形、二次根式等內容之后展開的學習，是對三角形性質的深入學習，其中包含對勾股定理的探索、發(fā)現以及證明的過程，蘊含了從特殊到一般的數學思想，逆定理的證明則體現了數學思維的嚴謹性。勾股定理及其逆定理的學習加深了學生對直角三角形的認識，為后續(xù)矩形、二次函數綜合運用等內容的學習奠定了基礎。

【學情分析】

“勾股定理”是初中階段的重難點內容，學生在勾股定理之前學習了三角形、二次根式的相關知識，從幾何角度對三角形的相關知識進行了分析，從代數角度了解了二次根式的相關內容，為學生學習勾股定理奠定了良好的基礎。八年級階段的學生，從學習興趣、學習心理等諸多方面分析，具有好奇、好強、思維活躍等特征。因此在“勾股定理”的學習與實踐過程中，教師可以充分尊重學生主體，創(chuàng)設符合學生學習的多樣化數學學習與活動平臺，通過整個單元的學習，學生深入理解勾股定理相關知識。

【教學目標】

1.經歷勾股定理的探索過程，感受勾股定理反映的直角三角形三邊之間的數量關系，從而在探究過程中進一步發(fā)展學生的空間觀念。

2.體驗勾股定理的驗證過程，使學生經歷猜想—推理—驗證的學習過程，體會數形結合、從特殊到一般的數學思想。

3.經歷多角度思考問題、解決問題的過程，體驗解決問題的多樣化思路，拓展學生思考問題的思維方式。

4.掌握直角三角形的性質和判定，對勾股數的概念有深刻理解，能夠清晰認知勾股定理和逆定理之間的關系，并能用相關知識解決實際問題。

（設計意圖：單元整體教學目標的設計是以核心素養(yǎng)為依據，綜合分析單元整體內容，隨后制定系統(tǒng)的目標。深度學習視角下的單元整體教學以學生需求為本，使得課堂教學目標更加明確。不僅如此，在目標設定過程中，教師也明確了本單元學習的重難點內容，使學生能夠進一步明確單元整體學習目標以及要達到的學習水平。）

【教學建議】

1.滲透數學文化，讓學生在學習過程中獲取更多的與勾股定理相關的知識，以增加學生與勾股定理相關的知識背景，為探究學習奠定基礎。

2.以思維培養(yǎng)為基礎，鼓勵學生在體驗、探索、應用過程中深入體會勾股定理的相關內容，使學生深入體會從特殊到一般的數學思想。

3.將學生分為學習小組，結合具體案例將抽象的概念具體化，幫助學生加深對知識的理解深度。

4.加強數學思想方法的滲透。通過勾股定理在幾何問題中的應用，滲透數形結合思想、方程與函數思想、數學建模思想。

【單元整體教學流程】

【教學過程】

（一）探索勾股定理

1.整體導入環(huán)節(jié)

首先，從三角形的邊角關系入手，引出學習勾股定理的必然性。（三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊……）教師還可以提出操作任務：分別以3厘米、4厘米為直角邊做一個直角三角形，量一量斜邊的長度，并猜想這個直角三角形三邊有怎樣的數量關系。

其次，通過上述操作活動，教師鼓勵學生以小組為單位進行設計與測量，再通過類似問題的探討，如將直角三角形兩個直角邊的長改為6厘米和8厘米，那么斜邊的長度是多少呢？這個直角三角形三邊的關系與上一個直角三角形的三邊關系相同嗎？通過銜接活動引導學生猜想學習結論，合理歸納直角三角形三邊數量關系，為后續(xù)探究奠定基礎。

2.小組合作，探究學習

首先，教師設計探究任務，鼓勵學生通過合作學習的方式對教師出示的問題進行合作討論，給出教材第23頁“探究”板塊圖形，提出問題。如，方格圖中含有幾個正方形，那么此正方形的面積為幾個單位面積等，通過提出問題的方式，引導學生認真觀察圖片內容，并填寫表格，使學生在觀察、分析、數數的過程中探究數與形之間的相互轉化，體會數形結合的奧秘。

其次，在第一環(huán)節(jié)圖片觀察與討論的基礎上，初步提煉勾股定理的大致內容，隨后讓學生說一說自己在第一環(huán)節(jié)中的收獲，并用數學語言進行總結，如SA+SB=SC，初步歸納出勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（等腰直角三角形、一般直角三角形）。通過這一環(huán)節(jié)的設計，學生探究“從特殊到一般”的數學思想方法。

最后，教師鼓勵學生用數學語言對勾股定理進行轉化、表達，使其通過表達方式的轉變，體會數學知識的奧秘。在此環(huán)節(jié)中，教師承接上述環(huán)節(jié)中總結的規(guī)律，讓學生用符號語言正確表達勾股定理的相關表達以及形式變換，感悟“形變質通”的數學思想方法。如文字語言：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。符號語言：∠C=90°。（已知）那么a2+b2=c2（c2-a2=b2等）。

3.驗證定理，提升能力

首先，教師出示“趙爽弦圖”，并借助多媒體引入數學文化，引導學生說一說自己對于“趙爽弦圖”的理解，以及其中蘊含哪些知識。

其次，教師鼓勵學生借助“趙爽弦圖”驗證勾股定理，將學生分成學習小組，然后根據三個正方形邊長之間的數量關系，最終得出勾股定理。在討論過程中，教師引導學生用“內嵌法”“外鑲法”兩種方法借助“趙爽弦圖”證明勾股定理，深入理解“形變質通”的思想方法。

最后，教師出示加菲爾德證明勾股定理的相關圖形，引導學生從另外的角度進行驗證，“拼梯形圖”的方式感受“總統(tǒng)證明法”。這一過程可以充分利用電子白板，通過線上、線下融合活動的方式，有效調動學生主動參與課堂活動的積極性。

4.簡單應用，建構體系

首先，出示典型例題：“如果從電線桿離地面8 m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6 m，那么需要多長的鋼索？”通過典型例題的運用，引導學生深入理解知識內涵，遷移應用數學知識解決問題，感受勾股定理的內涵。

其次，以小組為單位，分別對整堂課的知識進行梳理分析，用自己的方式呈現知識之間的聯系，同時交流自己的感受，以及還有哪些問題想要深入了解。

（設計意圖：單元整體視角下，探索勾股定理1課時內容設計，按照“課堂導入—深入理解—遷移應用”這一思路，打破了傳統(tǒng)勾股定理數格子總結勾股定理的傳統(tǒng)方式，引導學生在實際操作、數據猜想中發(fā)現勾股定理；將正方形、梯形面積等內容與勾股定理聯系起來，引導學生建立知識之間的必然聯系，從而將定理知識內化。在深入探究環(huán)節(jié)，以教材內容為基礎，但是并沒有被教材內容束縛，而是將內容適當整合，通過問題引導，使學生經歷觀察、操作、發(fā)現、猜想、驗證的過程，實現了單元整體視角下教與學的創(chuàng)新。）

（二）一定是直角三角形嗎

1.溫故知新

通過問題引導的方式，回顧現階段學生掌握的知識：

問題1：直角三角形有哪些性質？

問題2：如何判斷三角形是直角三角形？

在上述兩個問題的基礎上，教師引出古埃及人得到直角的方法：“用13個等距的結，把一根繩子分成等長的12段，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角?！苯處熡靡曨l動畫演示整個過程，隨后請學生觀察這個三角形三邊的關系。

2.畫一畫

教師給出幾組不同數字，學生以小組為單位，結合數據進行畫圖分析，看看是不是所給出的幾組數字都能構成直角三角形。

①5，12，13；②6，8，10；③7，24，25；④2.5，6，6.5。

問題1：這幾組數字都滿足勾股數嗎？

問題2：根據以上數字畫出的三角形都是直角三角形嗎？

通過觀察、繪畫的過程，檢驗學生對勾股定理知識的掌握程度。

3.說一說

問題1：你從上面幾個例子發(fā)現了什么？說一說自己的觀點。

此時學生可以自由發(fā)言，根據溫故知新、畫一畫兩個環(huán)節(jié)，說一說自己得出的觀點：如果三角形的三邊長為a、b、c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。

問題2：你知道如何判定一個三角形是不是直角三角形嗎？

通過問題2的引導，聯系問題1，學生可以清晰地了解勾股定理以及逆定理之間的互逆關系，進一步加深對勾股定理的認知。

4.做一做

教師通過典型例題，引導學生將課堂所學知識應用于例題活動中，從而更進一步深化學生對勾股定理逆定理的理解深度。

例題1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。

（1）a=15 cm，b=8 cm，c=17 cm；（2）a=13 cm，b=15 cm，c=14 cm。

例題2：在三角形ABC中，a=15 cm，b=17 cm，c=8 cm，求這個三角形的面積。

教師設計例題，引導學生將課堂所學內容應用于例題解答過程中，在例題設計中還可以延伸到生活場景中，檢驗學生能否將知識融會貫通。

（設計意圖：本堂課內容的設計同樣使學生經歷了探索、猜想、歸納、驗證、應用、拓展的過程，將直角三角形的判定等內容融會貫通，并應用于實踐活動中，達到提高學生應用勾股定理逆定理解決問題能力的目的。）

（三）勾股定理的應用

1.情境創(chuàng)設：怎么走最近

如圖1，從教學綜合樓的B點走到二教學樓的A點，你知道怎么走最近嗎？（預設：兩點之間線段最短。）

（設計意圖：通過創(chuàng)設生活情境，學生初步認識到兩點之間線段最短，為后續(xù)探究合作做好充分準備。）

2.小組合作，深度探究

情境創(chuàng)設：小螞蟻從一個高是12 cm，底面上圓的周長等于18 cm的圓柱上運動，如果螞蟻在圓柱下底面的點A處，但是它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側面爬行到B點，求其爬行的最短路程是多少？

關于最短距離的問題是勾股定理延伸問題中的重難點問題，也是易錯點，針對這一情境設計，教師可以將學生分為幾個探究小組，然后讓學生先根據自己的理解進行探究，在探究過程中，可根據學生的不同學習能力給出適當的提示。

提示1：觀察手里的圓柱體（每個小組一個），你能畫出幾條路線呢？你覺得哪條路線最短呢？

提示2：我們曾經學習過圓柱體的展開圖，那么在展開圖上你能找到B點的對應位置嗎？請嘗試畫出圓柱體的展開圖，標出B點位置。

提示3：在展開圖中從A點到B點的最短距離如何確定？

提示4：在圓柱體中，螞蟻從A到B的最短路線，你覺得是哪一條呢？它沿側面爬行了多少距離？

（設計意圖：最短距離問題是勾股定理中比較典型的變式問題，通過最短距離問題的設計，一方面能夠檢驗學生對本單元知識的學習深度，另一方面也能夠將本單元所學知識融會貫通，并運用于實際問題的解決過程中。在這一過程中，學生再次經歷猜想、驗證、實踐、反思的過程，對學生而言也是知識理解、內化的過程。）

3.遷移運用，全面提升

拓展問題1：長方體的底面邊長分別為1 cm和3 cm，高為6 cm，如果一只螞蟻從點A開始經過4個側面爬行一圈到達點B，那么螞蟻爬行的最短路徑長為多少？

拓展問題2：一個三級臺階，每級臺階長、寬、高分別為2 dm、3 dm、2 dm，一只螞蟻想從A點爬到其對應B點，你能幫螞蟻設計一條最短的路線嗎？求出最短路線的長。

這一環(huán)節(jié)問題設計中，教師可以采用分層設計的方式。能力較強的學習小組，學生可以自主作圖，如果小組學生能力相對較差，那么需要教師給出立體圖和平面圖，并標注相應的數據內容，學生根據教師標注、提示，嘗試解決問題。

（設計意圖：通過設計分層活動，不僅實現了因材施教，還將本單元知識與相關知識點系統(tǒng)串聯起來，使學生在解決問題的過程中建構知識體系，有效提升學生學習質量。）

【教學反思】

深度學習視角下單元整體教學設計是將單元內容看作一個整體，從整體角度對本單元知識進行綜合整理與分析，制定單元整體教學目標，根據學情確定單元整體教學流程，設計驅動任務引導學生自主、合作、探究完成單元學習目標；在此基礎上，教師設計了系統(tǒng)多樣的拓展活動，將課堂知識應用于多層次問題解決過程中，使學生經歷知識的內化、遷移、應用過程，最終達到提升學生學習質量的目的。

在后續(xù)單元整體教學活動中，教師還可以添加單元評價以及單元作業(yè)設計與實施環(huán)節(jié)，將評價活動與課堂教學活動銜接起來，使學生更加了解自己的學習目標，明確課堂活動的方向。教師通過單元作業(yè)的設計，檢驗學生對整個單元知識的學習深度、牢固程度，一則查漏補缺，二則有效拓展學生學習思路，為后續(xù)活動組織、設計以及課后延伸實踐活動提供明確的方向。

（作者單位：莆田哲理中學）

編輯：溫雪蓮