一、教學(xué)內(nèi)容

“反比例函數(shù)”是人教版九年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材中的第26章，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。以實(shí)際問題為切入點(diǎn)，自然而然引出“反比例函數(shù)”的基本概念，借此激發(fā)學(xué)生對函數(shù)模型思想的深刻體會(huì)。教材重點(diǎn)放在了對反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的掌握上，通過繪制具體的反比例函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納總結(jié)，掌握反比例函數(shù)的一般圖象特征及性質(zhì)。本章內(nèi)容的另一大亮點(diǎn)在于數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想的運(yùn)用，即通過函數(shù)圖象直觀展示函數(shù)變化規(guī)律，同時(shí)借助解析式深入探究函數(shù)性質(zhì)。

二、學(xué)情分析

反比例函數(shù)的獨(dú)特之處，如變量間乘積的恒定性，對學(xué)生而言是一個(gè)全新的探索領(lǐng)域。雖然學(xué)生對函數(shù)的基本類型有所了解，但反比例函數(shù)的特性與學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)明顯不同，尤其在自變量取值范圍上的特殊性，為其學(xué)習(xí)帶來了新的挑戰(zhàn)。因此，面對本節(jié)課程內(nèi)容的抽象性，教學(xué)的核心之一便是如何有效鏈接新舊知識(shí)，降低學(xué)生接受新概念的難度。

三、教學(xué)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出以“三會(huì)”為主要內(nèi)容的學(xué)科核心素養(yǎng)，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)8b1ecb54aa00e3677e88a17f9278c436教學(xué)的育人價(jià)值，為指定如下教學(xué)目標(biāo)提供了方向指引。

1.掌握反比例函數(shù)的基本定義，能夠借其特征—兩變量乘積為常數(shù)—辨識(shí)各類函數(shù)中哪些屬于反比例函數(shù)。

2.在面對具體情境時(shí)，能夠依據(jù)已知條件，確定反比例函數(shù)的解析式及變量的取值范圍。

3.在探索實(shí)際問題的過程中，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)，建立與表達(dá)兩個(gè)變量之間的反比例關(guān)系。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

結(jié)構(gòu)化教學(xué)法作為一種精細(xì)化的教育策略，旨在通過有序組織的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握復(fù)雜知識(shí)，側(cè)重于教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)習(xí)過程的結(jié)構(gòu)安排，將知識(shí)點(diǎn)按照遞進(jìn)次序與邏輯層次組織，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移?；谛抡n程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”，本課例在深入分析核心素養(yǎng)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，通過知識(shí)、方法、能力、經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生逐步建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的有效培育。

五、教學(xué)過程

（一）溫故知新，調(diào)動(dòng)記憶

師：我們先來回顧一下之前學(xué)過的知識(shí)。大家還記得在變化的過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，它們之間是如何相互關(guān)聯(lián)的嗎？

生：如果對于x的每個(gè)不等于零的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)。

師：誰能告訴我一次函數(shù)的一般形式是什么？

生：一次函數(shù)的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常數(shù)，且a不等于零。

師：非常好。a代表斜率，決定了直線的傾斜程度；b為截距，表示直線與y軸的交點(diǎn)。（展示一次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：一次函數(shù)，也稱為線性函數(shù)，其圖象是一條直線，表示變量y與x之間存在線性關(guān)系。） 我們之前學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的哪些內(nèi)容？

生：我們研究了一次函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

師：正確。我提個(gè)問題：“釣魚時(shí)怎樣握桿更省力？”這個(gè)問題能用我們學(xué)過的函數(shù)知識(shí)來解釋嗎？

生：可以用力的作用點(diǎn)和力的大小關(guān)系來解釋，這與杠桿原理有關(guān)，可以通過函數(shù)關(guān)系來表示。

師：很好。杠桿原理可以用力的作用效果（力矩）與力的作用點(diǎn)距離的關(guān)系來表示，形成一種函數(shù)關(guān)系，看來大家對之前學(xué)的知識(shí)掌握得很好，現(xiàn)在讓我們基于這些認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)今天的課程。

（二）情境引思，自主探究

師：我們今天將一起探索幾個(gè)有趣的現(xiàn)實(shí)生活情境，通過這些情境來理解一種特殊的函數(shù)關(guān)系。首先，我們考慮一個(gè)問題：如果一輛汽車要從A地到B地，總距離是1200千米，那么汽車的速度和所需時(shí)間之間是怎樣的關(guān)系呢？

生：如果汽車速度快，所需時(shí)間應(yīng)該短些；速度慢，時(shí)間就長些。

師：對。在給定的總距離下，速度和時(shí)間的關(guān)系可表示為vt=1200，這里v代表速度，t代表時(shí)間。 基于這個(gè)關(guān)系式，大家認(rèn)為這里的變量間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系？

生：這不像是我們學(xué)過的正比例函數(shù)或一次函數(shù)。

師：是的，這實(shí)際上引入了我們要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)。我有三個(gè)不同的問題，請大家思考其中的變量關(guān)系。

1.對于一個(gè)面積為48平方米的長方形，如果一邊的長度是x米，另一邊的長度是y米，則y=。

2.一個(gè)底邊長為a厘米、面積為75平方厘米的三角形，它的高是h厘米，可以表示為h=。

3.一輛汽車以v千米/小時(shí)的速度行駛，行駛629千米所需的時(shí)間是t小時(shí)，可以表示為t=。

生：看起來，這些問題中的變量關(guān)系都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是一個(gè)變量的增加會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)變量的減少。

師：大家回憶一下所學(xué)的物理知識(shí)，考慮電流I和電阻R的關(guān)系，當(dāng)電壓U固定時(shí)，I和R之間是怎樣的關(guān)系呢？

生：根據(jù)公式U=IR，如果R變大，I會(huì)變?。蝗绻鸕變小，I會(huì)變大。

師：很好，大家觀察到了反比例關(guān)系。這里U（電壓）是常數(shù)，I（電流）和R（電阻）之間的關(guān)系式可以重寫為？

生：I=。

師：通過這些情境，我們可以發(fā)現(xiàn)雖然這些問題看似不同，但它們的變量之間都存在反比例關(guān)系。

（三）概念學(xué)習(xí)，圖象感知

師：現(xiàn)在，我們已經(jīng)探討了幾個(gè)反比例關(guān)系的例子，但是這些情況能否用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)表達(dá)式來表示呢？思考一下，如果兩個(gè)變量x和y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示為y=的形式，我們應(yīng)該怎樣稱呼這種關(guān)系？

生：這聽起來像是兩個(gè)變量之間的某種特殊關(guān)系，是不是我們之前討論的反比例關(guān)系？

師：正是，如果變量x和y滿足y=（其中k為常數(shù)，且k≠0），我們稱y是x的反比例函數(shù)。其中x是自變量，y是函數(shù)值。自變量x的取值范圍是除了0以外的所有實(shí)數(shù)。這里的k是什么呢？

生：k應(yīng)該是兩個(gè)變量乘積的常數(shù)值。

師：很好。k是一個(gè)非零常數(shù)，它決定了反比例函數(shù)的特性。讓我們回到之前的問題，嘗試將它們用反比例函數(shù)的形式表示，并填寫表1。

師：請大家思考當(dāng)k為正值時(shí)，函數(shù)圖象會(huì)怎樣？

生：圖象應(yīng)該在第一和第三象限。

師：非常好。讓我們來驗(yàn)證一下。（繪制圖象，強(qiáng)調(diào)當(dāng)k＞0時(shí)，圖象位于第一和第三象限，兩條曲線逐漸接近但不會(huì)觸及x軸和y軸）這表明反比例函數(shù)圖象的特性為雙曲線。隨著x的增加，y的值趨向于0但永遠(yuǎn)不等于0；同樣，隨著x趨向于0，y的值增大，趨向于無窮大?，F(xiàn)在，如果k為負(fù)值呢？圖象會(huì)有什么變化？

生：如果k是負(fù)值，我認(rèn)為圖象會(huì)在第二和第四象限。

師：非常正確。

教師繪制圖象（見表2），總結(jié)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)。

生：無論k是正是負(fù)，反比例函數(shù)的圖象都是雙曲線，只是位置不同。并且，無論哪種情況，圖象都不會(huì)觸及x軸和y軸。

（四）特點(diǎn)探討，練習(xí)深化

師：根據(jù)討論結(jié)果總結(jié)反比例函數(shù)還有哪些表示方式？

生：根據(jù)定義，反比例函數(shù)還可以表示為xy=k，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)乘以x就得到了k。

師：正確。還有一種表示形式是y=kx-1。（板書：反比例函數(shù)可表示為y=，xy=k或y=kx-1都揭示了一個(gè)共同的特點(diǎn)：變量x和y的乘積為一個(gè)恒定的常數(shù)k）我給大家出示幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式，大家判斷一下它們是否為反比例函數(shù)。

【習(xí)題演練】

①y=3x ②y=x2 ③xy=21 ④y=x+25

⑤y= ⑥y=

（學(xué)生判斷）

師：請舉出日常生活中反比例關(guān)系的例子。

生：百米賽跑中，速度與完成時(shí)間是反比例關(guān)系；如果圓柱體的體積固定，那么底面積與高是反比例關(guān)系；長方形的面積固定時(shí)，長與寬也是反比例關(guān)系。

師：在阿姆斯特丹，幾乎每個(gè)人都騎自行車。（呈現(xiàn)資料：在2018年，阿姆斯特丹市政府發(fā)布了一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，顯示城市內(nèi)自行車的平均速度為15千米/小時(shí)，而城市規(guī)劃師利用這些數(shù)據(jù)來優(yōu)化城市自行車道的設(shè)計(jì)，確保市民能夠高效、安全地騎行。）我們可以用反比例函數(shù)來描述自行車速度與到達(dá)目的地所需時(shí)間的關(guān)系。例如，如果一個(gè)人要從阿姆斯特丹的市中心騎自行車，在1個(gè)小時(shí)內(nèi)到達(dá)10千米外的郊區(qū)，那他的速度是多少？半小時(shí)呢，速度是多少？

生：我們可以將已知的值代入公式中，即1v=10，v=。他的速度必須至少為10千米/小時(shí)。如果他希望半小時(shí)到達(dá)，那速度就需要提升到20千米/小時(shí)。

師：大家在這里用了待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是求解反比例函數(shù)解析式的一種常用方法。首先設(shè)出函數(shù)解析式；然后，將已知的一對x和y值代入，求出比例系數(shù)k。

六、總結(jié)

在本次教學(xué)活動(dòng)中，通過精心設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)方法，學(xué)生得以逐步深入探討了反比例函數(shù)的核心概念，從基本定義到圖象的認(rèn)識(shí)，再到特性的探索和實(shí)際問題的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對反比例函數(shù)深層次的掌握。整體教學(xué)過程充分體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的優(yōu)勢，即由淺入深、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，為其綜合素質(zhì)提升奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪械诰胖袑W(xué)）

編輯：趙文靜