“綜合實踐課”是圍繞某個主題，讓學生運用所學的綜合知識解決真實的情境問題，本文以數學情境為背景，立足教學內容結構化與認知方法結構化，依托“微課”的形式實施教學流程，讓學生的課前—課中—課后形成三維學習系統，在問題的探究過程中學會提出問題、分析問題、解決問題，進而培養(yǎng)優(yōu)秀的思維品質。

一、教學目標

1.經歷猜想、證明與拓廣的正方形、矩形“倍增（減半）”的過程，提升發(fā)現和提出問題的能力。

2.在探究問題結論和論證結論正確性的過程中，綜合運用所學知識，體會知識之間的內在聯系，形成對數學的整體性認識。

3.在探究過程中，感受由特殊到一般、數形結合的思想方法，體會證明的必要性。

4.在合作交流的過程中，拓展思路，提升學生的推理能力。

二、教學重難點

1.猜想、證明與拓廣的正方形、矩形“倍增（減半）”的問題。（重點、難點）

2.方程的模型建立與求解，方程、不等式及函數等知識的綜合運用。（重點）

三、教學實施與分析

（一）微課課前預習

【提出問題】

教師課前布置兩項學習任務，并將任務二的探索與研究成果錄制成微課，結合課堂的核心問題進行展示。

◆任務一：已知，直線y=-x+k，雙曲線y=4/x，

（1）若k=5，直線與雙曲線的交點坐標是什么？

（2）已知，直線y=-x+k，雙曲線y=4/x，若k=1，問：直線與雙曲線是否有交點？請說明理由。

◆任務二：你能否制作一個新模具（正方形或矩形）：選定一個模具為參照物，使新模具的周長是原來模具周長的2倍，面積也是原b982bdac9be531f907e398e632c25d934ea7720a4b99fa90b92094c81ddca23b來模具面積的2倍嗎？

已知給定的正方形模具的邊長為10 cm，矩形模具的長為20 cm，寬為10 cm。

（二）微課課堂教學

【分析問題】

問題1：任意給定一個正方形，是否存在另一個周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍的正方形？你是怎么做的？你有哪些解決方法？

問題2：（1）任意給定一個矩形，它的長和寬分別為2和1，是否一定存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形？（2）任意給定一個矩形，它的長和寬分別為n和1，是否存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形？（3）任意給定一個矩形，它的長和寬分別為n和m，是否存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形？

【解決問題】

基于問題1：假設原正方形的邊長為a。

（1）假設=，則大正方形的邊長為2a，則=≠，所以不存在這樣的正方形。

（2）假設=，則大正方形的邊長為a，則==≠，所以不存在這樣的正方形。

【結論一】任意給定一個正方形，不存在另一個周長與面積分別是已知正方形周長和面積的2倍的正方形。

基于問題2（1）：

①問題轉化為若C大矩形=12，那是否有S大矩形=4？

設大矩形的長為x，則寬為（6-x），

x（6-x）=4有解，則存在這樣的矩形，若方程無實根，則不存在這樣的矩形。

②也可以將問題轉化為若S大矩形=4，那么是否有C大矩形=12？

設大矩形的長為x，則寬為，

（x+）×2=12有解，則存在這樣的矩形，若方程無實根，則不存在這樣的矩形。

③也可設大矩形的長為x，寬為y，則有：

x+y=6xy=4，則x2-6x+4=0，解得x1=3+x2=3-

所以存在長為3+，寬為3-的矩形。

④也可這么理解：

x+y=6xy=4轉化為y=-x+6y=

轉化為

直線與雙曲線有交點，所以存在長為3+，寬為3-的矩形。

【結論二】任意給定一個矩形的長和寬分別為2和1，一定存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形。

基于問題2（2）：

①問題轉化為若C大矩形=4（n+1），那么是否有S大矩形=2n？

設大矩形的長為x，寬為（2n+2-x），

x（2n+2-x）=2n有解，則存在這樣的矩形，若方程無實根，則不存在這樣的矩形。

②也可將問題轉化為若S大矩形=2n，那么是否有C大矩形=4（n+1）？

設大矩形的長為x，則寬為，

（x+）×2=4（n+1）有解，則存在這樣的矩形，若方程無實根，則不存在這樣的矩形。

基于問題2（3）：

①問題可設大矩形的長為x，寬為y，則有：

x+y=2（m+n）xy=2mn，則x2-（2m-2n）x+2mn=0，

解得x1=n+m+x2=n+m-

所以存在長為n+m+，寬為n+m-的矩形。

②也可這么理解：

x+y=2（m+n）xy=2mn轉化為y=-x+2（m+n）y=

可轉化為

直線與雙曲線有交點，所以存在長為n+m+，寬為n+m-的矩形。

【結論三】任意給定一個矩形，一定存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形。

（三）課后學習

【遷移問題】

本部分有2個環(huán)節(jié)：（1）第1課時作業(yè)；（2）第2課時學習。

▲第1課時作業(yè)

綜合實踐活動：你能否制作一個新模具（正方形或矩形），選定一個模具為參照物，使得新模具的周長是原來圖形周長的一半，面積也是原來圖形面積的一半？請將探索的過程和成果錄制成微課展示。已知給定的正方形模具的邊長為10 cm，矩形模具的長為20 cm，寬為10 cm。

▲第2課時學習

問題3：任意給定一個矩形，是否一定存在另一周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半的矩形？

觀點1（第1小組展示）：一定存在。

理由：我們已經證明了“任意給定一個矩形，是一定存在另一個周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍的矩形”，也就是說任意一個矩形都有對應的加倍矩形；那反過來，原矩形自然滿足新矩形的“減半”要求，也就是原矩形的周長和面積是新矩形周長和面積的一半。

觀點2（第2小組展示）：一定不存在。

理由：從長和寬分別為2和1的矩形入手，設新矩形的長為x，則所求矩形的寬為y，由題意得：

2（x+y）=（2+1）×2×xy=2×1×

化簡得2x2-3x+2=0。

Δ=（-3）2-4×2×2=9-16＜0，所以此方程沒有實數根。即不存在這樣的新矩形，使得它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半。

觀點3（第3小組展示）：可能存在。

理由：設已知矩形的長和寬分別為m和n，所求矩形的長為x，則所求矩形的寬為（m+n）-x，由題意得x（m+n）-x=mn

化簡得2x2-（m+n）x+mn=0

Δ=（m+n）2-4×2mn=m2+n2-6mn

①若Δ≥0，即m2+n2-6mn≥0，方程有解，即已知矩形的長為m，寬為n，滿足m2+n2≥6mn時存在一個新矩形，使得它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半。

②若Δ＜0，即m2+n2-6mn＜0，方程沒有實數根，即已知矩形的長為m，寬為n，滿足m2+n2＜6mn時，不存在一個新矩形，使得它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半。

【總結歸納】

1.解決這類問題的一般策略是：先固定所求矩形的一個量，這樣的矩形一般很多，在這些矩形中看有沒有滿足另一個量的矩形，若有，則這樣的矩形存在；若沒有，則這樣的矩形不存在。驗證“存在性”的問題，可以轉化成如下問題來探究：

（1）方程（組）是否有解。

（2）兩個函數圖象有無交點。

2.本節(jié)內容用到的數學思想有：數形結合；建立方程（組）、函數的數學模型；從特殊到一般的探索策略（即猜想—驗證—結論）。

四、教學思考

（一）構建雙線并行的教學策略，優(yōu)化思維品質

遵循認知規(guī)律，制定“真實情境—資源整合—思維建構—創(chuàng)新發(fā)展”和“提出問題—分析問題—解決問題—遷移問題”相融合的“雙線并行”教學策略，旨在讓學生用創(chuàng)造數學知識的方法學習數學，從解釋、闡明、應用、洞察、移情、自知等方面理解學科事實，建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的數學知識體系，學會用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題，形成學科思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

（二）打破傳統教學壁壘，革新育人方式

結構化教學在學生表達、操作、反思等學習活動中，關注學生的實踐意識和創(chuàng)新意識，增強自我效能感，重構認知結構，其最終價值在于發(fā)展學生終身學習、終身成長的品質，革新了育人新方式。

（作者單位：廣東省深圳市寶安第一外國語學?！醇瘓F〉初中部）

編輯：趙文靜