摘 要：“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性”教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)的難點(diǎn)與痛點(diǎn)，主要原因是教師對(duì)相關(guān)性系數(shù)公式一知半解，加之教學(xué)任務(wù)重、時(shí)間緊，教師不舍得花時(shí)間推導(dǎo)公式，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這一知識(shí)掌握不到位，運(yùn)用時(shí)錯(cuò)誤率較高。MKT視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)主張教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容有獨(dú)到的見(jiàn)解，并將其滲透于課堂中，這對(duì)優(yōu)化成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性教學(xué)有重要的指導(dǎo)價(jià)值。MKT視角下開(kāi)展高中數(shù)學(xué)“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性”教學(xué)要求教師深刻理解知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，明晰相關(guān)性系數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程；通過(guò)將新知識(shí)學(xué)習(xí)與舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)這一符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；結(jié)合高考真題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：成對(duì)數(shù)據(jù)；相關(guān)性系數(shù)公式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；MKT視角

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：0450-9889（2024）14-0083-06

作者簡(jiǎn)介：林自強(qiáng)，1985年生，廣西南寧人，研究生，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)。

面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)（Mathematical Knowledge for Teaching，MKT）是課堂教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)，課堂教學(xué)的組織架構(gòu)是一個(gè)常話常新的主題。從MKT的角度來(lái)看，假如教授者能夠真正把所教授的內(nèi)容知識(shí)想得明白了，是能夠產(chǎn)生教育上的見(jiàn)解并能自如用于課堂教學(xué)的，這個(gè)看法得到了教育數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W者的支持［1］。由此可知，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由教師的教轉(zhuǎn)變成為學(xué)生的學(xué)，事實(shí)上還需要教師的引導(dǎo)，教師如何引導(dǎo)，如何實(shí)現(xiàn)深度引導(dǎo)、有效引導(dǎo)乃至高效引導(dǎo)，都取決于教師對(duì)內(nèi)容知識(shí)的理解是否足夠透徹。但是，筆者對(duì)中學(xué)一線數(shù)學(xué)教師開(kāi)展“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性”課堂教學(xué)情況調(diào)研發(fā)現(xiàn)，教師教學(xué)大多停留在“一個(gè)公式、幾道例題、大量練習(xí)”，忽視了教師自身對(duì)知識(shí)的深度理解，難以講清相關(guān)性系數(shù)的相關(guān)知識(shí)，具體表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：一是教學(xué)時(shí)間緊張導(dǎo)致部分教師不愿去講解，他們認(rèn)為推導(dǎo)公式是浪費(fèi)時(shí)間；二是部分教師本身對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)掌握不全面，不明白成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性系數(shù)的來(lái)龍去脈；三是部分教師本身不理解相關(guān)知識(shí)卻又想教授學(xué)生，越講越糊涂，最后干脆叫學(xué)生死記硬背，草草結(jié)束本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗，未能實(shí)現(xiàn)預(yù)期教學(xué)效果。

為更深入地理解成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的知識(shí)，進(jìn)而更好地開(kāi)展教學(xué)，筆者對(duì)比人教A版、人教B版、北師大版、滬教版等七個(gè)不同版本教材中成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的內(nèi)容安排情況，發(fā)現(xiàn)：人教B版、北師大版兩個(gè)版本的教材先編排回歸直線的內(nèi)容再編排相關(guān)性的內(nèi)容，人教A版、滬教版、蘇教版、湘教版以及鄂教版等五個(gè)版本的教材先編排相關(guān)性學(xué)習(xí)內(nèi)容再編排線性回歸直線相關(guān)知識(shí)?？梢?jiàn)，回歸直線方程與相關(guān)性學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排順序?qū)ο嚓P(guān)性系數(shù)公式的學(xué)習(xí)理解不會(huì)有太大的影響，但是從中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)角度出發(fā)，理解回歸直線方程后學(xué)習(xí)相關(guān)性可以更直觀地理解相關(guān)性系數(shù)公式。

文章基于人教A版數(shù)學(xué)教科書(shū)選擇性必修第三冊(cè)第八章第一節(jié)的內(nèi)容，從導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)思兩條路徑設(shè)計(jì)樣本相關(guān)系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x 2·i=1nyi-y 2]公式教學(xué)。

一、以溫故引學(xué)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引思考

問(wèn)題1：成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系是怎樣的？

我們知道，函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，然而在現(xiàn)實(shí)世界中，兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但是又未達(dá)到確定性的函數(shù)關(guān)系，比如人的體重與身高的關(guān)系，身高并不是決定體重的唯一因素，那么像這樣“兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度”，我們將這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。

追問(wèn)：如何直觀描述相關(guān)關(guān)系的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)？

類(lèi)似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示數(shù)據(jù)，從而直觀地展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫作散點(diǎn)圖。

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的已有認(rèn)知切入，通過(guò)簡(jiǎn)潔且與學(xué)生息息相關(guān)的情境，引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地理解數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系；接著通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形語(yǔ)言直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，自然生成散點(diǎn)圖的概念。

此時(shí)，教師可以引進(jìn)教材的案例，引導(dǎo)學(xué)生以小組討論的方式探究正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的內(nèi)涵。

正相關(guān)（Positive correlation），是指兩個(gè)變量變動(dòng)方向相同，一個(gè)變量由大到小或由小到大變化時(shí)，另一個(gè)變量亦由大到小或由小到大變化（如圖1所示）。

負(fù)相關(guān)（Negative correlation），是指兩個(gè)變量變動(dòng)方向相反，一個(gè)變量由大到小或由小到大變化時(shí)，另一個(gè)變量反而由小到大或由大到小變化（如圖2所示）。

[圖1][圖2]

探究發(fā)現(xiàn)：正相關(guān)時(shí)散點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)變化情況一致，負(fù)相關(guān)時(shí)散點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)變化情況相反。

問(wèn)題2：樣本相關(guān)系數(shù)是什么？

通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等。散點(diǎn)圖雖然直觀，但無(wú)法準(zhǔn)確地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無(wú)法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小。能否像引入均值、方差等數(shù)字特征分析單個(gè)變量數(shù)據(jù)那樣，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”？樣本相關(guān)系數(shù)就是一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”。

追問(wèn)：如何對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析？

【設(shè)計(jì)意圖】散點(diǎn)圖可以直觀展示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想對(duì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要價(jià)值。再由散點(diǎn)圖難以準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，用追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)進(jìn)行定量分析，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、公式推導(dǎo)深化理解，提升分析運(yùn)算能力

基于不少教師在教學(xué)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性公式推導(dǎo)存在困難的現(xiàn)狀，筆者設(shè)計(jì)了由“數(shù)據(jù)中心化”“引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量”“數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化”“公式的生成”“取值的范圍”等五環(huán)節(jié)構(gòu)成的相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)教學(xué)，具體教學(xué)活動(dòng)如下。

活動(dòng)1：數(shù)據(jù)中心化——將成對(duì)樣本數(shù)據(jù)以（x，y）為零點(diǎn)進(jìn)行平移

將原始的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）繪制成散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)這些散點(diǎn)分布規(guī)律不明顯，將數(shù)據(jù)以（x，y）為零點(diǎn)進(jìn)行平移，其中x=[x1+x2+…+xnn]，y=[y1+y2+…+ynn]，我們稱(chēng)這一過(guò)程為數(shù)據(jù)中心化。平移后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為（x1-x，y1-y），（x2-x，y2-y），…，（xn-x，yn-y），繪制散點(diǎn)圖如圖3所示，這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一、三象限，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)這些散點(diǎn)是正相關(guān)關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生一開(kāi)始接觸的圖1、圖2中的散點(diǎn)較為集中，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系比較清晰，此時(shí)教師呈現(xiàn)數(shù)據(jù)關(guān)系不明顯的如圖3所示的散點(diǎn)圖，造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣，從而順利引出數(shù)據(jù)中心化這一數(shù)據(jù)處理方法。

活動(dòng)2：引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量——刻畫(huà)平移后的散點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)正負(fù)情況

我們知道兩個(gè)數(shù)m、n：若m、n同號(hào)，則mn＞0；若m、n異號(hào)，則mn＜0。

以圖3為例，由此我們得到啟發(fā)：平移后的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一、三象限，散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào)。

利用散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是否同號(hào)，可以構(gòu)造一個(gè)量Lxy=[1n]［（x1-x）（y1-y）+（x2-x）（y2-y）+…+（xn-x）（yn-y）］。

一般情形下，Lxy＞0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy＜0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)據(jù)中心化之后得到圖3，是從圖的角度厘清數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建Lxy是從數(shù)的角度呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系。從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由圖到數(shù)展開(kāi)探究，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)習(xí)過(guò)程自然且流暢。

活動(dòng)3：數(shù)據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)化”——對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”處理

因Lxy的大小會(huì)受到單位的影響，如縱坐標(biāo)單位不變，橫坐標(biāo)單位由米變成厘米，結(jié)果Lxy就擴(kuò)大了100倍，為消除單位的影響，我們可以對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”處理。于是，教師自然地提出問(wèn)題——如何將成對(duì)數(shù)據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)化”？

教師首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧向量的“單位化”：將[a]化為同向的單位向量，即在[a]基礎(chǔ)上除以其模長(zhǎng)得到與[a]同向的單位向量[aa]。其次，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若一組數(shù)據(jù)的均值為0、方差為1，則說(shuō)明這組數(shù)據(jù)相對(duì)穩(wěn)定。下面我們以橫坐標(biāo)為例子進(jìn)行解析。

將平移后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)橫坐標(biāo)[u]=（x1-x，x2-x，…，xn-x）化為單位向量：

[uu]=[1x1-x 2+x2-x 2+…+xn-x 2]（x1-x，x2-x，…，xn-x），即[uu]=（[x1-xi=1nxi-x 2]，[x2-xi=1nxi-x 2]，…，[xn-xi=1nxi-x 2]）。我們由此可得到新的數(shù)據(jù)[x1-xi=1nxi-x 2]，[x2-xi=1nxi-x 2]，…，[xn-xi=1nxi-x 2]的平均數(shù)為0；要想實(shí)現(xiàn)方差為1，還需將每一個(gè)新數(shù)據(jù)分母構(gòu)造成為[1ni=1nxi-x 2]，則新數(shù)據(jù)成為[xi-x1ni=1nxi-x 2]（其中i=1，2，…，n）。

同理，將平移后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)縱坐標(biāo)記[v]=（y1-[y]，y2-[y]，…，yn-[y]）化為單位向量：

[vv]=（[y1-yi=1nyi-y 2]，[y2-yi=1nyi-y 2]，…，[yn-yi=1nyi-y 2]），同樣可得新數(shù)據(jù)[y1-yi=1nyi-y 2]，[y2-yi=1nyi-y 2]，…，[yn-yi=1nyi-y 2]的平均數(shù)為0；要想實(shí)現(xiàn)方差為1，還需將每一個(gè)新數(shù)據(jù)的分母構(gòu)造成為[1ni=1nyi-y 2]，則新數(shù)據(jù)成為[yi-y1ni=1nyi-y 2]（其中i=1，2，…，n）。

將[xi-x1ni=1nxi-x 2]與[yi-y1ni=1nyi-y 2]作積得到[xi-x1ni=1nxi-x 2]·[yi-y1ni=1nyi-y 2]，由此[xi-xyi-y1ni=1nxi-x 21ni=1nyi-y 2]（n=1，2，…，n）達(dá)到“標(biāo)準(zhǔn)化”。

我們記sx=[1ni=1nxi-x 2]，sy=[1ni=1nyi-y 2]，所以“標(biāo)準(zhǔn)化”后的坐標(biāo)為（[x1-xsx]，[y1-ysy]），（[x2-xsx]，[y2-ysy]），…，（[xn-xsx]，[yn-ysy]），為了方便起見(jiàn)，我們將它們分別記為（x1[′]，y1[′]），（x2[′]，y2[′]），…，（xn[′]，yn[′]）。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生很是欣喜地用上活動(dòng)2中構(gòu)造出的量Lxy，教師在教材例子的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式訓(xùn)練，改變其中一個(gè)變量的單位，讓學(xué)生在活動(dòng)3中開(kāi)展小組計(jì)算，不僅可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，還能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)。學(xué)生最終形成共識(shí)：數(shù)據(jù)需要標(biāo)準(zhǔn)化。“什么是標(biāo)準(zhǔn)化”“如何標(biāo)準(zhǔn)化”問(wèn)題串自然生成，教師引導(dǎo)學(xué)生利用舊知過(guò)渡到新知識(shí)的學(xué)習(xí)。

活動(dòng)4：公式的生成——樣本相關(guān)系數(shù)公式自然形成

仿照Lxy的構(gòu)造，可以得到r=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]

+…+[xn′][yn′]）=[1n][i=1nxi-xyi-y1ni=1nx1-x 21ni=1ny1-y 2]=[i=1nxi-xyi-yi=1nx1-x 2i=1ny1-y 2]。

我們稱(chēng)r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)。

這樣便利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造了樣本相關(guān)系數(shù)r。樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征。

當(dāng)r＞0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)。這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變?。划?dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大。

當(dāng)r＜0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合教材中的表述，引導(dǎo)學(xué)生明晰公式中的各個(gè)量表示的意義。

活動(dòng)5：取值的范圍——探究成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)取值范圍

為了解樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度之間的內(nèi)在聯(lián)系，需探究r的取值范圍。

由不等式ab≤[a2+b22]可得，[r]=?????? [1n][i=1nxi-xsxyi-ysy]≤[1n][i=1nxi-xsx 2+yi-ysy 22]

=[1ni=1nxi-xsx 2+1ni=1nyi-ysy 22]

=[1n×i=1nxi-x 21ni=1nxi-x 2+1n×i=1nyi-y 21ni=1nyi-y 22=1]。

所以[r]≤1，-1≤ r ≤1。

另外，結(jié)合r=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]+…+xn[′]yn[′]），可從向量數(shù)量積的知識(shí)[a]·[b]=[a][b]cos[θ]出發(fā)，若[a]=（x1，x2，…，xn），[b]=（y1，y2，…，yn），從而有

cos[θ]=[x1y1+x2y2+…+xnyni=1nxi2i=1nyi2]。

不難發(fā)現(xiàn)，前述對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后構(gòu)造了兩個(gè)n維向量，可用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示r。

記xi[′]=[x1-x1ni=1nxi-x 2]，yi[′]=[y1-y1ni=1nyi-y 2]（i=1，2，…，n），從“標(biāo)準(zhǔn)化”的成對(duì)數(shù)據(jù)（x1[′]，y1[′]），（x2[′]，y2[′]），…，（xn[′]，yn[′]）中可得第一分量構(gòu)成n維向量[x′]=（x1[′]，x2[′]，…，xn[′]），第二分量構(gòu)成n維向量[y′]=（y1[′]，y2[′]，…，yn[′]），不難計(jì)算[x′]=[n]，[y′]=[n]。又因?yàn)閞=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]+…+xn[′]yn[′]），所以可得r=[1n][x′]·[y′]=[1n][x′]·[y′]cos[θ]=cos[θ]，又-1≤cos[θ]≤1，即-1≤r≤1。

【設(shè)計(jì)意圖】面對(duì)新知識(shí)時(shí)，如果學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏能與新知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系、有助于同化新知識(shí)的內(nèi)容，教師就需要在教學(xué)新知識(shí)前為學(xué)生呈現(xiàn)具有引導(dǎo)性的材料，以達(dá)到溫故知新的教學(xué)效果，比如，得到樣本相關(guān)系數(shù)公式r=[i=1nxi-xyi-yi=1nx1-x 2i=1ny1-y 2]后，學(xué)生自主變形，得到便于計(jì)算的式子r=[i=1nxiyi-nx·yi=1nxi2-nx2i=1nyi2-ny2]。

三、舉一反三悟思想，學(xué)以致用強(qiáng)基礎(chǔ)

學(xué)完某一知識(shí)后，就要思考如何運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。在教學(xué)中，教師不妨通過(guò)高考真題讓學(xué)生感受所學(xué)公式的作用。

回顧近幾年高考數(shù)學(xué)真題，針對(duì)樣本相關(guān)性系數(shù)的考查逐漸活躍在概率統(tǒng)計(jì)解答題中，例如，2022年全國(guó)乙卷理科卷、2020年新課標(biāo)Ⅱ卷、2016年全國(guó)Ⅲ卷（理科）等試卷都直接考查了相關(guān)性系數(shù)公式的應(yīng)用，教師可以將這些高考真題用作課堂練習(xí)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中鞏固所學(xué)。

練習(xí)題1（2022年全國(guó)乙卷理科，第19題） 某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山。為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：

并計(jì)算得[i=110xi2=0.038，][i=110yi2=1.615 8，][i=110xiyi][=0.247 4]。

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186 m2。已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比。利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值。

附：相關(guān)系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x 2i=1nyi-y 2]，[1.896][≈]1.377。

本題雖然附上了樣本相關(guān)系數(shù)公式，但是解題時(shí)不能直接套用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行解答。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，首先需要對(duì)公式進(jìn)行變形——將第（1）問(wèn)中的結(jié)果代入計(jì)算即可。

r=[i=110xi-xyi-yi=110xi-x 2i=110yi-y 2]

=[i=110xiyi-10x·yi=110xi 2-10x 2i=110yi 2-10y 2]

=[0.2474-10×0.06×0.39（0.038-10×0.062）（1.615 8-10×0.392）]

=[0.013 40.000 189 6][≈][0.013 40.013 77][≈]0.97，則r[≈]0.97。

在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)注意公式中各個(gè)量所表示的意義以及公式的推導(dǎo)，進(jìn)而才能使學(xué)生深刻理解所學(xué)知識(shí)，不斷培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，從而能在解決具體問(wèn)題時(shí)正確運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

練習(xí)題2（2020年新課標(biāo)Ⅱ卷，第18題） 某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加。為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，20），其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得[i=120xi=60]，[i=120yi=1 200]，[i=120（xi-x） 2=80]，[i=120（yi-y） 2=9 000]，[i=120（xi-x）][（yi-y）][=800]。

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（xi，yi）（i=1，2，…，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大。為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由。

附：相關(guān)系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x 2i=1nyi-y 2]，[2][≈]1.414。

由第（1）問(wèn)可以求得相關(guān)平均數(shù)，結(jié)合題中已知條件直接代入題尾附的公式中進(jìn)行計(jì)算即可得到相關(guān)系數(shù)r=[i=120xi-xyi-yi=120xi-x 2i=120yi-y 2]=[80080×9 000]=[223][≈]0.94。

該題難度不大，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。雖然題目難度不大，但是當(dāng)年考生的得分率并不是很高，說(shuō)明考生對(duì)公式的理解不到位，還不能熟練準(zhǔn)確運(yùn)用公式。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，力求能夠恰到好處地運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算求解。

練習(xí)題3（2016年全國(guó)Ⅲ卷理科，第18題） 下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖。

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量。

參考數(shù)據(jù)：[i=17yi]=9.32，[i=17tiyi]=40.17，[i=17yi-y2]=0.55，[7][≈]2.646。

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=[i=1nti-tyi-yi=1nti-t 2i=1nyi-y 2]。

回歸方程[y]=[a]+[b]t中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：[b]=[i=1nti-tyi-yi=1nti-t 2]，[a]=[y]-[b][t]。

本題未出現(xiàn)直觀的成對(duì)數(shù)據(jù)，考查考生的讀折線圖能力，要求考生從圖中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)趨勢(shì)，巧妙處理題中附的公式、數(shù)據(jù)，靈活運(yùn)用相關(guān)公式。由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)進(jìn)行求解[t]=4，[i=17ti-t 2]=28，[i=17yi-y 2]=0.55，[i=17ti-tyi-y]=[i=17tiyi-ti=17yi]=40.17-4×9.32=2.89，r[≈][2.890.55×2×2.646][≈]0.99。求出樣本相關(guān)性系數(shù)后，考生還需解讀樣本相關(guān)性系數(shù)的作用，這要求考生熟練轉(zhuǎn)化符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言，因?yàn)閥與t的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度非常高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。

從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)［2］?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)具體案例，引導(dǎo)學(xué)生理解兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)通過(guò)具體案例引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件［3］。成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)性實(shí)例教學(xué)對(duì)教師的要求較高，從MKT視角優(yōu)化這一教學(xué)，教師必須先透徹地理解相關(guān)知識(shí)，特別是成對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的樣本相關(guān)性系數(shù)公式推導(dǎo)及其統(tǒng)計(jì)含義，同時(shí)甄選貼切的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生在真實(shí)的情境中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。教師只有真正理解知識(shí)的內(nèi)涵才能講得清楚，學(xué)生才聽(tīng)得明白、用得精準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，從而培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

［1］徐章韜．“雙減”背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2023．

［2］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021．

［3］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

（責(zé)編 劉小瑗）