彭瑛晶

摘?要：本文通過(guò)探討教材上的例題、習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生不為做題而做題，而是會(huì)深挖題目中豐富的學(xué)科知識(shí)，學(xué)會(huì)思考及掌握類(lèi)比推理的能力，從而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活的需要.

關(guān)鍵詞：教材；回歸課本；探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）15-0054-04

新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們教什么內(nèi)容，教材則告訴我們“如何去教”，而這些卻不能直接賦予學(xué)生.教學(xué)是把教學(xué)內(nèi)容和“如何去教”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)的學(xué)生活動(dòng)的過(guò)程.我們要思考如何挖掘、開(kāi)發(fā)教材的精髓、內(nèi)涵，創(chuàng)造性、個(gè)性化地運(yùn)用教材，生成靈活合理、豐富多彩的“生態(tài)化”教學(xué)過(guò)程，以達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活的需要.

1 問(wèn)題從課本中而來(lái)

《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)人教A版（2019）》

P113例題6：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡［1］ .

解?如圖1，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=254的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合P={MMFd=45}

由此得（x-4）2+y225/4-x=45.

將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)得：9x2+25y2=225，

即x225+y29=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10，6的橢圓.

反思?本題表示平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，且定點(diǎn)F（c，0），定直線l：x=a2c，比是常數(shù)ca.這樣的結(jié)論有一般性嗎？即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和點(diǎn)M到定直線x=a2c（點(diǎn)F不在定直線上）的距離的比是常數(shù)ca，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡一定是橢圓嗎？

事實(shí)上，學(xué)生是可以推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：x2a2+y2b2=1 （b2=a2-c2），可以明確動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

注意：我們把定點(diǎn)F（c，0）叫作橢圓的右焦點(diǎn)，定直線l：x=a2c叫作橢圓的右準(zhǔn)線.

追問(wèn)：如果將條件中的定點(diǎn)F（c，0）改為 F（-c，0），要得到同樣的結(jié)論，請(qǐng)問(wèn)定直線是否需要改變，如何改變？

學(xué)生小組合作共同討論出定直線l：x=a2c要改為x=-a2c.

由此可以得到橢圓的第二定義：

平面內(nèi)，到定點(diǎn)F（c，0）的距離和到定直線l：x=a2c（點(diǎn)F不在定直線上）的距離的比是常數(shù)e=ca（0

同理：平面內(nèi)，到定點(diǎn)F（-c，0）的距離和到定直線l：x=-a2c（點(diǎn)F不在定直線上）的距離的比是常數(shù)e=ca（0

我們把橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0）與左焦點(diǎn)F1與右焦點(diǎn)F2之間的線段的長(zhǎng)度叫作橢圓的焦半徑，請(qǐng)推導(dǎo)出下面兩個(gè)結(jié)論：

①PF1=a+ex0 ，PF2=a-ex0；

②焦半徑中以長(zhǎng)軸端點(diǎn)的焦半徑最大或最小.

事實(shí)上：由上述橢圓性質(zhì)可以得到PF2a2/c-x0=ca，即：PF2=a-cax0=a-ex0，PF1a2/c+x0=ca，

即：PF1=a+cax0=a+ex0.

因?yàn)?a≤x0≤a，所以焦半徑中以長(zhǎng)軸端點(diǎn)的焦半徑最大或最小.

（上述推導(dǎo)及性質(zhì)當(dāng)焦點(diǎn)位于y軸，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)橢圓的性質(zhì)如何？適當(dāng)留白給學(xué)生，進(jìn)一步培養(yǎng)其類(lèi)比歸納能力）

2 思維從探究中來(lái)

《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)人教A版（2019）》

P115第8題練習(xí)1：動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的圖形.

鼓勵(lì)學(xué)生作答：

解法1?設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=8的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合

P={M|MF|d=12}，由此得（x-2）2+y2|8-x|=12.

將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)得：3x2+4y2=48，即x216+y212=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為8，43的橢圓.

解法2?定點(diǎn)F（2，0）即c=2，定直線x=8，即：a2c=8，得到a=4，

故e=ca=12，符合題意.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)分別為8，43的橢圓，

方程為 x216+y212=1.

練習(xí)2?平面內(nèi)焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)的弦中弦長(zhǎng)最小值.鼓勵(lì)學(xué)生小組合作交流探討.

解?不妨求過(guò)右焦點(diǎn)F2的弦AB的長(zhǎng)度的最小值作橢圓的右準(zhǔn)線l，過(guò)點(diǎn)A、B、F2分別做AA1、BB1、F2F垂直于直線l，垂足分別為A1、B1、F，作弦AB中點(diǎn)M并作MM1垂直于直線l于點(diǎn)M1.如圖2AB=AF2+BF2=AA1e+BB1e=（AA1+BB1）e=2MM1e

又∵M(jìn)M1≥FF2（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F2與M重合即AB過(guò)點(diǎn)F2垂直與x軸時(shí)）

∴ABmin=2FF2e=2b2a.

點(diǎn)評(píng)?適當(dāng)?shù)木毩?xí)不僅能夠夯實(shí)學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解、檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況，更重要的是能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力.

3 能力從培養(yǎng)意識(shí)中來(lái)

《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)人教A版（2019）》P125例題5：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到定直線l：x=94的距離的比是常數(shù)43，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.

解?如圖3，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，

根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合P={MMFd=43}，

由此得（x-4）2+y2x-9/4=43，

將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)得：7x2-9y2=63，

即x29-y27=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為27的雙曲線.

根據(jù)上面例題思考《普通高中教科書(shū)選擇性必修第一冊(cè)人教A版（2019）》P127第10題：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的距離和M到定直線l：x=a2c 的距離

的比是ca（a＜c），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀.

通過(guò)上面例題，學(xué)生是可以很快得出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：x2a2-y2b2=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2a、虛軸長(zhǎng)為2b的雙曲線.

提問(wèn)：通過(guò)上題的判斷，類(lèi)比橢圓第二定義的推導(dǎo)，根據(jù)例題及習(xí)題你能推導(dǎo)出什么結(jié)論？

（只要肯培養(yǎng)，學(xué)生是有能力類(lèi)比推導(dǎo)出雙曲線的第二定義.）

平面內(nèi)到定點(diǎn)F（c，0）的距離和到定直線l： x=a2c（點(diǎn)F不在定直線上）的距離的比是常數(shù)e=ca（a＜c）的點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線.

平面內(nèi)到定點(diǎn) F（-c，0）的距離和到定直線l：x=-a2c（點(diǎn)F不在定直線上）的距離的比是常數(shù)

e=ca（a＜c）的點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線.

提問(wèn)：同學(xué)們能通過(guò)對(duì)橢圓及雙曲線進(jìn)一步的研究，結(jié)合拋物線的定義，給出圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一定義嗎？

學(xué)生通過(guò)小組合作討論是可以得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫作圓錐曲線；當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線.

點(diǎn)評(píng)?培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，達(dá)到會(huì)學(xué)會(huì)用會(huì)思考會(huì)合作會(huì)總結(jié)的目的，這樣的學(xué)生方能適應(yīng)未來(lái)社會(huì)的需求.

4 素養(yǎng)從能力培養(yǎng)中來(lái)

《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)人教A版（2019）》P108

例題?如圖4，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解?設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5，0），所以直線AM的斜率kAM=yx+5（x≠-5），

同理，直線BM的斜率kBM=yx-5（x≠5），

由已知，有

yx+5×yx-5=-49（x≠±5），

化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為

x225+y2100/9=1（x≠±5）

點(diǎn)M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點(diǎn)的橢圓.

通過(guò)這個(gè)例題同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是e2-1時(shí)（其中e=ca，e2-1<0），

則點(diǎn)M的軌跡方程是

x2a2+y2b2=1（x≠±a，b2=a2-c2）.

P126練習(xí)1：已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-6，0），（6，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是29.求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

解?設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-6，0），所以直線AM的斜率

kAM=yx+6（x≠-6），

同理，直線BM的斜率kBM=yx-6（x≠6），

由已知，有

yx+6×yx-6=29（x≠±5），

化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為

x236-y28=1（x≠±6）

點(diǎn)M的軌跡是除去（-6，0），（6，0）兩點(diǎn)的雙曲線.

那么同學(xué)們又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是e2-1時(shí)，（其中e=ca，e2-1>0）

則點(diǎn)M的軌跡方程是

x2a2-y2b2=1（x≠±a，b2=c2-a2）

結(jié)合之前大家的探究，請(qǐng)根據(jù)上述的例題和練習(xí)，你能得到什么結(jié)論？（學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考或者合作探討是可以總結(jié)出相應(yīng)結(jié)論的）.

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（兩定點(diǎn)除外）到兩個(gè)定點(diǎn)（a，0）、

（-a，0）連線的斜率的乘積為定值e2-1時(shí)，當(dāng)e2-1<0時(shí)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓（不含這兩個(gè)定點(diǎn)），當(dāng)e2-1>0時(shí)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線（不含這兩個(gè)定點(diǎn)）.

點(diǎn)評(píng)?從提出問(wèn)題到學(xué)以致用，再到提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，在這一教學(xué)過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生如何在課本中尋找更多可以進(jìn)一步思考的內(nèi)容，挖掘?qū)W生的潛能，從而落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在討論研究思考的過(guò)程中進(jìn)一步獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

5 結(jié)束語(yǔ)

作為一線教師，我們要明白自己的責(zé)任不僅僅是教會(huì)學(xué)生掌握知識(shí)本身，還要教會(huì)學(xué)生懂得自己從課本中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，獲取知識(shí)的能力，以適應(yīng)未來(lái)生活的需要.正如蘇霍姆林斯基所說(shuō)：“教給學(xué)生能借助已有的知識(shí)去獲取知識(shí)，這是最高的教學(xué)技巧之所在.”

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍，李增滬.普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)：A版（2019）[M].北京：人民教育出版社，2020：108-126.

［責(zé)任編輯：李?璟］