趙文倩

[ 摘 要 ]文章以三角形中位線定理的再證明為抓手，梳理利用“幾何直觀”培養(yǎng)學生分析、探究能力的圖形表象、實驗、知識聯(lián)想、數(shù)形結合等方法，揭示借助“幾何直觀”發(fā)現(xiàn)解決問題方法的基本套路，并應用套路解決新問題，以培養(yǎng)學生的分析探究能力.

[ 關鍵詞 ]核心素養(yǎng)；幾何直觀；中位線定理

“幾何直觀”的內(nèi)容和要求

“幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實空間的工具，也許是數(shù)學中最直觀、具體和真實的部分”[1]（Mam？ mana&Villani，1998），所以《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《標準》）把幾何直觀作為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一.《標準》指出：幾何直觀要求能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類，幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.

幾何直觀是思考問題、解決問題的重要思維方式之一，是直接“從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的（狀態(tài)）的能力”.對幾何直觀最貼切的表述應該是史寧中教授的：思路是看出來的，不是證出來的[2].這里的“看出”，就是憑借幾何直觀洞悉幾何元素的內(nèi)在聯(lián)系，這不僅有助于探索問題解決的思路，而且可以獲得對數(shù)學的直觀理解，抓住問題的本質(zhì).

借助“幾何直觀”解決幾何問題的實踐

根據(jù)直觀性的表現(xiàn)，我們是否可以在幾何問題中借助直觀來認識和理解問題，同時幫助人們探索問題、促進發(fā)現(xiàn)呢？如三角形中位線定理，傳統(tǒng)課堂在提出“你能根據(jù)猜想進行證明嗎？”這一問題后，學生直接回答自己的證明方法，然后進入應用環(huán)節(jié).這種做法，對學生而言，并沒有經(jīng)歷定理的探究過程，只是接受了一種數(shù)學事實.實踐證明，學生很多時候遇到幾何問題解決不了，是卡在第一步，即無從下手，不知道朝什么方向思考，簡單地說，就是不知道如何添加輔助線.這就需要學生利用“幾何直觀”分析和探究問題，找到圖形間的內(nèi)在聯(lián)系以及解決問題的方向，從而達到問題解決的目的.

為了幫助學生明確對幾何圖形的直觀感受，并且運用這種直觀感受，筆者將九年級總復習階段的學生作為教學對象，以中位線的性質(zhì)證明的再探究、再經(jīng)歷、再創(chuàng)造、再應用為例，通過如下環(huán)節(jié)予以說明.

環(huán)節(jié)一 利用紙片折痕，感受直觀內(nèi)涵.

提問 請猜想圖1中線段AB與線段CD之間的位置關系，并猜想圖2中∠1的度數(shù).

設計意圖 將圖1所示的矩形沿著AB對折，發(fā)現(xiàn)折疊后的BD與

BC完全重合，所以AB與CD垂直.將圖2所示的矩形沿著MN折疊，發(fā)現(xiàn)邊MP與MQ不重合，驗證了猜想∠1=45°是不準確的.引導學生認識到一些結論正確與否可通過觀察猜想、操作認證這種“直觀”的方法予以驗證，從而建立直觀觀念.

環(huán)節(jié)二 再探中位線，打開直觀空間.

提問 上述證法一、二，你是從什么角度想到可以這樣解決問題的？

回答 ①看圖形很像相似中的“A”型相似，于是嘗試用相似來解決；②要證明平行，可以利用三線八角，從而想到利用相似證明角相等；③由“平行且相等”聯(lián)想到構造平行四邊形，只要證明四邊形DBCO是平行四邊形就可以得到結論.

教學意圖 “是這樣”“會這樣”等直觀意識是解決問題的起點，“A”型相似簡單、易懂，能讓學生感受到直觀的魅力、知識的力量；而由“平行且相等”聯(lián)想到平行四邊形，回顧了已學知識，帶動了再探究的發(fā)生.

2.系統(tǒng)梳理，拓寬直觀

提問 拋開中位線定理的證明，看到“中點”“平行”“線段倍分”這些關鍵詞，你會想到哪些相關的知識和方法？

學生表達，教師板書，形成如下思維導圖（如圖5、圖6和圖7）.

提問 你發(fā)現(xiàn)更多的證明方法了嗎？

證法三 （從倍長中線方法中獲得靈感）

證法四 （從對角線互相平分中獲得靈感）

如圖9，延長DE至點O，使得DE=EO，連接OC，DC，AO.由于對角線互相平分，證得四邊形ADCO是平行四邊形.再根據(jù)CO∥AD∥BD，CO=AD=BD，得到四邊形BDOC是平行四邊形.

證法六 （從中點坐標公式中獲得利用解析法解決問題的靈感）

證法豐富，此處不一一羅列.

教學意圖 從直觀到猜想、驗證、證明，是幾何學習的基本套路.學生圍繞已知證法中包含的關鍵詞的知識梳理，拓展了思路，形成了更豐富的直觀觀念，其中解析法的直觀、簡明，讓學生獲得了更愉快的學習體驗，為之后問題的解決提供了更豐富的直觀路徑.

環(huán)節(jié)三 借助直觀思維，解決真實問題.

問題 如圖12，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，點E在邊AB上，BE=6，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于G，F(xiàn)兩點.若M，N分別是DG，CE的中點，求MN的長.

（課堂上，學生展示其看到的、想到的、直觀分割的，猜測、驗證并證明）

解法一 （利用“圖形表象”中的“正方形垂直特性”獲得圖形直觀）

如圖13，利用垂直分割，過點 M，N分別作BC，DC的垂線，構成三邊長分別為3，4，5的直角三角形MNO.

解法二 （利用“知識聯(lián)想”中的“中位線”獲得思路直觀）

如圖14、15，學生觀察發(fā)現(xiàn)題目中出現(xiàn)兩個中點，但是兩個中點沒有出現(xiàn)在同一個三角形中，故而想到利用矩形的對角線構造中點，形成新的中位線解決問題.圖14中的MO，NO分別是△GCD和△EGC的中位線，圖15中的MO，NO分別是△EGD和△ECD的中位線，它們均構成三邊長分別為3，4，5的直角三角形MNO.

解法五 （利用“擬實驗”中的“測量”，結合“知識聯(lián)想”中的“中線”獲得直觀）

解法四中學生測量后發(fā)現(xiàn)MN的長度大致是5，有些學生直觀聯(lián)想到矩形的對角線相等，那么MN除了是EC長度的一半，是否也是FB長度的一半呢？如圖18，連接MF后，只要證明△MBF是直角三角形即可.朝著觀察猜想的方向努力，自然發(fā)現(xiàn)MF是等腰直角三角形DGF的中線，易得△MBF是直角三角形，從而得解.

解法六 （利用“數(shù)形結合”獲得代數(shù)直觀）

如圖19，建立平面直角坐標系，首先可以得到點E，C的坐標，又因為DB是正方形的對角線，于是易得點D，G的坐標，利用中點坐標公式可得點M，N的坐標.最后利用兩點間的距離公式或構造直角三角形都可以很快得解.

教學意圖 應用是檢驗教學成敗的有效手段，通過直觀建立起的觀念能不能在問題解決中發(fā)揮作用，是衡量本節(jié)復習教學有效性的一個重要因素.本環(huán)節(jié)與前期探究緊密結合，學生分享所悟、所猜、所證，如解法一的垂直分割、解法四通過測量猜想△EMC是等腰直角三角形、解法六的以數(shù)定形的數(shù)形結合等，都體現(xiàn)了利用各類方法獲得幾何直觀后處理問題的有效性，利用解法的多樣性使得幾何問題成為思維訓練的良好素材.

學生通過“垂直分割試一試”“我感到它是……”“我量一量發(fā)現(xiàn)……”等直觀的學習方式找到了問題解決策略，實現(xiàn)了直觀路徑多元，解答策略多樣.

利用“幾何直觀”培養(yǎng)分析、探究能力的方法

（一）以已有知識作為“幾何直觀”的培養(yǎng)起點

在初中幾何學習中，學生往往先利用經(jīng)驗、直覺去推理，就像本課例中，有的學生利用中點倍長中線、構造中位線，有的學生利用中線構造直角三角形，這些都是建立在學生已有的數(shù)學經(jīng)驗之上的.接著，在教師所設計的問題引導下，學生探究新的數(shù)學策略，解決新的問題，形成宏觀認識.從學習心理上來看，這樣的教學設計對學生建立數(shù)學學習的認識，并化解不必要的心理障礙是有利且有效的.

本節(jié)課中，我們嘗試利用中位線定理的證明，將“碎片化教學”整合起來，通過學生獨立思考、交流方法逐步感悟數(shù)學思想方法.不要僅僅成為做題的機器，不要迷戀解題上的一招一式，要注重過程中的通性通法.當學生獨立面對一個數(shù)學對象時，要學會如何研究一個數(shù)學對象，明白研究內(nèi)容、思路和方法是什么，初中幾何教學要注重學生幾何直觀的發(fā)展.

（二）獲得“幾何直觀”的策略

1.利用“圖形表象”獲得圖形直觀

根據(jù)學生對圖形的認知可以將幾何概念劃分為以下三個層次：最低層次是直觀概念，這一層次一般只涉及圖形的形狀，而與圖形元素的性質(zhì)和關系無關；第二層次屬于分析層次，不僅需要觀察圖形的直觀，更要對圖形的位置與度量特征等進行分析；第三層次是一些由公理系統(tǒng)所“生成”的，也就是由幾何推理得到二級結論[2].

學生處理幾何問題多停留在最低層次，而初中階段的綜合性幾何問題，要求學生達到更高層次，所以在對圖形進行觀察后，教師應及時引導學生對圖形中的條件進行組合，得到一些基本圖形.視覺是一種直覺（有時對發(fā)現(xiàn)證明是必需的）的工具.例如環(huán)節(jié)三中存在矩形AEFD、矩形EBCF、等腰直角三角形EBG、等腰直角三角形DFG、等腰直角三角形ABD等，這些基本圖形的得出可以幫助我們在解題時得到一些有益的結論，例如：連接MF，則MF與DG垂直；連接BF，則BF=EC，N為BF的中點等.

2.利用“擬實驗”獲得結論直觀

幾何量都可以用距離、角度等來進行刻畫，因此，學生可以通過各種測量工具進行實驗.雖然這樣的“實驗”不具有科學性，因為再精密的測量儀器都會產(chǎn)生誤差，卻有助于學生去接受從而演繹得到概念，這種方式被稱為“擬實驗”[1].

學生可以通過“擬實驗”獲得可能的結論，進階的圖形直觀來自“操作”.課堂上從矩形紙片中的線和角入手，學生利用折疊、測量等方式進行簡單驗證，通過“擬實驗”獲得可能的結論就是幾何直觀的一種.不是所有的“擬實驗”都是正確的，但可以為我們解決問題提供方向.在環(huán)節(jié)三中的解法四、五中，學生動手測量后發(fā)現(xiàn)MN的長度大致是5，于是猜想其是EC長度的一半，則出現(xiàn)解法五猜想MN的長度是FB長度的一半，以及解法四關注題目中要素之間的聯(lián)系.

3.利用“知識聯(lián)想”獲得思路直觀

數(shù)學猜想是數(shù)學學習過程中的一種重要方法，許多重要的數(shù)學理論都來自數(shù)學猜想.然而猜想不是空想，是學生在教師創(chuàng)設的情境下有方向地推測和判斷，是基于學生已有知識做出的合理猜測.例如通過“聯(lián)想相關知識點”使條件和結論之間建立聯(lián)系，從而形成有效的數(shù)學猜想，可以幫助學生更快地找到問題的突破口，從而增強學生的學習信心.

環(huán)節(jié)二中，學生分享的方法有限，當多解問題分享停滯時，就是分享用“知識聯(lián)想”獲得直觀，從而解決問題的最佳時機.教師適時介入，指導學生發(fā)散思維，利用“知識聯(lián)想”打開思路，引導學生將學習的方式從“已知輔助線后進行證明和學習用多種方法證明”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸趺磿氲竭@樣解決問題，怎么想到這樣添加輔助線”；引導學生嘗試利用題目和結論中的一些關鍵詞來展開想象，從中選取合適的方法解決問題.在環(huán)節(jié)三的解法二、三中，學生根據(jù)中點發(fā)散思維，思考涉及的方法，使這種“聯(lián)想型直觀”得以落實.

4.利用“數(shù)形結合”獲得代數(shù)直觀

眾所周知，解析幾何的誕生是近代數(shù)學的第一個里程碑.解析幾何是“數(shù)形結合”的重要應用，是以平面直角坐標系為研究工具，通過代數(shù)運算研究幾何圖形，這是幾何直觀方法中重要的一種.在實際教學中，有的教師將這種“數(shù)形結合”簡單化為“平面直角坐標系中的計算”教學以及套用公式，這背離了“數(shù)形結合”思想.平面幾何教學中的一個明顯感受是很難得出某些幾何元素之間的關系，但在解析幾何中借助平面直角坐標系，我們可以通過坐標和代數(shù)語言來準確描述這些關系[3].

環(huán)節(jié)三的解法六，利用平面直角坐標系解決幾何問題，這是最有“幾何直觀”味道的方法，也就是利用代數(shù)來刻畫幾何規(guī)律.在利用“代數(shù)刻畫”獲得直觀時需要注意以下兩點：一是要注意學生是否具備解析的基礎.例如，必須能夠熟練運用中點坐標公式和兩點間距離公式等.二是方法分享后及時引導學生思考看到哪些要素可以想到用解析法解決問題.例如，看到平行四邊形、特殊平行四邊形（菱形的對角線為坐標軸、矩形、正方形）、平行線等，不應僅停留在解決問題上，更要關注是怎么想到的.

（三）“幾何直觀”培養(yǎng)過程中的情感、態(tài)度與價值觀

在分享數(shù)種解法的過程中，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)，學生很好地利用了幾何中的直觀，著重分享了知識的發(fā)生過程，而不僅僅是證明過程.在學生談體會中筆者發(fā)現(xiàn)，不少學生轉(zhuǎn)變了學習數(shù)學的角度，從被動學習轉(zhuǎn)化為主動學習，能夠積極地想到，并進一步去做到.

英國教育家懷特海曾經(jīng)說過：“教育是教人們?nèi)绾芜\用知識的藝術.當你丟掉你的課本，燒掉你的聽課筆記，忘掉了你為了應付考試而背誦的細節(jié)，你的學習對你來說才是有用的.”顯然，那些“丟掉的、燒掉的、忘掉的”應該就是單純的知識，“剩下的”應該就是學生在獲得這些知識的過程中所用到的解決問題的方法、思想、素養(yǎng)[4].研究問題的方法、看待問題的角度、數(shù)學的思維、克服困難的精神才是真正的數(shù)學核心素養(yǎng)，才是一節(jié)課中需要突破的關鍵環(huán)節(jié).

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]史寧中.數(shù)學課程標準修訂與核心素養(yǎng)[J].教育研究與評論，2022（05）：18-27.

[3]章建躍.利用幾何圖形建立直觀 通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律——解析幾何內(nèi)容分析與教學思考（之一）[J].數(shù)學通報，2021，60（07）：7-14.

[4]岳紹杰，于彬.一次市級初中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課評選的亮點展示與評析[J].中學數(shù)學月刊，2020（05）：28-30.