何紅清

新課改對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求，更加重視對學(xué)生學(xué)習(xí)能力，以及靈活利用所學(xué)知識解決實際問題的能力的培養(yǎng).由于初中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容更加豐富、多元，學(xué)習(xí)難度加大，為了讓學(xué)生解決實際問題的能力得到提升，有必要引入數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生具備更好的數(shù)學(xué)模型意識，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和主動性，同時通過學(xué)生對知識的靈活運用，實現(xiàn)創(chuàng)新能力與學(xué)習(xí)能力的提升.

1 初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，提高對生活中的數(shù)學(xué)的理解和運用.大多時候我們的數(shù)學(xué)教學(xué)注重的是學(xué)生知識與思維的練習(xí)，而忽略了對學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力的培養(yǎng)，從而導(dǎo)致學(xué)生花大量的時間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識及方法，但在生活中不會加以運用或根本用不上.

數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，是提高學(xué)生分析和解決實際問題，強化應(yīng)用意識的重要的、有效的思想方法［1］.數(shù)學(xué)思想方法的滲透應(yīng)該始終與課堂教學(xué)緊密結(jié)合起來.

建模教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.（1）表達(dá)能力.把實際問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，對學(xué)生的表達(dá)能力是一種鍛煉和提高.（2）運用數(shù)學(xué)的能力.體現(xiàn)在用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題.（3）合作交流的能力.對于一些較為復(fù)雜的實際問題，往往需要以小組合作的方式進行，需要小組成員分工合作、相互交流、密切配合.這種合作交流的精神與團隊意識也是社會生活中所必須的.

數(shù)學(xué)模型就是對實際問題的一種數(shù)學(xué)描述.數(shù)學(xué)模型就是通過抽象、簡化、假設(shè)變量等數(shù)學(xué)方法，把實際問題的主要變量關(guān)系用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具描述出來.建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模.它主要有以下三個步驟：（1）根據(jù)實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（2）對數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)上的推理、運算，求出結(jié)果；（3）把結(jié)果反饋到實際問題中，檢驗結(jié)果是否符合實際意義.

2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐

數(shù)學(xué)模型思想的建立是學(xué)生認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)與實際生活關(guān)系的重要橋梁，也為解決現(xiàn)實問題提供了重要的理論依據(jù).實際上是對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)采取有效措施，加強數(shù)學(xué)模型思想的滲透，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.下面就幾個主要的數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中的應(yīng)用來舉例說明，以作探討.

2.1 方程模型

方程是含有未知數(shù)的等式，是描述現(xiàn)實生活中等量關(guān)系的重要模型.解決方程問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，然后設(shè)定適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，最后檢驗解的合理性.

例1 有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列：1，-2，4，-8，16，……其中三個相鄰數(shù)的和為48，問這三個數(shù)分別是多少？這三個相鄰數(shù)的和是否可以是-768？說明理由.

分析：對于第一個問題可以通過列舉法把三個數(shù)16，-32，64找出來，但對于第二個問題則行不通.此時要分析這一列數(shù)的規(guī)律.

根據(jù)后面一個數(shù)是前一位數(shù)的-2倍，可設(shè)第一個數(shù)為x，則后面兩個數(shù)分別為-2x，4x.由三個數(shù)的和為48或-768，建立方程模型x-2x+4x=48或x-2x+4x=-768，解得x=16或x=-256.

驗證結(jié)果發(fā)現(xiàn)，16在數(shù)列中，所以16，-32，64的和為48；而-256在數(shù)列中不存在，所以數(shù)列中任何三個相鄰數(shù)的和都不可能是-768.

根據(jù)實際情況提出問題，引導(dǎo)學(xué)生建立方程求解，并說明所構(gòu)建方程模型的合理性和必要性.

例2 一艘小船在河里航行，小明坐在船頭看風(fēng)景.一不小心，食物袋從船頭滑落水中，3分鐘后，小明才發(fā)現(xiàn)食物袋滑落水中，于是開船返回去追.試問小明需要幾分鐘才可能追上落水的食物袋？

分析：要解決這個問題，就要把它放在一個理想化的情形下——（1）水的流速、船速是均勻的.（2）食物袋沒有沉入水中，且食物袋在水面上與水的流速一致.分析船與食物袋之間的數(shù)量關(guān)系，利用路程=速度×?xí)r間，構(gòu)造方程模型.

設(shè)追上食物袋的時間為t min，船的速度為a m/min，水的流速為b m/min.

（1）假設(shè)開始時船是順流航行，則船向前航行路程為3（a+b）m，食物袋向前航行路程為3b m，二者相距3a m，相對速度為a m/min，所以3a=at，t=3.

（2）假設(shè)開始時船是逆流航行，則船向前航行路程為3（a-b）m，食物袋向后漂流路程為3b m，二者相距3a m，相對速度為a m/min，所以3a=at，t=3.

所以小明需要3 min才可能追上落水的食物袋.

2.2 不等式模型

不等式是表達(dá)現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型.不等式模型可以有效解決現(xiàn)實生活中不需要精確值只需要大致范圍的決策問題.

例3 某平價商店經(jīng)銷某種商品，商品進價為120元，售價為200元.為了促銷，商家決定打折銷售，為了使利潤不低于25%，問最多打幾折進行銷售？

分析：需要分析幾個量的數(shù)量關(guān)系.利潤=賣價-進價.不低于、至多、至少、不高于等等表示的是一種不等關(guān)系，所以此題應(yīng)用不等式模型來求解.

設(shè)打x折，則200×x/10-120≥120×25%，解得x≥7.5，所以至多打7.5折.

對于這一類不等關(guān)系的問題，一般解題步驟是：先正確理解問題情境，分析其中的不等關(guān)系，然后設(shè)定未知數(shù)，列不等式（組）求解.

2.3 函數(shù)模型

函數(shù)是一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，是研究運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.函數(shù)思維可以拓展學(xué)生對運動變化事物的研究空間，還可以發(fā)展與完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生認(rèn)識和體會現(xiàn)實世界中運動變化的普遍性和規(guī)律性.

例4 某商場將進貨單價為30元的小商品，按每件40元售出時，每天可以賣200件.如果每件漲價1元，日銷售量就要減少10件.那么該小商品如何定價，可以使每天獲得最大利潤？每天的最大利潤是多少？

分析：商品漲價后每件小商品利潤增加了，但銷售量減少了.售價和銷售量這兩個變量有某種內(nèi)在的聯(lián)系.而總利潤與這兩個變量之間的關(guān)系構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系，因而建立二次函數(shù)模型.

設(shè)每件小商品的售價為x元，利潤為w元，則

w=（x-30）［200-10（x-40）］.

化簡，得w=-10（x-45）2+2 250.

當(dāng)x=45時，w有最大值，且最大值為2 250.

所以，售價定為45元時，每天的最大利潤是2 250元.

運用函數(shù)模型分析變量之間的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的變化規(guī)律和變化趨勢，是應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的重要方法.

2.4 概率統(tǒng)計模型

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)據(jù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅Ｖ匾囊徊糠郑谧鳑Q策時比以前更加依賴來自外界的信息.因此，統(tǒng)計與概率的知識和方法對大數(shù)據(jù)時代的人們而言是十分重要的.

例5 甲、乙、丙三位球迷爭奪一張球票.三人決定用抓鬮的方式來決定：用三張一樣大小的紙，一張寫上“票”字，另外兩張空白，然后捏成一樣大小的紙團.誰抓到票字的紙團，誰得球票.誰先抓？先抓是不是機會更大些？

分析：可以假設(shè)一人先抓，把各種可能性都列舉出來，再分析誰的機會大.

畫樹狀圖，如圖1所示.

一共有6種可能性，甲、乙、丙的勝出的概率相同，所以不管誰先抓，機會一樣大.

中學(xué)階段，統(tǒng)計與概率模型的研究有助于學(xué)生理解和表達(dá)事件發(fā)展的規(guī)律，感知數(shù)據(jù)分析的重要性.目的在于培養(yǎng)學(xué)生感悟數(shù)據(jù)中蘊含的事物特征，將數(shù)據(jù)作為判斷和預(yù)測的依據(jù)，形成數(shù)據(jù)意識與數(shù)據(jù)觀念.

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)科是義務(wù)教育階段的重要科目之一，通過有效教學(xué)，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的理性邏輯能力.而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用數(shù)學(xué)模型思想，有利于幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，促使學(xué)生運用模型思想解決問題，從而全面提升學(xué)習(xí)能力［2］.

教師在滲透數(shù)學(xué)建模思想的過程中，要根據(jù)學(xué)生的實際情況，采取適當(dāng)策略.

（1）充分利用教材資源，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想.義務(wù)教育階段教材中的許多知識情景問題和數(shù)學(xué)活動問題都是很好的教學(xué)資源，這些問題需要結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法來教學(xué).

（2）根據(jù)知識點，列舉生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想的問題.大多數(shù)學(xué)生往往對枯燥的數(shù)字或數(shù)學(xué)問題興趣不大，但對一些生活實例比較感興趣，在解決實際問題的過程中體會到學(xué)以致用的快樂和成就感，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（3）通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.教師可以充分利用教材內(nèi)容，將一些枯燥的數(shù)學(xué)問題改編成適合學(xué)生的生活實例，在調(diào)動學(xué)生積極性的同時，滲透數(shù)學(xué)建模思想.

（4）注重跨學(xué)科的聯(lián)系.初中數(shù)學(xué)中有部分題目與物理、化學(xué)有聯(lián)系.如自由落體，入射角、反射角，濃度等問題，學(xué)生理解有困難，需要教師及時講解.

總之，教師在教學(xué)過程中應(yīng)積極滲透數(shù)學(xué)建模思想和培養(yǎng)學(xué)生的模型意識.這樣既可以調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，提高學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)造性思維大有益處的.

參考文獻：

［1］李海波.初中數(shù)學(xué)“模型建構(gòu)”的實踐與思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（5）：28-29.

［2］趙方欣.教學(xué)環(huán)節(jié)中數(shù)學(xué)模型思想的巧妙滲透［J］.新課程教學(xué)（電子版），2021（5）：29-30.