陳晨 趙軍 徐琳琳

“一題一課”是指教師通過(guò)對(duì)一道題或一個(gè)材料作深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索和數(shù)學(xué)本質(zhì)，自然、合理和有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，以達(dá)成多維目標(biāo)的過(guò)程［1］.

“圓”是初中幾何中一個(gè)重要的章節(jié)，和圓有關(guān)的問(wèn)題中難度較大的要屬“隱圓問(wèn)題”，究其原因在“隱”字上.學(xué)生看不到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，很難解決好此類問(wèn)題，因此教師需要結(jié)合數(shù)學(xué)理論引導(dǎo)學(xué)生看清它.筆者擬借助“一題一課”授課方式，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)“隱圓問(wèn)題”進(jìn)行分類研究，幫助學(xué)生歸納總結(jié).

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解“隱圓問(wèn)題”的常見類型及解決方法，為后期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；

（2）通過(guò)“一題一課”的教學(xué)方式，培養(yǎng)探究和解決問(wèn)題的能力.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 前置問(wèn)題

如圖1，已知⊙O與圓外一點(diǎn)P，求作點(diǎn)P到圓上最近的點(diǎn)A和最遠(yuǎn)的點(diǎn)B，請(qǐng)作圖說(shuō)明并證明.

分析：通過(guò)對(duì)圓外一點(diǎn)到圓上的最短距離和最長(zhǎng)距離的證明，歸納它們的計(jì)算公式，為后面例題的講解打下基礎(chǔ).證明所得的結(jié)論，對(duì)解決“隱圓問(wèn)題”中的最大（?。┲捣浅?shí)用.

解析：如圖2，設(shè)A′是⊙O上任意一點(diǎn)，r為⊙O的半徑.

在△OA′P中，由

OP

OP－OA′

因?yàn)镺A=OA′，所以

OP－OA

所以A是⊙O上距離點(diǎn)P最近的點(diǎn)，且最近距離=OP-r.

如圖2，在△OA′P中，因?yàn)?/p>

OP+OA′>A′P，OA′=OB，所以

OP+OB>A′P，即BP>A′P.

所以B是⊙O上距離點(diǎn)P最遠(yuǎn)的點(diǎn)，且最遠(yuǎn)距離=OP+r.

2.2 模型探究

第一類模型：“定點(diǎn)+定長(zhǎng)=定圓”.

模型依據(jù)：根據(jù)圓的定義，聯(lián)系“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓”.

模型重現(xiàn)：如圖3，已知線段AB和點(diǎn)O，試在平面內(nèi)找到符合條件的所有點(diǎn)M，使得MO=AB.（點(diǎn)M的軌跡就是以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的⊙O，如圖4.）

例1 如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC上任意一點(diǎn)，將△EFB沿著EF所在的直線折疊得到△EFB′，連接B′D，求B′D的最小值.

分析：這是一個(gè)“定點(diǎn)+定長(zhǎng)=定圓”的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析首先引導(dǎo)學(xué)生使隱圓的題顯出“圓”形，其次考慮求最小值，最后套用“DE-r”求解即可.

解：如圖6，因?yàn)辄c(diǎn)B到點(diǎn)E的距離不變，所以點(diǎn)B′的軌跡為以點(diǎn)E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑的圓弧.

因此可得DB′最小值=DE-EB=22+62－2=210－2.

變題1 如圖7所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將長(zhǎng)為4的線段EF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在正方形的邊上）.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周，在整個(gè)過(guò)程中，求線段EF的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形面積.

分析：此題的解題關(guān)鍵是畫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再分析其圍成圖形的特點(diǎn)，最后計(jì)算面積即可.

解：如圖8，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的軌跡圍成的圖形是正方形挖去4個(gè)14個(gè)圓.因此，所圍成的圖形面積是16－4π.

變題2 如圖9，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，現(xiàn)有一條長(zhǎng)為4的線段EF，緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周.在整個(gè)過(guò)程中，求線段EF的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形面積.

分析：此題也是先畫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再分析其圍成圖形的特點(diǎn)，最后計(jì)算面積即可.

解：如圖10，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的軌跡圍成的圖形還是矩形挖去4個(gè)14個(gè)圓，因此所圍成的圖形面積是24－4π.

第二類模型：“直徑+直角=定圓”.

模型依據(jù)：根據(jù)圓周角定理的推論，尋找“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”.

模型重現(xiàn)：如圖11，已知線段AB=4，試在平面內(nèi)找到符合條件的所有點(diǎn)P，使得∠APB=90°.（如圖12）

例2 如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BE，求線段CE的最小值和最大值.

分析：這是一個(gè)“定長(zhǎng)（直徑）+定角（90°）=定圓”的問(wèn)題，首先還是讓“隱圓問(wèn)題”顯出“圓”形，其次考慮求最小值和最大值，最后分別套用DE-r和DE+r即可.

解：如圖14，由∠AEB=90°，可知

點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上.

故CE最小值=CO-r=210－2；

CE最大值=CO+r=210+2.

變題1 如圖15所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，且BE=CF，AE與BF交于點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)；（2）求MC的最小值.

分析：這里聯(lián)系了正方形的“十字架”模型［2］，容易證明BF⊥AE，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，再套用公式求最小值.

解：（1）如圖16，在

正方形ABCD中，有

AB=BC，∠ABC=∠C.

又BE=CF，所以

△ABE≌△BCF，則

AE=BF.

易證AE⊥BF，則點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的14圓弧，所以l=90×π×12180=π2.

（2）取AB中點(diǎn)S，則MC最小值=SC－r=5－1.

變題2 如圖17，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，若點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上任意移動(dòng)，點(diǎn)F在線段DC延長(zhǎng)線上任意移動(dòng)，且BE=CF，AE與BF交于點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度；（2）求MC的最小值.

分析：本題還是聯(lián)系正方形的“十字架”模型，易證直線BF和AE是垂直關(guān)系，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，再套用公式求最大值.

解：（1）如圖18，證明過(guò)程同變題1，點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的34圓弧，

則

l=270×π×12180=3π2.

（2）取AB中點(diǎn)S，MC最大值=SC+r=12+22+1=5+1.

第三類模型：“定弦+定角（非直角）=定圓”.

模型依據(jù)：根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”及“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”得到圓.

模型重現(xiàn)：如圖19，已知AB=4，試在平面內(nèi)找到符合條件的所有點(diǎn)P，使得∠APB=60°.點(diǎn)P的軌跡如圖20所示.

例3 如圖21，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，∠FEG=60°，

EF=EG=22，現(xiàn)想從矩形中剪出一個(gè)四邊形EFMG，使得∠FMG=60°，求四邊形EFMG面積的最大值.

分析：這是一個(gè)“定長(zhǎng)（弦）+定角（60°）=定圓”的問(wèn)題，首先讓隱圓問(wèn)題顯出“圓”形，其次考慮求最大值即可.

解：如圖22，由∠FMG=60°知點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，OF為半徑的⊙O上.要使四邊形EFMG的面積最大，則點(diǎn)M在點(diǎn)O的正上方.

所以S四邊形EFMG的最大值為S△EFG+S△FGM=4+43.

變題 如圖23，正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，若點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)E從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，且BE=AD，AD與BE交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度.

分析：仿照正方形的“十字架”模型設(shè)計(jì)此變題，希望學(xué)生能融會(huì)貫通.

解：如圖24、圖25，類似例3，可知點(diǎn)M的軌跡是半徑為233的13圓弧，l=120×π×233180=43π9.

2.3 課堂小結(jié)

解題步驟：現(xiàn)“圓”形，找最值，套公式.

解題方法：勤作圖，聯(lián)模型，重細(xì)節(jié).

解題思想：分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化類比.

3 教學(xué)反思

（1）“一題一課”讓知識(shí)整合起來(lái)

“隱圓問(wèn)題”的特點(diǎn)是知識(shí)零碎，雖然各模型之間是相互關(guān)聯(lián)的，但學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)卻很難一手抓.因此，教師的教學(xué)一定要“化零為整，突破難點(diǎn)”，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)才能更加系統(tǒng)，教學(xué)效果也能更佳.

（2）“一題一課”讓圖形關(guān)聯(lián)起來(lái)

本教學(xué)課例中，筆者在設(shè)計(jì)變題中，聯(lián)系了“瓜豆原理”“將軍飲馬模型”“十字架模型”和相似三角形等.這些關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，可以讓靜態(tài)的圖形模型靈動(dòng)起來(lái).

（3）“一題一課”讓學(xué)習(xí)輕松起來(lái)

在現(xiàn)實(shí)解題時(shí)，學(xué)生沒(méi)有幾何畫板，所以根本無(wú)法動(dòng)畫演示整個(gè)圖形的形成過(guò)程.這就需要教師教導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行特殊值的選取，然后連線找到點(diǎn)的軌跡.適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，幫學(xué)生總結(jié)解決“隱圓問(wèn)題”的步驟，即現(xiàn)“圓”形，找最值，套公式.

但教師也需清楚，所有的總結(jié)不是牽絆學(xué)生的思考，而是為了更好地引領(lǐng)學(xué)生去探索難題的解題方法，也希望學(xué)生能結(jié)合教師的講解總結(jié)出自己的心得.

參考文獻(xiàn)：

［1］張哲.中考微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考——以“隱圓問(wèn)題”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（3）：9-11.

［2］陳晨，朱建良.巧用題源 多向變題——一道教材習(xí)題的改編及反思［J］.數(shù)學(xué)通訊，2022（7）：48-50.