蔣鼎年

摘要：體積測量項(xiàng)目式學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“密度”“浮力”等計(jì)算體積的物理知識(shí)，具備完成體積測量項(xiàng)目學(xué)習(xí)任務(wù)的知識(shí)儲(chǔ)備.通過計(jì)算及估算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)祖暅原理，同時(shí)在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生證明球體體積公式.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間環(huán)環(huán)相扣的邏輯關(guān)系，感受數(shù)學(xué)美和中華民族深厚的文化內(nèi)涵，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力和愛國情懷.

關(guān)鍵詞：人體體積；祖暅原理；球體體積

1 學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

“體積的測量”建議作為人教版（2013年）九年級上冊第二十四章“圓”的內(nèi)容完成后的數(shù)學(xué)拓展課.本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容涉及到八年級物理中的“密度”“浮力”和八年級數(shù)學(xué)的“勾股定理”等基本知識(shí)，在此基礎(chǔ)上螺旋上升到“祖暅原理”的發(fā)現(xiàn)和球體體積公式的證明，是一節(jié)多學(xué)科融合的數(shù)學(xué)項(xiàng)目式教學(xué)課，是以體積為基礎(chǔ)玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)的深化和拓展.

2 教學(xué)目標(biāo)分析

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，結(jié)合九年級學(xué)生的認(rèn)知心理特征，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)定為：

（1）學(xué)會(huì)調(diào)動(dòng)多學(xué)科知識(shí)儲(chǔ)備，經(jīng)歷多種方法探究自己身體體積的過程，感受學(xué)科知識(shí)間的融合應(yīng)用，掌握利用所學(xué)知識(shí)解決身邊問題的能力.

（2）通過小組合作，從估算自己身體體積的過程，探究發(fā)現(xiàn)并掌握祖暅原理，體會(huì)知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，感受中華民族深厚的文化內(nèi)涵.

（3）通過小組合作探究或教師引導(dǎo)，在祖暅原理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷球體體積的證明過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和關(guān)聯(lián)性，在此探究過程中學(xué)會(huì)勤于思考、樂于合作、善于發(fā)現(xiàn)、善于總結(jié)等數(shù)學(xué)品質(zhì).

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 問題引入

用盡可能多的方式測量自己身體的體積（包括估算），并在小組內(nèi)交流，談?wù)勛约旱母惺?

設(shè)計(jì)意圖：通過課前設(shè)置的研學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)儲(chǔ)備，尋找測量自己身體體積的方式方法，體驗(yàn)多學(xué)科知識(shí)融合運(yùn)用的過程.不同層次的學(xué)生都會(huì)有自己的感受和發(fā)現(xiàn)，入手低，平臺(tái)廣，有充分的發(fā)揮空間.

3.2 測量自己身體體積的方法展示

方法1：結(jié)合物理知識(shí)，利用電子秤得到自身的質(zhì)量為m kg，通過查閱資料得知人體的平均密度ρ=1.02 g/cm3，根據(jù)V=mρ，可準(zhǔn)確計(jì)算出人體體積.

方法2：利用“當(dāng)物體浸沒或懸浮在液體中時(shí)，V排=V物”的物理知識(shí)，將人體浸沒在容器中，并計(jì)算排出的水的體積，即可得到人體的體積.

方法3：以人體肚臍眼位置的橫截面面積S為參照基準(zhǔn)（如圖1），乘人體身高h(yuǎn)，以此估算人體體積V.

設(shè)計(jì)意圖：以小組為代表，展示測量自己身體體積的多種方式方法，讓學(xué)生感受同學(xué)之間的智慧以及學(xué)科知識(shí)的融合應(yīng)用.

3.3 談感受

某學(xué)生：我在小組成員的幫助下，利用方法1，計(jì)算到我的體積是54 dm2；利用方法2，計(jì)算到我的體積是50 dm2；而利用方法3的操作方式，測量了我肚臍眼位置的腰圍和站立時(shí)相應(yīng)高度的手臂的臂圍，將腰圍和臂圍類比為圓的周長可計(jì)算出橫截面面積，乘我的身高算出來的體積56 dm2.從中我發(fā)現(xiàn)與方法1的結(jié)果相比，方法2的計(jì)算結(jié)果誤差較大，反思的原因是方法2的操作過程中，溢出來的水難以完全收集，導(dǎo)致誤差較大；方法3的估算結(jié)果誤差較小，說明此方法具有一定的科學(xué)性，有研究價(jià)值.

方法1和方法2的優(yōu)點(diǎn)是能準(zhǔn)確計(jì)算出人體體積.缺點(diǎn)是：方法1需要通過查閱資料得到人體平均密度數(shù)據(jù)，才能計(jì)算出人體體積；而方法2需要用到容器、水、刻度尺等多種輔助工具.方法3的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算方便，缺點(diǎn)是存在一定誤差.

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)歸納，感受方法3的科學(xué)性，為下一個(gè)探究任務(wù)作鋪墊.

3.4 觀察與思考

如圖2，兩摞硬幣都是40個(gè)規(guī)格一樣的一元硬幣，左邊為不規(guī)則幾何體，右邊為圓柱體，二者的高度一樣，每一個(gè)位置的橫截面積一樣，其體積也一樣.

發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則二者體積相等［1］.

引申出祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等［2］.（如圖3.）

設(shè)計(jì)意圖：通過方法3的估算和硬幣擺放的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)祖暅原理，并介紹祖暅原理的歷史背景，讓學(xué)生感受中華民族深厚的文化內(nèi)涵［3］，便于理解和接受“祖暅原理”，為下一個(gè)知識(shí)設(shè)計(jì)作鋪墊.

3.5 總結(jié)與思考

已知V圓錐=πr2h3，V圓柱=πr2h.下面我們推導(dǎo)半徑為R的球體的體積公式.

如圖4所示，若圓柱半徑為R，高度為R，根據(jù)與圓柱等底同高的圓錐（倒立放置）和半球同時(shí)在任意高度h位置橫截面的關(guān)系，容易證明“球體的橫截面面積+圓錐橫截面面積=圓柱的橫截面面積”［4］.

證明：

∵S球體橫截面=πr2=π（R2－h(huán)2）=πR2－πh2，S圓錐橫截面=πh2，S圓柱橫截面=πR2，

∴S球體橫截面+S圓錐橫截面=S圓柱橫截面.

∴S圓環(huán)橫截面=S球體橫截面.

根據(jù)祖暅原理，得

V半球=V圓柱-V圓錐=πR3－πR33=2πR33.

∴V球=2V半球=4πR33.

體積測量之項(xiàng)目式學(xué)習(xí)分成三個(gè)教學(xué)模塊，模塊一是測量學(xué)生自己的身體體積，通過小組合作探究和展示，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷多種測量方法的對比和驗(yàn)證，使學(xué)生感受項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，跨學(xué)科融合的特點(diǎn)，感悟不規(guī)則的圖形計(jì)算可利用可視化的數(shù)學(xué)方法去精確計(jì)算.模塊二是通過多個(gè)硬幣的不同疊放方式，利用數(shù)學(xué)模型形象直觀地引出“祖暅定理”，有效突破教學(xué)難點(diǎn).模塊三是通過圓錐和圓柱的體積公式，利用前面的教學(xué)知識(shí)成功推導(dǎo)出球體體積公式.整個(gè)教學(xué)過程經(jīng)歷了探究—猜想—發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證的過程，是對體積測量之項(xiàng)目式教學(xué)的升華.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷利用祖暅原理探究球體體積公式的過程，在體積測量教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)美［5］.

4 教學(xué)反思

本節(jié)課以知識(shí)發(fā)展為基礎(chǔ)，以測量自己身體體積為支點(diǎn)，利用小組合作探究出祖暅原理，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生證明球體體積公式.將多學(xué)科知識(shí)融合應(yīng)用，讓簡單問題螺旋上升，使得復(fù)雜的球體體積公式能在玩數(shù)學(xué)的過程中，層層遞進(jìn)而導(dǎo)出，過渡自然，環(huán)環(huán)緊扣，邏輯性強(qiáng)，學(xué)生接受良好.

本節(jié)課，以玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)之項(xiàng)目式教學(xué)形式展開，時(shí)間是最大的問題.要在課前布置研學(xué)問題，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組展示和探究，最困難的是時(shí)間的把控.還有一點(diǎn)遺憾是圓錐的體積公式直接給出來了，若時(shí)間充足的話，先證明圓錐體積公式再升華到證明球體體積公式，邏輯性會(huì)更強(qiáng).

數(shù)學(xué)分析貫穿整節(jié)課堂，邏輯性強(qiáng)，水平中下的學(xué)生會(huì)感到吃力，所以利用幾何畫板軟件進(jìn)行建模演示，希望利用數(shù)學(xué)模型盡量化解難度.

參考文獻(xiàn)：

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［3］張楚廷.數(shù)學(xué)文化［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］柳笛.高中“數(shù)學(xué)史選講”的教學(xué)案例設(shè)計(jì)——古代數(shù)學(xué)瑰寶之求體積原理［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月高中），2010（3）：16-18.

［5］盧軍萍.巧用“問題串”活化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（36）：59-61.