王華中 顧香才

1 教學(xué)背景

八年級(jí)學(xué)生在平行四邊形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，已經(jīng)知道平行四邊形可以看成是一個(gè)三角形繞某一邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所形成的中心對(duì)稱圖形，并在此基礎(chǔ)上按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的過(guò)程完成了相關(guān)學(xué)習(xí).但筆者感覺(jué)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有一種被牽著鼻子走的感覺(jué)，并沒(méi)有打通平行四邊形的判定條件與中心對(duì)稱圖形之間的關(guān)系，對(duì)平行四邊形的判定條件缺乏理性的思考和本質(zhì)的認(rèn)知，只能稀里糊涂地走進(jìn)記憶、模仿的巢臼.因此，教師有必要設(shè)計(jì)一些活動(dòng)讓學(xué)生去操作、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)、感悟，進(jìn)而從本質(zhì)屬性上再識(shí)平行四邊形的判定條件.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 活動(dòng)一：基于尺規(guī)作圖，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

尺規(guī)作圖，用不同的方法作一個(gè)平行四邊形.

預(yù)設(shè)：教師根據(jù)學(xué)生作圖情況主要展示平行四邊形的四種不同作圖方法，如圖1～4所示.

問(wèn)題1 四種作法的依據(jù)分別是什么？

教學(xué)實(shí)施：教師引導(dǎo)學(xué)生分析尺規(guī)作圖的條件并分別回答作圖依據(jù)，目的是復(fù)習(xí)平行四邊形的四個(gè)判定定理（包含定義）.

問(wèn)題2 連接圖中的對(duì)角線AC（如圖1～4），根據(jù)尺規(guī)作圖的條件，△ABC與△CDA全等嗎？如果全等，全等的依據(jù)分別是什么？

教學(xué)實(shí)施：根據(jù)作圖的條件，學(xué)生不難得到三角形全等的依據(jù)，其中圖4的證明可以轉(zhuǎn)化為圖2的證法，即先通過(guò)證明△AOD與△COB全等得到AD與BC平行且相等，從而與圖2的條件一致，圖4的證明也為后面活動(dòng)三的探究積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

問(wèn)題3 因?yàn)椤鰽BC≌△CDA，所以四邊形ABCD可以看成是由△ABC如何運(yùn)動(dòng)得到的？

預(yù)設(shè)：學(xué)生已有旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱圖形的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，所以不難得到四邊形ABCD可以看成是由△ABC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的中心對(duì)稱圖形，這樣相對(duì)的邊一定平行且相等，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.

教學(xué)說(shuō)明：此活動(dòng)以基本作圖為基礎(chǔ)，起點(diǎn)較低，在讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手的同時(shí)，也讓平行四邊形“動(dòng)”了起來(lái)，既復(fù)習(xí)了平行四邊形的判定方法，又從本質(zhì)上理解了平行四邊形的判定條件，在實(shí)踐探究活動(dòng)中將幾何直觀和邏輯推理相結(jié)合，發(fā)展推理能力.同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行理性的思考——平行四邊形的一條對(duì)角線能夠?qū)⑵叫兴倪呅畏指畛蓛蓚€(gè)全等的三角形，這兩個(gè)三角形關(guān)于對(duì)角線的中點(diǎn)中心對(duì)稱.因此，我們可以得到，只要一條對(duì)角線把四邊形分成的兩個(gè)三角形一定全等，則該四邊形一定是平行四邊形，從而讓學(xué)生從中心對(duì)稱的本質(zhì)屬性上重新認(rèn)識(shí)平行四邊形的判定定理.

2.2 活動(dòng)二：基于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，識(shí)別平行四邊形

問(wèn)題1 尺規(guī)作圖，作一個(gè)“一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形”.

預(yù)設(shè)：學(xué)生根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以想到作出一個(gè)平行四邊形即可滿足題目條件，如圖5所示.

問(wèn)題2 作出的四邊形一定是平行四邊形嗎？為什么？

教學(xué)實(shí)施：教師引導(dǎo)學(xué)生重新審視題目的條件（AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D），如圖5所示（注：∠B與∠D為銳角），對(duì)角線AC分成的兩個(gè)三角形△ABC與△CDA滿足的條件是“邊邊角”，所以兩個(gè)三角形不一定全等，其中一個(gè)三角形的形狀可以改變，根據(jù)活動(dòng)一的經(jīng)驗(yàn)可知，構(gòu)成的四邊形不一定是平行四邊形.

問(wèn)題3 根據(jù)“邊邊角”的條件，你能想到如何構(gòu)造反例嗎？

預(yù)設(shè)：根據(jù)前面學(xué)習(xí)全等三角形“SSA”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生想到只需改變△ABC或△CDA的形狀，同時(shí)與另一個(gè)三角形滿足“邊邊角”的條件即可.

問(wèn)題4 如何改變其中一個(gè)三角形的形狀呢？請(qǐng)拿出提前準(zhǔn)備好的△ABC與△CDA紙片（∠B與∠D相等且為銳角），你能通過(guò)“剪拼”的方式，構(gòu)造出反例嗎？

教學(xué)實(shí)施：本活動(dòng)對(duì)學(xué)生的思維和動(dòng)手能力要求較高，所以通過(guò)小組合作、交流的形式開(kāi)展.教師應(yīng)給予充足的時(shí)間讓學(xué)生去操作、交流、驗(yàn)證，并在巡視過(guò)程中適時(shí)給予幫助，最后請(qǐng)小組代表匯報(bào)“剪拼”的方法，展示“剪拼”的過(guò)程，

如圖6所示.讓學(xué)生在探究活動(dòng)中將幾何直觀和邏輯推理相結(jié)合，發(fā)展推理能力，從而達(dá)到降低尺規(guī)作圖難度的目的，體驗(yàn)成功的喜悅.

問(wèn)題5 你能通過(guò)尺規(guī)作圖構(gòu)造出反例嗎？

教學(xué)實(shí)施：在“剪拼”的基礎(chǔ)上，學(xué)生想到只需在原來(lái)平行四邊形ABCD的基礎(chǔ)上，通過(guò)“邊邊邊”的條件作△AB′C與已裁剪出來(lái)的三角形全等即可.學(xué)生直接在給出的平行四邊形ABCD基礎(chǔ)上作出反例并板書(shū)展示，如圖7所示.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)剪紙、拼圖和尺規(guī)作圖等一系列“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，促使學(xué)生去體驗(yàn)、感悟構(gòu)造反例的有效方法，再通過(guò)尺規(guī)作圖加深對(duì)這個(gè)假命題的認(rèn)識(shí)，積累構(gòu)造平行四邊形反例的經(jīng)驗(yàn)，滲透類比、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，提升表達(dá)交流、分析和解決問(wèn)題的能力，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)自信心，體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)理念.這樣的活動(dòng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有曲折性和創(chuàng)造性，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，在探究活動(dòng)中培養(yǎng)應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，提升幾何直觀、模型觀念、抽象能力與邏輯推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.3 活動(dòng)三：基于本質(zhì)屬性，再識(shí)平行四邊形

“一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形”是真命題還是假命題？如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出反例.

為降低探究難度且方便學(xué)生分析與操作，將此問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言描述如下.

已知在四邊形ABCD中，AB＝CD，BO＝DO，四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出反例.

教學(xué)實(shí)施：本活動(dòng)的難點(diǎn)是沒(méi)有給出圖形，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動(dòng)二中構(gòu)造反例的經(jīng)驗(yàn)，先從平行四邊形出發(fā)去分析已知條件，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造的平行四邊形中仍然存在兩個(gè)三角形（△ABO與△CDO）滿足“邊邊角”的條件，當(dāng)圖中∠AOB與∠COD為銳角時(shí)，與活動(dòng)一的圖4進(jìn)行比較可知，這兩個(gè)三角形不一定全等，

從而得到這是一個(gè)假命題，并作出反例，如圖8所示.

教學(xué)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生從另一種中心對(duì)稱的角度（8字型全等）關(guān)注平行四邊形的本質(zhì)屬性和圖形結(jié)構(gòu)，滲透類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心.

2.4 總結(jié)反思

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)平行四邊形的判定條件有哪些認(rèn)識(shí)？

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生可以從三角形全等和中心對(duì)稱圖形兩個(gè)方面進(jìn)行回答.只要學(xué)生回答得有道理，教師都應(yīng)給予肯定.教師在學(xué)生回答的同時(shí)，完成如圖9所示的板書(shū)，歸納平行四邊形的判定條件與中心對(duì)稱圖形之間的本質(zhì)關(guān)系.

3 幾點(diǎn)反思

3.1 重視對(duì)平行四邊形判定條件的理性思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求以中心對(duì)稱為主線，探究平行四邊形中各元素的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，在直觀理解和掌握?qǐng)D形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力.本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生清晰地知道研究平行四邊形的判定條件，其本質(zhì)就是在探索“兩個(gè)三角形全等”的等價(jià)條件的指引下，利用中心對(duì)稱的圖形屬性，達(dá)到確定判定條件是否成立的目的.對(duì)平行四邊形判定條件的理性思考，為后面學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形的判定條件奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3.2 重視“做數(shù)學(xué)”理念下學(xué)生核心素養(yǎng)的培育

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求學(xué)生經(jīng)歷操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、交流的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過(guò)尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.本節(jié)課基于“做數(shù)學(xué)”的理念，以探究活動(dòng)的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—實(shí)驗(yàn)—驗(yàn)證—運(yùn)用”的幾何研究方法，基于學(xué)生已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生在把握平行四邊形的圖形本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)、圖形間的從屬關(guān)系與邏輯體系，領(lǐng)會(huì)特殊事物的本質(zhì)屬性與特殊性質(zhì)的關(guān)系.這是發(fā)展學(xué)生幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)的必經(jīng)路徑.

3.3 重視邏輯推理中證實(shí)與證偽的結(jié)合

長(zhǎng)期以來(lái)，“證實(shí)—求真”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本邏輯.從邏輯推理的角度來(lái)看，傳授真理的整個(gè)教學(xué)過(guò)程就是演繹推理的表現(xiàn)，其指向是訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理能力，與合情推理毫無(wú)關(guān)聯(lián)，不能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生全面的數(shù)學(xué)推理能力的目標(biāo)，顯然與當(dāng)下新課程理念大相徑庭.

邏輯推理中證實(shí)與證偽的結(jié)合可以達(dá)到去偽存真的目的，既是認(rèn)識(shí)論也是方法論，既是教師的一種信念也是教師的一種行為.在由知識(shí)為重轉(zhuǎn)向素養(yǎng)為重的課程改革推進(jìn)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)樹(shù)立這種信念并將其內(nèi)化為一種自覺(jué)行為，給學(xué)生提供一些多向思維的空間，給他們鋪設(shè)情感投入學(xué)習(xí)的路徑，給他們構(gòu)筑核心素養(yǎng)發(fā)展的平臺(tái)，不要割裂“去偽存真”，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然之路.

綜上所述，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)多一些實(shí)質(zhì)性的操作、交流，多一些有助于思考的探究、實(shí)驗(yàn)，多一些對(duì)知識(shí)的充分體驗(yàn)和感悟，從而在“做數(shù)學(xué)”中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).