韋鳳蓮

1 “教—學(xué)—評(píng)”一致性的理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的前言中明確提出：注重實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性.華東師范大學(xué)崔允漷教授認(rèn)為“教—學(xué)—評(píng)”一致性有兩種理解：一種是對(duì)于教師而言，一種是對(duì)于教師與命題專家而言.本文中探討的是第一種，即在特定的課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)應(yīng)該與教學(xué)目標(biāo)保持一致.此處的“評(píng)價(jià)”是指“促進(jìn)學(xué)習(xí)的課堂評(píng)價(jià)”.教師在日常教學(xué)實(shí)踐中通過(guò)觀察、交流、作業(yè)、測(cè)驗(yàn)等手段，收集學(xué)生的學(xué)習(xí)信息，為教和學(xué)的改進(jìn)提供決策基礎(chǔ).

2 “教—學(xué)—評(píng)”一致性的“費(fèi)馬點(diǎn)”模型

用數(shù)學(xué)中著名的“費(fèi)馬點(diǎn)”可以詮釋“教—學(xué)—評(píng)”一致性.“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形（三個(gè)內(nèi)角均不大于120°）內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)，是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1640年給意大利物理學(xué)家托里拆利的一封信中提出的.其原理如下：

如圖1所示，△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的連線夾角均為120°時(shí)，PA+PB+PC的值最小.

分析：如圖2，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′BP′，連接PP′，則△BPP′是等邊三角形，所以PB=PP′.當(dāng)A′，P′，P，C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

崔允漷教授強(qiáng)調(diào)“教—學(xué)—評(píng)”應(yīng)與教學(xué)目標(biāo)保持一致，筆者認(rèn)為教學(xué)目標(biāo)可以理解為學(xué)科核心素養(yǎng).筆者嘗試用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型來(lái)詮釋“教—學(xué)—評(píng)”一致性的實(shí)質(zhì)，構(gòu)建出如下理論模型（圖3）.

模型中的“費(fèi)馬點(diǎn)”即學(xué)科核心素養(yǎng)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為“教”“學(xué)”“評(píng)”，三者構(gòu)成穩(wěn)定的教學(xué)三角.從模型圖不難理解，只有當(dāng)“教—學(xué)—評(píng)”與“核心素養(yǎng)”在同一直線上即保持一致性時(shí)教學(xué)才能少走彎路，以“最短路徑”取得效益最大化.筆者以魯教版八年級(jí)上冊(cè)“數(shù)據(jù)的離散程度”為例，闡述如何圍繞核心素養(yǎng)這一教學(xué)的“費(fèi)馬點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性.

3 “教—學(xué)—評(píng)”一致性的“費(fèi)馬點(diǎn)”模型應(yīng)用實(shí)例

3.1 情境導(dǎo)入：感受數(shù)據(jù)離散程度的必要性

情境一：射箭時(shí)，新手成績(jī)通常不太穩(wěn)定，小明和小華練習(xí)射箭，第一局12支箭射完后，兩人的成績(jī)?nèi)鐖D4所示.請(qǐng)根據(jù)圖中信息估計(jì)小明和小華誰(shuí)是新手，并說(shuō)明你這樣估計(jì)的理由.

情境二：學(xué)校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)（單位：cm）如表1所示：

你認(rèn)為哪一名運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮更穩(wěn)定？如果歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到6.10 m就能打破記錄，你認(rèn)為為了打破記錄應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽呢？

情境三：為了提高農(nóng)副產(chǎn)品的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力，一些行業(yè)協(xié)會(huì)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品的規(guī)格進(jìn)行了劃分.某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為75 g的雞腿，現(xiàn)有2個(gè)廠家提供貨源，它們的價(jià)格相同，雞腿的品質(zhì)也相近.

質(zhì)檢員分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20只雞腿，它們的質(zhì)量（單位：g）如圖5所示：

如果只考慮雞腿的規(guī)格，你認(rèn)為外貿(mào)公司應(yīng)買哪個(gè)廠的雞腿？

問(wèn)題1 以上三個(gè)實(shí)際問(wèn)題有什么共性？我們除了關(guān)注數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)之外，還會(huì)關(guān)注什么？

學(xué)生：除了關(guān)注數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)之外，還需要關(guān)注數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.

教學(xué)分析：通過(guò)三個(gè)實(shí)際問(wèn)題情境評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)離散程度及其意義的直觀感知和宏觀認(rèn)識(shí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，并基于學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行引導(dǎo)，導(dǎo)入新課，同時(shí)梳理之前的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成以下板書(shū)（圖6）.這一環(huán)節(jié)教師通過(guò)問(wèn)題評(píng)價(jià)，搜集學(xué)生信息進(jìn)行診斷，然后進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)化引導(dǎo)，體現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性.

3.2 情境探究：經(jīng)歷建立“三差”模型的過(guò)程

問(wèn)題2 大家已經(jīng)從統(tǒng)計(jì)圖和數(shù)據(jù)中直觀模糊地感受了數(shù)據(jù)的離散程度，用數(shù)學(xué)的眼光和思維來(lái)看，我們接下來(lái)會(huì)探索什么？

追問(wèn)1：我們是如何刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的？

學(xué)生：我們是用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的.

追問(wèn)2：所以由此你想到了什么？

學(xué)生：用什么數(shù)可以刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度.

教學(xué)分析：此環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.通過(guò)本原性問(wèn)題的思考來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)定位，針對(duì)學(xué)生暴露的數(shù)據(jù)意識(shí)淡薄的問(wèn)題，教師進(jìn)行學(xué)科觀念層面的引導(dǎo)，使之明確用數(shù)據(jù)計(jì)算思維可以將數(shù)據(jù)離散程度的刻畫(huà)從直觀模糊走向精確量化，發(fā)揮評(píng)價(jià)在教與學(xué)中的診斷作用.

問(wèn)題3 以情境三及變式為例，說(shuō)說(shuō)你將如何用數(shù)據(jù)計(jì)算思維更精確地刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度.

變式 在甲和丙廠（如圖7）兩廠中，你認(rèn)為哪個(gè)廠的雞腿質(zhì)量更符合要求呢？

教學(xué)分析：此環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考問(wèn)題，增強(qiáng)類比平均數(shù)模型探究方差模型的思維主動(dòng)性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，增強(qiáng)建模意識(shí).通過(guò)問(wèn)題評(píng)價(jià)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的起點(diǎn)是極差，再通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)極差的片面性，利用情境變式讓學(xué)生感受進(jìn)一步探究的必要性.

問(wèn)題4 極差只關(guān)注最大數(shù)據(jù)和最小數(shù)據(jù)，不能兼顧所有數(shù)據(jù).那么有沒(méi)有一個(gè)量度像平均數(shù)一樣可以關(guān)注到每個(gè)數(shù)據(jù)呢？請(qǐng)以甲廠為例探索一個(gè)量度模型.

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后以小組為單位進(jìn)行討論，結(jié)果如下：

小組1：想到了用平均數(shù).

小組2：想到了用最大值和最小值減去平均數(shù)，然后求和.

小組3：想到了用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)求差，然后求和.

教學(xué)分析：此環(huán)節(jié)目的是在問(wèn)題探究中發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.小組活動(dòng)真實(shí)有效地反映了學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的水平，并基于此評(píng)價(jià)信息，設(shè)計(jì)了自學(xué)課本這一“教”的活動(dòng).

自學(xué)腳手架：

（1）為什么要用每個(gè)數(shù)減平均數(shù)？

（2）為什么要將這個(gè)差值進(jìn)行平方運(yùn)算？

（3）為什么要除以總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)？或者說(shuō)為什么要取平方和的平均數(shù)？

（4）為什么叫“方差”？

（5）什么叫標(biāo)準(zhǔn)差？為什么還要“學(xué)”標(biāo)準(zhǔn)差？

教學(xué)分析：學(xué)生帶著認(rèn)知沖突進(jìn)入課本自學(xué)環(huán)節(jié)，聚焦了思維，并以問(wèn)題為腳手架進(jìn)行深度思考，感悟方差公式的得來(lái)及其合理性，做到知其然，知其所以然，何由以知其所以然，增強(qiáng)數(shù)據(jù)觀念和模型觀念.教師在與學(xué)生的對(duì)話中獲取學(xué)情信息，根據(jù)學(xué)生對(duì)方差理解的水平，進(jìn)行有針對(duì)性的“教”，充分體現(xiàn)了“教—學(xué)—評(píng)”的一致性.

3.3 解決問(wèn)題：提煉應(yīng)用模型解決問(wèn)題的步驟

（1）請(qǐng)用方差解決選擇甲廠還是丙廠的問(wèn)題.

學(xué)生嘗試應(yīng)用公式解決，教師板書(shū)規(guī)范步驟.

問(wèn)題5 計(jì)算方差的一般步驟是什么？

學(xué)生：第一步，先計(jì)算平均數(shù)；第二步，套公式計(jì)算.

（2）跟蹤應(yīng)用：課本（魯教版）第64頁(yè)隨堂練習(xí)第2題.

教學(xué)分析：通過(guò)問(wèn)題的解決再次體會(huì)用數(shù)學(xué)模型語(yǔ)言表達(dá)世界的方法，體會(huì)方差學(xué)習(xí)的必要性，總結(jié)出規(guī)范應(yīng)用方差公式的一般步驟，并加以鞏固應(yīng)用.教師巡視搜集學(xué)生信息，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行指導(dǎo)，充分發(fā)揮習(xí)題對(duì)教學(xué)的評(píng)價(jià)功能，實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致，提高課堂效率.

3.4 課堂小結(jié)：總結(jié)本節(jié)課數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)

問(wèn)題6 通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你積累了哪些研究與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)？

教學(xué)分析：學(xué)習(xí)就是不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.課堂小結(jié)通過(guò)師生對(duì)話這一評(píng)價(jià)方式，可以診斷學(xué)生的知識(shí)掌握程度和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，為進(jìn)一步的教學(xué)提供依據(jù)，最終完善初中統(tǒng)計(jì)模塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)（圖8）.

“費(fèi)馬點(diǎn)”模型有一個(gè)成立條件，即三角形三個(gè)內(nèi)角均不大于120°.當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”正好落在120°角的頂點(diǎn)上，不在三角形內(nèi)部；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”在三角形外部.如果把整個(gè)課堂教學(xué)比作一個(gè)穩(wěn)定的三角形，學(xué)科核心素養(yǎng)就是三角形中的“費(fèi)馬點(diǎn)”，那么當(dāng)“教—學(xué)—評(píng)”中任何一個(gè)元素在課堂教學(xué)中占的比重過(guò)大，比如教師滿堂灌等現(xiàn)象，核心素養(yǎng)這個(gè)“費(fèi)馬點(diǎn)”將不在三角形內(nèi)部.只有三者緊緊圍繞核心素養(yǎng)，通過(guò)評(píng)價(jià)動(dòng)態(tài)掌握學(xué)情，三者保持有機(jī)統(tǒng)一的動(dòng)態(tài)平衡，教學(xué)三角才是科學(xué)的、和諧的，從而實(shí)現(xiàn)以“最短路徑”取得課堂效益最大化的教學(xué)目標(biāo).