曾元輝 趙淼 張正文 周海倫

doi： 10.11835/j.issn.1000-582X.2022.120

收稿日期：2022-04-22

網(wǎng)絡出版日期：2022-08-02

基金項目：重慶市自然科學基金重點項目資助（cstc2020jcyj-zdxmX0021）。

Foundation：Supported by the Key Project of the Natural Science Foundation of Chongqing （cstc2020jcyj-zdxmX0021）.

作者簡介：曾元輝（1997—），男，碩士研究生，研究方向為金屬增材制造和點陣結構，（E-mail）zengyhl@163.com。

通信作者：張正文，男，教授，博士生導師，（E-mail）zhangzw@cqu.edu.cn。

摘要：三周期極小曲面（triply periodic minimal surface，TPMS）點陣結構因其優(yōu)異的綜合性能受到中外學者的廣泛關注。在點陣結構實際應用過程中，常常需要對其進行優(yōu)化設計以兼顧輕量化與承載性能兩方面的要求。目前，對TPMS點陣結構的優(yōu)化設計主要集中于密度梯度層面，未綜合考慮載荷方向對其力學性能的影響。為此，首先研究了TPMS點陣結構的各向異性特征?；谄骄鶊鼍鶆蚧椒ㄇ蠼饬瞬煌愋蚑PMS點陣結構的等效彈性矩陣，通過Matlab插值計算，繪制了其在三維空間范圍內的楊氏模量圖。發(fā)現(xiàn)不同類型的TPMS點陣結構呈現(xiàn)出不同的各向異性特征，其中W點陣結構在[100]等軸線方向上性能較強，在[111]等斜向對角方向上性能較弱，而P點陣結構則剛好相反。根據(jù)TPMS點陣結構的各向異性，同時考慮主應力方向以及相對密度分布對其性能的影響，提出了TPMS點陣結構的密度梯度雜交優(yōu)化設計方法。以懸臂梁模型為基礎，基于載荷邊界條件對其進行拓撲優(yōu)化設計，并將拓撲優(yōu)化密度云映射為點陣結構的相對密度分布，從而實現(xiàn)密度梯度設計。根據(jù)TPMS點陣結構的各向異性特征以及單元主應力方向分別選擇W和P點陣單胞填充懸臂梁，使主應力方向位于點陣結構性能較強的方向，避免點陣結構在性能薄弱的方向承受較大的應力。將不同類型的TPMS點陣單元合理分布后，利用激活函數(shù)將它們進行雜交連接，實現(xiàn)結構梯度設計。綜合相對密度分布和單元結構分布，生成密度梯度雜交點陣結構。采用有限元仿真方法對比分析優(yōu)化設計前后點陣結構的承載性能，結果表明密度梯度W和P點陣結構的剛度與對應的均質點陣結構相比都有明顯提高，而由W和P兩種點陣單胞組成的密度梯度雜交點陣結構剛度最大，比密度梯度W和P點陣結構分別提高4.63%和33.63%。該結果表明在密度優(yōu)化的基礎上，根據(jù)承載時單元主應力方向將不同類型的點陣結構進行合理分布以及混合雜交設計能夠進一步提高結構的整體剛度。建立的TPMS點陣結構密度梯度雜交優(yōu)化方法為其在輕量化設計等方面的應用提供了一定的指導。

關鍵詞：三周期極小曲面；點陣結構；密度梯度；雜交；各向異性

中圖分類號：TH164????????? 文獻標志碼：A??????? ????? 文章編號：1000-582X（2024）05-076-11

Optimization design for TPMS lattice structures combining density gradient with hybridization

ZENG Yuanhui， ZHAO Miao， ZHANG Zhengwen， ZHOU Hailun

（School of Mechanical and Vehicle Engineering， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China）

Abstract： The triply periodic minimal surface （TPMS） lattice structures have attracted extensive attention from scholars worldwide. In practical applications， these lattice structures are typically designed optimally to meet the requirements of both lightweight and load-bearing capacity. However， current optimal designs for TPMS lattice structures are limited to density gradients， and the influence of loading directions on their mechanical properties has not been comprehensively considered. To address this gap， the anisotropic characteristics of TPMS lattice structures were investigated. Their equivalent elastic matrixes were calculated by using the homogenization method， and three-dimensional Youngs modulus diagrams were generated with Matlab. The results showed distinct anisotropy characteristics for different types of TPMS lattice structures. For instance， the W structure exhibited higher strength in the axial direction [100] and weaker strength in the diagonal direction [111]; whereas? the P structure showed the opposite trend. Subsequently， an optimization design method was proposed， combining density gradient with hybridization， considering both density distribution and principal stress directions. The optimization process involved topology optimization of a cantilever beam structure， and mapping the obtained density cloud to the relative density distribution of the lattice structure. Based on the anisotropic characteristics of TPMS lattice structures， W and P lattice cells were selected to fill the cantilever beam， aligning the principal stress directions with the strong mechanical properties of the lattice cells. After reasonable distribution of TPMS lattice cells of different types， they were smoothly connected by an activation function. Finally， the relative density and lattice cell type distributions were combined to obtain a density-graded hybrid lattice structure. The load-bearing performances of lattice structures before and after optimization designs were compared through finite element analysis. The results showed that the stiffness of density gradient W and P lattice structures was significantly improved compared with uniform structures. Moreover， the stiffness of the graded hybrid lattice structure was the highest， surpassing the density gradient W and P lattice structures by 4.63% and 33.63%， respectively. This demonstrates that hybridization design， achieved through a reasonable distribution of different lattice cells according to principal stress directions， can further improve overall stiffness. The established optimization method， combining density gradient with hybridization for TPMS lattice structures， provides a guidance for their application in lightweight designs.

Keywords： triply periodic minimal surface; lattice structure; density gradient; hybridization; anisotropic characteristic

在航空航天、汽車船舶等領域，裝備或結構的輕量化是設計者們需要考慮的重要目標之一[1]。而具有周期孔隙形態(tài)的多孔點陣結構擁有輕質高強的特性，是應用于輕量化設計的理想結構[2]。目前，研究較多的點陣結構可分為兩類[3]。一類是基于CAD方法設計的桁架式點陣結構，如體心立方[4]、面心立方[5]結構等；另一類是基于三周期極小曲面（triply periodic minimal surface，TPMS）設計的點陣結構，即TPMS點陣結構。與傳統(tǒng)桁架式點陣結構相比，TPMS點陣結構的力學性能更加優(yōu)異，更便于進行功能梯度設計且具有自支撐性[6]，應用前景十分廣闊，近年來受到了大量中外學者的關注和研究。

在工程實際應用過程中，均質點陣結構往往難以滿足結構和功能需求。因此，常需要對點陣結構進行相應的梯度優(yōu)化設計。張明康[7]根據(jù)結構承載時的應力云調整TPMS點陣結構相對密度分布，進行變密度設計，使材料更多地分配在應力集中區(qū)域，從而大幅增強了結構的抗彎能力。Panesar等[8]根據(jù)載荷邊界條件對懸臂梁結構進行了拓撲優(yōu)化設計，并將拓撲優(yōu)化密度云映射為TPMS點陣結構的相對密度分布，進行密度梯度設計，從而優(yōu)化了點陣結構的承載剛度。Alkebsi等[9]也對TPMS點陣結構展開了類似的優(yōu)化設計研究。然而，這些研究均只在密度分布層面對TPMS點陣結構展開優(yōu)化設計，沒有關注載荷方向對其力學性能的影響。

點陣結構具有孔隙特征，在空間范圍內的材料分布并不均勻，從而在不同方向上的性能存在差異，呈現(xiàn)出一定的各向異性[10-12]，故在設計及應用過程中有必要關注載荷方向對其性能的影響。目前，學者們對TPMS點陣結構各向異性的關注也較少。因此，筆者將首先對TPMS點陣結構的各向異性行為展開研究，并在此基礎上，綜合考慮相對密度變化以及載荷方向對其力學性能的影響，建立TPMS點陣結構的密度梯度雜交優(yōu)化方法，為TPMS點陣結構的應用提供設計層面的理論參考。

1 TPMS點陣結構設計方法

1.1 TPMS點陣結構設計

常見的TPMS曲面[13]有Schoen gyroid（簡稱G）、Schwarz diamond（D）、Schwarz primitive（P）以及Schoen I-WP（W），其中W和P曲面的函數(shù)表達式如下：

（1）

。??? （2）

式中：參數(shù)d可控制曲面的偏置，參數(shù)k可控制曲面周期的大小，曲面一個周期的長度為2π/k。

如圖1所示，TPMS曲面是點陣結構實體與孔隙之間的邊界面，2個邊界面的中間區(qū)域-d≤?（x，y，z）≤d為點陣結構的實體部分。W和P點陣結構的函數(shù)表達式分別為

（3）

（4）

在設計過程中，通過改變TPMS曲面隱函數(shù)表達式中參數(shù)k和d的值，調整曲面的周期長度和邊界面相對位置，即可改變點陣結構的單胞尺寸和相對密度。W和P點陣結構的相對密度ρ與參數(shù)d值的關系如圖2所示。

1.2 TPMS點陣結構的雜交設計

兩種點陣結構的雜交設計是將兩種不同類型的點陣結構平滑過渡連接，也稱為結構梯度設計，可通過以下函數(shù)來實現(xiàn)[14]：

。??? （5）

式中：α（x，y，z）屬于一種激活函數(shù)，它的函數(shù)曲線如圖3所示，其值域為（0，1）；f（x，y，z）=0代表2種不同結構過渡連接的位置；λ值反映過渡的急劇程度，λ值越小說明過渡越平緩，λ值越大則說明過渡越急劇，本研究中通過對比發(fā)現(xiàn)λ值取3較為合適。基于該函數(shù)，通過等式（6）將W和P點陣結構進行雜交，其中?hyb（x，y，z）表示雜交結構，在α（x，y，z）的值從0向1轉變時，可實現(xiàn)整個表達式從?P（x，y，z）到?W（x，y，z）的轉變，從而完成2種結構的平滑過渡。

。??? （6）

2 TPMS點陣結構的各向異性分析

Weissmann等[11]和Choy等[12]將點陣結構進行了不同角度的旋轉變換，并通過實驗測試了它們在各方向上的力學性能。然而，他們的方法只能求得點陣結構在少數(shù)不同方向上的性能差異，具有一定局限性。為得到點陣結構在整個平面或空間連續(xù)范圍內的各向異性，朱健峰[15]和Lu等[16]基于平均場均勻化方法求解了點陣結構的等效彈性矩陣，并利用Matlab進行插值計算后繪制了點陣結構在平面和空間范圍內的楊氏模量圖，從而可直觀地了解其各向異性。在空間直角坐標系中，點陣結構應力分量與應變分量的關系為

（7）

式中：σx、σy、σz分別為x、y、z方向的正應力；εx、εy、εz分別為x、y、z方向的正應變；τxy、τyz、τzx分別為xy平面、yz平面和zx平面內的切應力；γxy、γyz、γxy分別為xy平面、yz平面和zx平面內的切應變；C為點陣結構的彈性矩陣，是一個6×6的對稱矩陣，即Cij=Cji，包含21個未知參數(shù)。由于點陣結構是一種正交各向異性材料，獨立未知參數(shù)可進一步減少至9個，即

。??? （8）

由圖1可知，W和P結構均是立方對稱性結構，在x、y、z三個方向上具有相同的形狀特征，所以該結構在x、y、z三個方向上的楊氏模量以及xy、yz、zx三個平面內的剪切模量分別相等，從而C11=C22=C33，C21=C31=C32，C44=C55=C66，最終彈性矩陣C剩3個獨立參數(shù)。

為求得C11、C21、C44這3個獨立參數(shù)的值，可分別在2種不同的載荷狀態(tài)下，對點陣結構進行2次有限元仿真計算。首先令，使x方向的應變分量為0.1，其他方向的應變分量保持為0，進行仿真分析后導出正應力σx和σy的值，代入式（7）中，即可求得C11和C21的值。同樣地，令進行仿真分析，導出切應力τxy的值，可求得C44的值。通過該方法求得相對密度為40%的W和P點陣結構的彈性矩陣獨立參數(shù)值如表1所示。

點陣結構的各向異性可通過的值來評估[16]，若αr趨近于1，則說明點陣結構在各方向上的力學性能差異較小，接近各向同性；反之若αr的值偏離1較大，則說明點陣結構呈現(xiàn)出明顯的各向異性。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，計算得到W和P結構的值分別為0.718和1.414，這說明W和P結構均表現(xiàn)出一定的各向異性?；赪和P結構的彈性矩陣，利用Matlab進行插值計算，繪制它們在xy平面內的二維楊氏模量圖以及空間三維楊氏模量圖（圖4）。

由圖4可知，W結構和P結構展現(xiàn)出不同的各向異性特征。W結構在[100]等軸線方向上的性能最強，而P結構則是在[111]等斜向對角方向上性能最強。在xy平面內，W和P結構的力學性能呈現(xiàn)90°周期變化。在[0°，90°]范圍內，W結構在[0°，30°）∪（60°，90°]方向上性能強于P結構，而P結構在（30°，60°）方向上性能強于W結構。

3 TPMS點陣結構的剛度優(yōu)化設計

點陣結構是一種各向異性結構，其在空間范圍內各個方向上的力學性能存在較大差異。在受載過程中，點陣結構性能薄弱的方向容易發(fā)生破壞失效從而影響整體結構的承載能力。因此，為提升點陣結構的承載性能，在密度優(yōu)化的基礎上，還應充分考慮其各向異性行為。由第2節(jié)的分析可知，W結構和P結構具有互補的各向異性特征，故在設計過程中，可根據(jù)主應力方向將這2種點陣結構進行雜交組合，從而減小單一類型點陣結構各向異性造成的影響。

本節(jié)將以懸臂梁模型為基礎進行點陣填充以及剛度優(yōu)化設計。設計思路如下：首先對懸臂梁結構進行拓撲優(yōu)化設計，得到優(yōu)化后的密度分布云圖，并將其映射為點陣結構的相對密度分布；求解懸臂梁模型每個單元的主應力方向，根據(jù)主應力方向的變化分別選擇W和P結構填充懸臂梁模型，并將它們進行過渡連接。通過密度優(yōu)化分配和2種點陣結構的雜交組合，最后設計得到密度梯度和結構梯度的復合型梯度點陣結構，以優(yōu)化整體結構的承載性能。

3.1 懸臂梁模型分析

懸臂梁模型如圖5所示，其總體尺寸為52 mm×24 mm×4 mm，左端面固定，右端面受到方向豎直向下、大小為5 kN的力的作用。

在Abaqus軟件中構建懸臂梁模型，將其劃分為單元尺寸4 mm的六面體網(wǎng)格，并施加邊界及載荷條件，建立有限元模型如圖6（a）所示，圖中RP-1為施加荷載的參考點；對懸臂梁模型進行仿真分析，得到其Von Mises應力分布云圖（圖6（b）），由圖可知，懸臂梁結構左上角和左下角區(qū)域的應力最大。

3.2 密度梯度設計

根據(jù)靜力分析結果對懸臂梁結構進行拓撲優(yōu)化設計。拓撲優(yōu)化算法設置為固體各向同性材料懲罰（solid isotropic material with penalization，SIMP）[17]法，該算法懲罰中間密度，使單元的相對密度分別向0和1靠近，避免出現(xiàn)難以加工成形的中間密度結構。但這會造成原有結構的部分缺失，為保持其完整性，需尋找一種材料來代替這種中間密度結構。點陣結構恰好具有類似于中間密度結構的屬性，因為點陣結構具有可調控的孔隙率，其相對密度值能在0～1之間連續(xù)變化。因此，通過SIMP算法進行優(yōu)化求解以后，可將懸臂梁單元的相對密度對應于點陣結構的相對密度。設置優(yōu)化后懸臂梁的體積為初始體積的40%，懸臂梁單元的相對密度最小值ρmin=0.25，最大值ρmax=0.55，懲罰因子為3，目標函數(shù)為最小應變能。優(yōu)化算法如下：

；

（9）

式中：f（ρ，U）代表應變能；K（ρ）為整體剛度矩陣；U為位移；F為外作用力；V*為優(yōu)化后的總體積；vi為單元i的體積；ρi為單元i的相對密度；n為單元總數(shù)量。第1個約束為力平衡方程；第2個約束為體積約束；第3個約束為單元相對密度約束，每個單元的相對密度介于ρmin和ρmax之間?；谝陨蠗l件對懸臂梁結構優(yōu)化后得到的結果如圖7所示。由圖可知，經(jīng)拓撲優(yōu)化后，懸臂梁結構的材料更多地分布在應力較高的區(qū)域。圖7中拓撲優(yōu)化后懸臂梁的最大應力與圖6中懸臂梁的最大應力相比略有上升，這是因為優(yōu)化算法削減了懸臂梁的材料，其總質量僅為初始時的40%，故承載效果不如初始結構。

根據(jù)懸臂梁的密度云圖，將懸臂梁模型每個單元的相對密度映射為點陣單胞的相對密度。首先，從Abaqus中導出懸臂梁模型每個節(jié)點的相對密度值，然后進行線性插值計算求出懸臂梁模型在其整個設計范圍內的相對密度函數(shù)ρ（x，y，z），并將該函數(shù)設為TPMS點陣結構的相對密度函數(shù)。由1.1節(jié)可知，W和P結構的相對密度與參數(shù)d的關系分別為d=3.545ρ和d=1.874ρ。根據(jù)d與ρ之間的函數(shù)關系，可求得d。最后，將d（x，y，z）代入W和P結構的隱函數(shù)表達式中，生成密度梯度W（Graded-W）和密度梯度P（Graded-P）點陣結構如圖8所示。

圖中，Graded-W和Graded-P結構均由13×6個點陣單胞組成，每個單胞的相對密度分別對應于圖中懸臂梁模型每個單元的相對密度，并且結構的整體相對密度為40%，與拓撲優(yōu)化設定的條件一致。

3.3 混合雜交設計

上述設計過程只是基于拓撲優(yōu)化密度云對點陣結構的相對密度進行了優(yōu)化分配，未考慮點陣結構的各向異性行為對其承載能力的影響。由于懸臂梁處于平面應力狀態(tài)，因此，需要考慮點陣結構在平面內的各向異性。由第2節(jié)可知，在平面范圍內，W結構在[0°，30°）∪（60°，90°]方向上的力學性能較強，在[30°，60°]方向上性能較弱，而P結構則剛好相反。因此，在懸臂梁承載模型中，若某單元的主應力方向位于[30°，60°]時，則該單元中填充P結構更合適，而當主應力方向在[0°，30°）或（60°，90°]時，選擇W結構更理想。

為求得懸臂梁單元的主應力，先從有限元分析結果中導出每個單元體的正應力σx、σy、σz和切應力τxy、τyz、τzx，在該平面應力狀態(tài)下，σy、σz、τyz、τzx的值均為0，從而主應力方向α可由公式（10）計算得出：

。??? （10）

依次求解每一個單元體的主應力，并將主應力方向α位于[0，30°）或（60°，90°]的單元體標記為W，位于[30°，60°]的單元體標記為P，得到W和P結構的分布情況如圖9所示。

基于主應力方向將W和P結構進行合理分布后，利用1.2節(jié)中的方法將2種結構雜交連接，從而組成整體懸臂梁結構。圖中W和P結構的雜交分為2個階段完成，分別為x方向的雜交和y方向的雜交。該結構一共有6層，首先利用S形函數(shù)對每一層中的W和P結構進行雜交連接，隨后將每一層當作一個整體，再利用S形函數(shù)將各相鄰層連接，從而完成整體結構設計。從下往上，將每一層依次設為r1、r2、r3、r4、r5、r6。r1、r2和r3的表達式分別為

，??? （11）

，??? （12）

。??? （13）

第6、5、4層分別與第1、2、3層結構相同，于是，

（14）

最后，將r1、r2、r3、r4、r5、r6在y方向上進行過渡連接，即可得到雜交點陣結構，其函數(shù)表達式可表示為

（15）

根據(jù)上述函數(shù)表達式，用Matlab生成由W結構和P結構組成的雜交點陣結構（W-P）如圖10所示。

最后，將拓撲優(yōu)化密度云應用于該雜交結構中，進行密度梯度和結構梯度的復合型優(yōu)化設計，得到密度梯度雜交點陣結構（Graded-W-P）如圖11所示。

4 有限元仿真分析

為驗證優(yōu)化設計方法的有效性，將優(yōu)化前的相對密度同為40%的均勻點陣結構（Uniform-W，Uniform-P）和優(yōu)化后的點陣結構Graded-W，Graded-P， Graded-W-P分別在相同的載荷條件下進行有限元仿真，并將它們進行對比分析。

將以上5種結構分別劃分為單元類型C3D4的四面體網(wǎng)格，并施加與第3節(jié)中懸臂梁結構相同的載荷邊界條件進行模擬仿真，得到點陣結構的應力和位移云圖分別如圖12和圖13所示。

由圖12可知，通過密度梯度雜交設計后，點陣結構的應力集中區(qū)域減少，應力分布更加均勻。根據(jù)圖13中的結果，得到5種點陣結構承受相同載荷時的最大變形位移和剛度值如表2所示。由表可知，基于拓撲優(yōu)化密度云設計的Graded-W和Graded-P密度梯度點陣結構的最大變形位移與初始均勻點陣結構Uniform-W和Uniform-P相比均明顯降低。進行雜交設計后，Graded-W-P結構的變形位移進一步減小。根據(jù)結構的變形位移，求得其剛度值。Graded-P結構的剛度比Uniform-P結構高56.03%；Graded-W結構的剛度比Uniform-W結構提高了33.18%，說明用拓撲優(yōu)化方法對懸臂梁的相對密度進行優(yōu)化分配后能夠明顯改善結構的承載性能。密度梯度雜交結構Graded-W-P的剛度值最高，比Graded-W和Graded-P結構的剛度分別提高4.63%和33.63%，這表明點陣結構的各向異性會對其承載性能造成影響，根據(jù)承載時單元主應力方向將不同類型的點陣結構進行混合雜交設計后能夠進一步提升整體結構的承載性能。

5 結? 論

分析了TPMS點陣結構的各向異性特征，并綜合考慮密度變化和主應力方向，對TPMS點陣結構進行了密度梯度雜交優(yōu)化設計，得到的主要結論如下。

1）TPMS曲面可由隱函數(shù)調控，通過調整隱函數(shù)表達式中的參數(shù)d值，可改變TPMS點陣結構的相對密度分布情況，從而實現(xiàn)復雜形式的密度梯度設計。

2）W和P結構均表現(xiàn)出明顯的各向異性。在空間范圍內，W結構在[100]等軸線方向上的力學性能較強，在[111]等斜向對角方向上的性能較弱；P結構則是在[111]等斜向對角方向上的力學性能更強，在[100]等軸線方向上的性能較差，與W結構剛好相反。將W和P結構的各向異性在平面范圍內對比發(fā)現(xiàn)，W結構在[0°，30°）∪（60°，90°]方向上性能強于P結構，而P結構在（30°，60°）方向上的性能強于W結構。

3）基于拓撲優(yōu)化方法對點陣結構進行變密度優(yōu)化設計能夠明顯提升結構的整體剛度。除了密度分布以外，點陣結構的各向異性也會影響其承載性能。在點陣結構設計過程中，應充分考慮其各向異性特征，盡量避免主應力方向位于點陣結構性能薄弱的方向。因此，可基于主應力方向將不同類型的點陣結構進行混合雜交設計，使每個單元的主應力方向與點陣結構性能較強的方向一致，以優(yōu)化結構的承載性能。

4）以懸臂梁承載模型為案例，在密度優(yōu)化的基礎上，根據(jù)主應力方向，將W和P結構進行合理分布和雜交連接。對優(yōu)化后的結構進行有限元仿真，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過密度梯度雜交優(yōu)化設計后，懸臂梁的剛度比僅由密度梯度W或P結構填充時的剛度分別提高了4.63%和33.63%。

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（編輯? 羅敏）