陳天賜 李艷玲 張芳 陳梟

摘要：針對高土石壩變形監(jiān)控模型主要基于單一測點，無法定量考慮測點空間關(guān)聯(lián)性的問題，構(gòu)建了基于Vine-Copula的變形監(jiān)控模型，并提出了基于蒙特卡洛隨機(jī)抽樣法的空間置信域預(yù)警閾值設(shè)置方法。在模型構(gòu)建過程中，充分考慮了多測點之間的時序特性和空間相關(guān)性，利用Vine-Copula方法對變形數(shù)據(jù)進(jìn)行精確建模和分析，以揭示高土石壩變形的整體趨勢。同時，通過蒙特卡洛隨機(jī)抽樣法確定了空間置信域，為預(yù)警閾值的設(shè)定提供了科學(xué)依據(jù)。工程實踐表明：該模型模擬結(jié)果能夠準(zhǔn)確反映高土石壩變形的整體趨勢，具有較高的合理性和精度，有效實現(xiàn)了監(jiān)測效應(yīng)量向高土石壩空間全域的拓展。研究成果可為高土石壩安全監(jiān)控提供新的思路和方法，具有重要的理論意義和實踐價值。

關(guān) 鍵 詞：高土石壩；變形監(jiān)控模型；Vine結(jié)構(gòu)；Copula函數(shù)；空間置信域

中圖法分類號：TV698.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.05.027

0 引 言

高土石壩變形是科學(xué)分析大壩安全性態(tài)的基礎(chǔ)，合理構(gòu)建高土石壩變形監(jiān)控模型是實現(xiàn)大壩運(yùn)行安全在線監(jiān)控的關(guān)鍵。統(tǒng)計模型、確定性模型和混合模型^［1-3］是最常用的3種變形監(jiān)控模型。近年來，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^［4-5］、支持向量機(jī)^［6-7］等方法相繼應(yīng)用于土石壩變形監(jiān)控模型構(gòu)建，單點監(jiān)控模型的合理性和適用性得到了較大提升。但單點監(jiān)控模型僅能反映測點所在位置的局部變形性態(tài)，無法反映變形整體趨勢，且易因設(shè)備故障、測量誤差等出現(xiàn)局部偏離而導(dǎo)致對大壩整體安全性態(tài)的誤判和虛警。

因此，國內(nèi)外不少學(xué)者開始對大壩變形監(jiān)控模型進(jìn)行探索，一些結(jié)合多測點的監(jiān)控模型開始出現(xiàn)。任秋兵等^［8］考慮到空間中任意兩個測點存在一定的關(guān)聯(lián)度，提出了基于門控循環(huán)單元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合軟注意力機(jī)制的大壩變形動態(tài)監(jiān)控模型；蔡忍等^［9］運(yùn)用投影尋蹤法給多測點賦予不同的權(quán)重，建立了綜合大壩變形監(jiān)控模型，實現(xiàn)了對大壩斷面變形性態(tài)的監(jiān)控；王少偉等^［10］融入同類多測點數(shù)據(jù)，構(gòu)建了基于主成分分析法的變形監(jiān)控模型，實現(xiàn)了對大壩整體變形的快速診斷?？偟膩碚f，多點空間監(jiān)控模型能夠?qū)崿F(xiàn)對大壩整體的監(jiān)控，具有一定優(yōu)勢，但已有的方法還不夠成熟，有待進(jìn)一步研究。目前Vine-Copula模型已經(jīng)應(yīng)用于水文、金融、投資等^［11-13］各個領(lǐng)域，但在大壩變形監(jiān)控模型領(lǐng)域應(yīng)用還較為少見，具有較大研究價值。

本文考慮多測點時序特性和空間相關(guān)性，引入Vine-Copula聯(lián)合分布函數(shù)構(gòu)建高土石壩多測點變形監(jiān)控模型，并將其運(yùn)用于SBX高面板堆石壩變形監(jiān)控。

1 高土石壩變形監(jiān)控模型構(gòu)建

1.1 基本原理

綜合考慮同類同部位測點變形的相關(guān)性和協(xié)調(diào)性，本文引入了“藤”（Vine）結(jié)構(gòu)和“連接函數(shù)”（Copula）的概念，將具有空間一致性的多測點利用Vine結(jié)構(gòu)和Copula函數(shù)連接起來，建立測線或斷面多測點聯(lián)合的變形監(jiān)控模型，并通過監(jiān)控其聯(lián)合分布函數(shù)變化特性，實現(xiàn)對大壩同一測線或斷面的整體變形特性監(jiān)控。一般地，大壩變形正常時，其同一測線或斷面的多測點聯(lián)合分布函數(shù)在其空間置信域內(nèi)，而當(dāng)其出現(xiàn)整體變形時，其多測點聯(lián)合分布函數(shù)將偏離空間置信域。因此，構(gòu)建Vine-Copula土石壩變形監(jiān)控模型的基礎(chǔ)是計算多測點的空間聯(lián)合分布函數(shù)。

Sklar^［14］指出，一系列隨機(jī)變量組成的聯(lián)合分布可以分解成單一變量的邊緣分布和單一變量間的Copula連接函數(shù)。由于單一變量的邊緣分布是一定的，因此一個聯(lián)合分布的相關(guān)性完全取決于Copula函數(shù)。傳統(tǒng)的Copula函數(shù)對于聯(lián)合高維變量費(fèi)時費(fèi)力且不宜開展，因此Aas等^［15］提出了Pair Copula的概念，利用鏈?zhǔn)椒蓪⒍鄠€隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)（PDF）分解為所有單個變量的邊緣PDF和對應(yīng)幾個Copula 密度函數(shù)的乘積。

假定{x₁，x₂，…，x_n}是一變形單測點歷史實測值序列，利用核密度估計法計算單測點測值的概率密度函數(shù)，如式（1）所示。

式中：x為單測點測值；x_i為測點歷史實測值；n為單測點歷史測值的數(shù)量；K為一個非負(fù)函數(shù)，稱為核函數(shù)，引用最常用的Gussian核函數(shù)進(jìn)行計算；h為核密度估計的帶寬，利用經(jīng)驗公式進(jìn)行計算；σ^為單測點歷史測值序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

對式（1）積分可得到式（4），計算出各測點歷史實測值的概率邊緣分布函數(shù)F₁（x₁），F(xiàn)₂（x₂），…，F(xiàn)_n（x_n），分別用u₁，u₂，…，u_n表示。

根據(jù)Sklar定理，存在連接函數(shù)C（·）使得各測點聯(lián)合分布F（x₁，x₂，…，x_n）滿足式（5），各測點多元聯(lián)合密度函數(shù)f（x₁，x₂，…，x_n）可表達(dá)為式（6）。

為連接函數(shù)C（·）的密度函數(shù)；f₁，f₂，…，f_n為F₁（x₁），F(xiàn)₂（x₂），…，F(xiàn)_n（x_n）各測點邊緣分布的密度函數(shù)。

根據(jù)條件概率乘法公式，式（6）可以轉(zhuǎn)化為式（7），結(jié)合式（6）和式（7），可得兩個變量的聯(lián)合概率密度f（x₁|x₂），如式（8）所示，任何一個條件密度函數(shù)可分解為式（9）。

式中：v_j代表n維向量v中的分量，v_-j代表v中去除v_j后的n-1維分量。

一個n維的Vine-Copula模型結(jié)構(gòu)由n-1棵樹和n（n-1）/2條邊組成，為了將Pair Copula函數(shù)之間的關(guān)系及各個變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)更好地表達(dá)出來，引入“正則藤”（R-Vine）^［16］概念。結(jié)合式（7）和式（9）得到R-Vine 模型的聯(lián)合概率密度公式：

式中：x_i為測點歷史實測值，n表示節(jié)點數(shù)，即變量個數(shù)；e表示邊；E=［E₁，E₂，…，E_n-1］，E_i代表第i棵樹中所有邊組成的集合；j（e）、k（e）為邊e的兩個節(jié)點；D（e）為j（e）和k（e）之間的連接條件；c_{j（e），k（e）|D（e）}為第i棵樹中j、k的邊e對應(yīng)的Pair Copula密度函數(shù)；F（x_j（e）|x_D（e））和F（x_k（e）|x_D（e））表示條件分布函數(shù)。

1.2 模型構(gòu)建流程

基于Vine-Copula的變形監(jiān)控模型構(gòu)建可使用同一測線或斷面的多測點歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)，假設(shè)大壩某測線或斷面上有n個變形測點，利用這n個變形測點的歷史實測值建立變形監(jiān)控空間模型，大壩Vine-Copula變形監(jiān)控模型的建模流程見圖1。

1.2.1 單測點概率分布計算

依據(jù)n個變形測點的歷史實測值，利用1.1節(jié)中式（1）和式（4）計算單測點測值的概率分布函數(shù)。

1.2.2 Vine Copula模型結(jié)構(gòu)優(yōu)選

常用的Vine結(jié)構(gòu)有R-Vine結(jié)構(gòu)、D-Vine結(jié)構(gòu)和C-Vine結(jié)構(gòu)3種。R-Vine結(jié)構(gòu)適用于任何相關(guān)結(jié)構(gòu)，具普適性，但當(dāng)測點數(shù)量較大時，R-Vine結(jié)構(gòu)的數(shù)量呈現(xiàn)急速增漲^［17］，計算復(fù)雜程度高且效率低。D-Vine結(jié)構(gòu)和C-Vine結(jié)構(gòu)是R-Vine結(jié)構(gòu)的特殊類型，能夠在一定程度上提高計算效率。C-Vine為一個變量發(fā)散關(guān)聯(lián)其他變量的結(jié)構(gòu)，適用于具有主導(dǎo)變量的結(jié)構(gòu)；D-Vine為串聯(lián)的直線型結(jié)構(gòu)，適用于描述有臨近關(guān)系的相關(guān)結(jié)構(gòu)。以六維Vine結(jié)構(gòu)為例，R-Vine、C-Vine和D-Vine的結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

為充分考慮各測點的關(guān)聯(lián)性，同時盡量使模型簡單高效，實際應(yīng)用中常采用最大生成樹（MST）法和計算測點間的肯德爾相關(guān)系數(shù)（τ）來確定變形監(jiān)控空間模型的最優(yōu)Vine結(jié)構(gòu)。首先計算Kendall系數(shù)τ，對各測點間的相關(guān)性進(jìn)行初步分析，選用較優(yōu)R-Vine結(jié)構(gòu)建模；然后利用最大生成樹（MST）法選擇每一棵樹結(jié)構(gòu)。最優(yōu)Vine結(jié)構(gòu)則能保證每棵樹Kendall系數(shù)τ的絕對值之和最大。Kendall系數(shù)τ是相關(guān)性度量指標(biāo)，介于-1～1之間，其絕對值越接近1，表示相關(guān)程度越強(qiáng)。

設(shè)X={x₁，x₂，…，x_n}和Y={y₁，y₂，…，y_n}分別為兩測點的歷史實測值序列，（x_i，y_i）和（x_j，y_j）分別為i、j時刻兩測點的監(jiān)測數(shù)據(jù)對，若x_ij且y_ij，或x_i>x_j且y_i>y_j，則稱（x_i，y_i）和（x_j，y_j）一致；若x_ij且y_i>y_j，或x_i>x_j且y_ij，則稱（x_i，y_i）和（x_j，y_j）非一致。X、Y兩測點共有C²_n種不同的監(jiān)測數(shù)據(jù)對，令c表示一致的監(jiān)測數(shù)據(jù)對，d表示非一致的監(jiān)測數(shù)據(jù)對，則c+d=C²_n，Kendall系數(shù)τ的計算公式如式（11）所示。

1.2.3 Copula函數(shù)類型選擇與參數(shù)計算

Vine結(jié)構(gòu)確定之后，需要對每棵樹中的每一對隨機(jī)變量選擇一個合適的Copula函數(shù)，然后利用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）^［18-19］作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行函數(shù)類型選擇，遍歷Gussian、t、Frank、Clayton和Gumbel 5種常用的Copula函數(shù)^［20-21］，當(dāng)AIC值最小時，所對應(yīng)的Vine-Copula模型即為最優(yōu)模型。

AIC=2K-2lnL（12）

式中：K為參數(shù)的數(shù)量，對于以上所選5種Copula函數(shù)，除t-Copula函數(shù)的K為2以外，其余類型函數(shù)的K均為1；L為似然函數(shù)的最大值，對于R-Vine Copula的聯(lián)合密度函數(shù)，其對數(shù)似然函數(shù)為

式中：N表示樣本數(shù)量，θ=（θ₁，θ₂，…，θ_k）表示Vine-Copula模型的參數(shù)向量，其余符號含義同式（10）。設(shè)θ^為θ的極大似然估計值，則有L（θ^）=max{L（θ）}，根據(jù)式（14）的似然方程組，即可求解出模型參數(shù)。

1.2.4 模型擬合優(yōu)度檢驗

模型構(gòu)建后需對其擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗，常采用K-S（Kolmogorov-Smirnov）檢驗和CvM（Cramér-von Mises）檢驗兩種方法。它們均屬于非參數(shù)檢驗，用于判斷樣本與預(yù)先給定的分布是否一致，或者兩個樣本的概率分布是否相同。設(shè)樣本的經(jīng)驗累計概率為F_n（x），建模所得到的理論分布累計概率為F（x）。對于n個樣本序列X₁，X₂，…，X_n，對其升序排序為X_（1），X_（2），…，X_（n），k為X_（k）的排列名次，經(jīng)驗累計概率為F_n（x）可以表達(dá)為

式中：k和k+1為樣本次序；n為樣本個數(shù)。

假設(shè)檢驗的問題：H₀為空間多測點實測值的分布服從所建Vine-Copula模型；H₁為空間多測點實測值的分布不服從所建Vine-Copula模型。

結(jié)合式（16）～（17），可得K-S檢驗和CvM檢驗統(tǒng)計量D：

D（n，α）是顯著性水平為α且樣本容量為n時的拒絕臨界值（查表可得），當(dāng)D>D（n，α），則拒絕H₀，反之則接受H₁。

P為實際的顯著性水平（00.05時，認(rèn)為所建的大壩變形安全監(jiān)控模型合理。

1.2.5 空間置信域確定

單點監(jiān)控模型預(yù)警閾值的設(shè)置多采用基于PauTa準(zhǔn)則的置信區(qū)間方法，即認(rèn)為測值的累計概率落入（0，0.13%］和（99.87%，1］區(qū)間是異常的，落入（0.13%，99.87%）區(qū)間則是正常的。為合理確定多測點空間置信域，本文運(yùn)用蒙特卡洛（Monte Carlo）隨機(jī)抽樣法對空間上每個測點測值的累計概率進(jìn)行隨機(jī)抽樣，計算并分析聯(lián)合累計概率的分布，以及統(tǒng)計落入異常域的概率。

選取同一測線的10個測點，利用蒙特卡洛抽樣法分別在10，9，8，…，3，2，1，0個測點異常的情況下對每個測點的累計概率進(jìn)行隨機(jī)抽樣，每組樣本抽取100萬次，并利用已建好的空間Vine-Copula模型計算聯(lián)合累計概率，聯(lián)合累計概率柱狀散點圖見圖3，聯(lián)合累計概率頻率分布見圖4。由圖3～4可知，當(dāng)所有測點均異常時，樣本聯(lián)合累計概率的頻率均接近0或1。根據(jù)統(tǒng)計得知，聯(lián)合累計概率集中在（0，0.001 3］和［0.998 3，1）區(qū)間，再分別統(tǒng)計當(dāng)異常點個數(shù)為9，8，…，3，2，1，0時落入此區(qū)間的頻數(shù)。經(jīng)過計算，（0，0.001 3］和［0.998 3，1）區(qū)間為空間模型異常域，因此置信域為（0.001 3，0.998 3），和PauTa準(zhǔn)則基本一致，因此實際應(yīng)用中可采用PauTa準(zhǔn)則設(shè)置多測點的空間置信域。

2 工程案例

以SBX高面板堆石壩為例，基于前述變形監(jiān)控模型構(gòu)建步驟及空間置信域確定方法，提出適宜的SBX高面板堆石壩變形監(jiān)控模型。

2.1 工程概況

此大壩是一座以發(fā)電為主，兼有防洪、航運(yùn)、梯級補(bǔ)償?shù)染C合效益的Ⅰ等大（1）型工程。主壩變形監(jiān)控內(nèi)容包括外觀觀測、內(nèi)觀觀測和面板觀測。對于表面變形，在上游面板、壩頂及下游壩坡的各層馬道布置了6條測線，共計43個測點；對于內(nèi)部變形，在主壩左0+008.20斷面及主壩右0+071.80斷面的346.00，379.00，404.00 m及445.00 m高程各設(shè)置1條內(nèi)部變形測線，共計布置48支水管式沉降儀和40支引張線式水平位移計；主壩面板設(shè)周邊縫、水平縫和垂直縫進(jìn)行觀測，共計32支測縫計和8支裂縫計。一般而言，大壩同一測線或同一斷面上的測點具有一定關(guān)聯(lián)性^［22］。如圖 5所示，SBX主壩壩頂下游側(cè)測線（5號測線）上各測點（SA5-1～ SA5-10）變形規(guī)律相似，變化趨勢一致，具有一定的相關(guān)性，說明所構(gòu)建的測線空間模型是合理的。本文以該測線為例，詳細(xì)介紹多測點Vine-Copula變形監(jiān)控模型的建模步驟。

2.2 基于測線的空間監(jiān)控模型構(gòu)建及空間置信域確定

根據(jù)1.2節(jié)變形監(jiān)控模型構(gòu)建流程，構(gòu)建SBX壩頂5號測線變形監(jiān)控模型，測點布置見圖6。

計算所選取的建模時段為2010年1月至2020年1月，監(jiān)測頻次為每2個月1次，每個測點獲取57個樣本數(shù)據(jù)。

2.2.1 單測點歷時測值概率分布確定

利用核密度估計法計算各測點測值的概率密度函數(shù)，各測點測值的概率密度分布見圖7，累計概率分布見圖8。

2.2.2 Vine-Copula模型結(jié)構(gòu)選擇

（1）Kendall相關(guān)系數(shù)τ計算。為定量分析測點間的相關(guān)性，計算了每兩測點之間的相依性度量指標(biāo)（Kendall相關(guān)系數(shù)τ），如圖9所示。可以看出，除邊緣測點SA5-1與其他測點的相關(guān)系數(shù)相對較低外，其余各測點之間的相關(guān)系數(shù)都在0.9以上。每對相鄰測點之間的相關(guān)系數(shù)基本是最大的，說明該測線測點具有“串聯(lián)”的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，因此可選用D-Vine-Copula模型建模。

（2）最大生成樹法確定模型結(jié)構(gòu)。測線中10個測點共生成9棵樹，利用最大生成樹（MST）法，使每層結(jié)構(gòu)（Tree）中的Kendall系數(shù)τ之和最大。本次分析采用R語言編程，自動對第一棵樹所有連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行遍歷，找到使τ之和最大的結(jié)構(gòu)，確定Tree1結(jié)構(gòu)，再依據(jù)Tree1結(jié)構(gòu)進(jìn)行同樣的遍歷，得到Tree2結(jié)構(gòu)，以此類推。最終確定的Vine結(jié)構(gòu)見圖10。

2.2.3 Copula函數(shù)類型選擇與參數(shù)計算

利用AIC準(zhǔn)則最小原理和極大似然估計法（MLE）確定每層結(jié)構(gòu)中兩兩結(jié)點之間的最優(yōu)Copula連接函數(shù)類型，并計算其參數(shù)，結(jié)果見表1。

2.2.4 模型擬合優(yōu)度檢驗

采用K-S檢驗和CvM檢驗對構(gòu)建的D-Vine-Copula模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗，其P值均接近1，說明模型合理，能較好地擬合測線上各測點之間的聯(lián)合分布，結(jié)果見表 2。

2.2.5 空間置信域確定

采用蒙特卡洛隨機(jī)抽樣法確定空間監(jiān)控模型置信域。經(jīng)計算，該測線變形監(jiān)控空間模型的置信域為（0.001 3，0.998 3），因此異常域為（0，0.001 3］和［0.998 3，1）。

3 結(jié) 論

（1） 構(gòu)建了基于多測點實測值的Vine-Copula高土石壩變形監(jiān)控模型，提出了單點歷史測值累計概率計算、Vine結(jié)構(gòu)優(yōu)選、Copula連接函數(shù)選擇及其參數(shù)計算、模型擬合優(yōu)度檢驗等關(guān)鍵步驟的計算方法。

（2） 經(jīng)蒙特卡洛隨機(jī)抽樣法驗證，多測點空間置信域的設(shè)置可采用PauTa準(zhǔn)則，實際工程中可通過監(jiān)控多測點聯(lián)合分布函數(shù)，來實現(xiàn)對大壩同一測線或斷面整體變形特性的監(jiān)控。

（3） SBX高面板堆石壩工程應(yīng)用表明，Vine-Copula變形監(jiān)控模型能合理考慮多測點時序特性和空間關(guān)聯(lián)性，其K-S檢驗和CvM檢驗的P值均大于0.9，模型的合理性和精度均較高，能較好地實現(xiàn)大壩整體變形特性的實時監(jiān)控。

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（編輯：胡旭東）

Research on deformation monitoring model for high earth-rock dams based on Vine-Copula

CHEN Tianci^1，2，LI Yanling^1，2，ZHANG Fang³，CHEN Xiao⁴

（1.State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065，China；2.College of Water Resources and Hydropower，Sichuan University，Chengdu 610065，China；2.Power China Guiyang Engineering Corporation Limited，Chengdu 610065，China；3.Zhenxiong County Water Bureau，Zhaotong 657200，China）

Abstract：Aiming at the problem that the deformation monitoring model for high earth-rock dams is mainly based on a single measuring point and cannot quantitatively consider the spatial correlation of measuring points，a deformation monitoring model based on Vine-Copula was constructed，and a spatial confidence domain early warning threshold setting method based on Monte-Carlo random sampling method was proposed.In the process of the model construction，the time series characteristics and spatial correlation between multiple measuring points were fully considered，and the Vine-Copula method was used to accurately model and analyze the deformation data to reveal the overall trend of high earth-rock dam deformation.At the same time，the spatial confidence region was determined by Monte-Carlo random sampling method，which provided a scientific basis for the setting of early warning threshold.The engineering practice showed that the model simulation results can accurately reflect the overall deformation trend of high earth-rock dam，with high accuracy and rationality，and effectively realize the expansion of monitoring effect-quantity to the whole space of high earth-rock dams.The research results can provide new ideas and methods for the safety monitoring of high earth-rock dams，and have important theoretical significances and practical values.

Key words：high earth-rock dam；deformation monitoring model；Vine structure；Copula function；spatial confidence domain