張海娣，萬仁霞，盧彥君，劉偉

（1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寧夏 銀川 750021）

粗糙集理論是Pawlak[1-2]在1982 年提出的一種處理不精確的、不確定性的和不完備數(shù)據(jù)的分析理論與方法，其主要思想是用一對(duì)上、下近似算子對(duì)給定的某種概念進(jìn)行近似表示。對(duì)Pawlak 粗糙集進(jìn)行擴(kuò)展，提出概率粗糙集、變精度粗糙集及多粒度粗糙集等模型，并在模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、決策分析、數(shù)據(jù)挖掘等眾多領(lǐng)域取得到了廣泛的應(yīng)用。Pawlak 粗糙集理論建立在不可分辨關(guān)系(indiscernibility relation)基礎(chǔ)上，這種關(guān)系滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性,其本質(zhì)是等價(jià)關(guān)系。這種關(guān)系對(duì)于許多實(shí)際問題來說，要求近于苛刻，且對(duì)數(shù)據(jù)的精度要求也非常的高，如果粗糙集的上、下近似發(fā)生變化，就會(huì)導(dǎo)致模型無法將它們歸為一類，從而造成部分?jǐn)?shù)據(jù)的分類錯(cuò)誤[3]。為克服上述問題，一些學(xué)者利用偏序關(guān)系[4]、優(yōu)勢(shì)關(guān)系[5]、鄰域關(guān)系[6]等對(duì)不可分辨關(guān)系進(jìn)行拓展。

Skowron 基于對(duì)象間的自反性和對(duì)稱性提出容差粗糙集模型[7]，容差粗糙集模型的提出，為粗糙集模型的研究提供了新的思路。文獻(xiàn)[8]將變精度粗糙集模型和容差粗糙集模型結(jié)合起來，提出兩種變精度容差粗糙集模型，并給出兩種模型之間以及與其他模型之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[9]在容差粗糙集模型中利用最大容差類對(duì)偶地定義了兩類新的上、下近似概念，并研究它們的相關(guān)性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]提出變精度概率容差粗糙集模型，并研究其上、下近似的性質(zhì)。文獻(xiàn)[11]將相容關(guān)系運(yùn)用到集值信息系統(tǒng)中，處理在經(jīng)典粗糙集中那些不能被處理的數(shù)據(jù)，提出基于相容關(guān)系的局部粗糙集模型，并在屬性約簡(jiǎn)方面進(jìn)行探討。Yao 等[12]在Bryniarski 定義的基礎(chǔ)上，使用一組聯(lián)合可定義集和描述語言，提出了結(jié)構(gòu)化粗糙集模型[13]。與之前模型相比，該模型可以很好地保留結(jié)構(gòu)信息。文獻(xiàn)[14]應(yīng)用粗?；臻g中的結(jié)構(gòu)化顆粒，在原空間的冪集與粗粒化空間的冪集之間引入結(jié)構(gòu)化概率粗集，并利用放大算子和結(jié)構(gòu)化概率粗糙集近似算子研究不同空間上的概率粗糙集上、下近似及其相關(guān)性質(zhì)和相互關(guān)系。文獻(xiàn)[15]在變精度的背景下研究經(jīng)典粗糙集的結(jié)構(gòu)化問題，提出結(jié)構(gòu)化變精度粗糙集模型，通過改變精度較好地展現(xiàn)上下近似中對(duì)象類的結(jié)構(gòu)化信息。

容差粗糙集模型是對(duì)Pawlak 經(jīng)典粗糙集理論的重要擴(kuò)展，在粗糙集理論研究中占有重要位置。本文探討容差關(guān)系下的粗糙集結(jié)構(gòu)化問題，提出結(jié)構(gòu)化容差粗糙集模型。

2 基本概念

2.1 粗糙集的結(jié)構(gòu)化

在一個(gè)非空有限的空間U 中，E?U×U 表示一個(gè)等價(jià)關(guān)系，表示包含x 的等價(jià)類。由等價(jià)關(guān)系E 導(dǎo)出的劃分U/E=｛E1,E2,E3,…,En｝包含所有的等價(jià)類，這些等價(jià)類是構(gòu)造粗糙集的基礎(chǔ)，關(guān)于等價(jià)關(guān)系E 來定義粗糙集的上近似、下近似為[13]：

可以看出,上、下近似都是U 的子集。

Bryniarski 通過除去粗糙集中的并提出一種新定義[12]：

這里的等價(jià)類[x]是U/E 的一個(gè)元素，它被視為U/E 中的一個(gè)整體，因此，這里的上、下近似為等價(jià)類族，即有關(guān)系：

2.2 容差粗糙集

定義2.1[8]設(shè)為有限非空論域，T 為論域U 上的二元關(guān)系，若T 滿足以下條件：

(1)自反性，即?x∈U，有xTx，

(2)對(duì)稱性，即?x,y∈U，若xTy，則yTx 稱T 為容差關(guān)系。

定義2.2[7]設(shè)容差逼近空間（U,T），U 為論域，T?U×U 為U 上的容差關(guān)系，對(duì)于任意x∈U，關(guān)于容差關(guān)系T 的上、下近似定義為：

控制預(yù)測(cè)[6]系統(tǒng)是超導(dǎo)磁場(chǎng)儲(chǔ)能型微網(wǎng)預(yù)測(cè)控制模型的核心部分,并且是最復(fù)雜與關(guān)鍵的板塊,能夠劃分為兩個(gè)板塊:外環(huán)控制和內(nèi)環(huán)控制。

3 結(jié)構(gòu)化容差粗糙集

3.1 容差粗糙集的結(jié)構(gòu)化

定義3.1 設(shè)（U,T）為粗?；臻g，T 為容差關(guān)系，對(duì)任意x∈U，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似定義為：

結(jié)構(gòu)化容差粗糙集以元素為代表元，構(gòu)建其對(duì)應(yīng)的容差類，其上、下近似不同元素的容差類都保留其信息。因而，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的上、下近似是以容差類為元素的多重集。

例3.1 設(shè)論域U=｛x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7｝且T=｛（x1,x1）,（x1,x7）,（x2,x2）,（x2,x6）,（x3,x3）,（x3,x5）,（x4,x4）,（x4,x6）,（x5,x5）,（x5,x3）,（x6,x6）,（x6,x4）,（x6,x2）,（x7,x7）,（x7,x1）｝

所以結(jié)構(gòu)化顆粒分別為：

考察X=｛x1,x2,x6,x7｝ 的非結(jié)構(gòu)化與結(jié)構(gòu)化意義下的容差上、下近似。

(1)非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似為：

(2)結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似為：

設(shè)U 上的容差關(guān)系T，可以得到一個(gè)粗粒度空間U/T。容差關(guān)系T 表示U 到2U的映射，其中2U是U 的冪集，2U/T為U/T 的冪集，即映射:[]T:U→2U，[x]T={y∈}。

容差類[x]T在U 和U/T 中有不同的作用，在U中，[x]T表示U 的子集，而在U/T 中，[x]T表示U/T 的元素，參考Dubois 等[14,16]學(xué)者的命名方法，用Name（[x]T）(有時(shí)也寫成N（[x]T）)表示U/T 中的元素。則N（[x]T）表示為粗?；臻g中的結(jié)構(gòu)化顆粒。對(duì)于U/T 和U 之間有如下映射[17]φ：U/T→U，從而φ（Name（[x]T））＝[x]T。

對(duì)于任意X,Y?U，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似滿足以下屬性：

性質(zhì)3.1

3.2 近似精度與粗糙度

因?yàn)檫吔缬虻拇嬖趯?dǎo)致集合的不精確性或數(shù)據(jù)的不完備性，集合的邊界域越大則集合的精確性越低[1]。近似精度和粗糙度是刻畫粗糙集不精確性和不完備性的兩個(gè)重要指標(biāo)[1,10]。結(jié)合結(jié)構(gòu)化粗糙集的特點(diǎn)，有以下關(guān)于結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度和粗糙度定義。

定義3.2 給定一個(gè)粗?；臻gU/T，對(duì)于任意，X∈U/T，則集合X 的近似精度和粗糙度為：

例3.1 中，非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度為：

結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度為：

可以看出，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集與非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度具有明顯的區(qū)別。

4 結(jié)束語

粗糙集的結(jié)構(gòu)化可以很好地保留上下近似中的對(duì)象的類信息，探討容差粗糙集的結(jié)構(gòu)化問題，提出了結(jié)構(gòu)化容差粗糙集模型，并對(duì)新模型的相關(guān)性質(zhì)和模型的精確程度開展研究，是粗糙集模型的一種推廣。新模型融合容差粗糙集模型和結(jié)構(gòu)化粗糙集模型的一些優(yōu)點(diǎn)。因此，具有一定的理論研究?jī)r(jià)值。后續(xù)研究中，我們將考慮在不完備信息系統(tǒng)中對(duì)該模型進(jìn)一步擴(kuò)展。