1.問題呈現(xiàn)——于平凡處見不凡

隨著新高考的實施，若干年來超越函數(shù)、lnx與帶參二、三次函數(shù)的綜合題霸占壓軸題位置的慣例被逐漸打破，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合的試題逐漸成為新高考壓軸題的?？?，2023年新高考Ⅱ卷壓軸題中的函數(shù)便是由帶參三角函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)復(fù)合而成.

題1 （2023年新高考Ⅱ卷第22題）（1）證明：當(dāng)0

（2）已知函數(shù)f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍．

試題第（1）問源于教材中對不等式sinx

2.解法探究——于無疑處仍有疑

對于任何復(fù)雜的問題，解題的思維都是建立在概念理解的基礎(chǔ)上的，沒有概念的指引就是“盲人騎瞎馬”.對于函數(shù)極值的概念，普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊（人教A版）第90頁是以圖形為主用描述性定義給出的，根據(jù)函數(shù)極值的定義，函數(shù)極值點有如下判別法.

函數(shù)值判別法：如果函數(shù)f（x）在點x0的附近有定義，且左右兩側(cè)附近的函數(shù)值都滿足f（x）f（x0）），則函數(shù)f（x）在點x0處取得極大（?。┲?

一階導(dǎo)數(shù)判別法：如果函數(shù)f（x）在點x0的附近有定義，且在x0附近的左側(cè)f′（x）>0（f′（x）<0），右側(cè)f′（x）<0（f′（x）>0），則函數(shù)f（x）在點x0處取得極大（小）值.

說明：基于高中生對函數(shù)的認知，我們假定本文中的函數(shù)f（x）在極值點處都是n階可導(dǎo)的.

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生處理極值問題積累的活動經(jīng)驗普遍傾向于一階導(dǎo)數(shù)判別法，即認為判別函數(shù)極值的關(guān)鍵是研究函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)在極值點左右的正負性，這種規(guī)范化的思維品質(zhì)是清晰嚴謹?shù)?但作為壓軸題，題1在規(guī)范化解答路線上設(shè)置了兩處挑戰(zhàn)：一是函數(shù)中含有的三角函數(shù)，增加了函數(shù)的“波動性”，進而增加了對導(dǎo)函數(shù)符號判斷的復(fù)雜性；二是函數(shù)中含有的參數(shù)，增加了函數(shù)的“模糊性”，進而增加了對導(dǎo)函數(shù)符號判斷的不確定性.

題意.

上述解法首先結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性），對參數(shù)進行分類討論，將不確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題來處理.其次結(jié)合試題逐步遞進的特征，借助第（1）中的結(jié)論，利用放縮在導(dǎo)函數(shù)中實現(xiàn)“去三角化”來解決.雖然學(xué)生對于這樣的規(guī)范化解答能夠充分理解，但在實際求解過程中往往很難完整解答，甚至都無法給出最終答案，其根本原因是學(xué)生于無疑處仍有疑，其疑惑主要集中在以下兩點：一是解法1中參數(shù)a2與常數(shù)2進行討論的根據(jù)從何而來？二是對于涉及函數(shù)極值的具體問題，是否只能運用一階導(dǎo)數(shù)判別法來處理，函數(shù)值判別法是否不具備實際可操作性？

針對以上疑惑，筆者通過泰勒級數(shù)理論，回歸到函數(shù)極值判別最初的原點——函數(shù)值判別法，來揭開解法1中參數(shù)討論依據(jù)的神秘面紗.

3.逐本溯源——于原點處現(xiàn)原形

在高等數(shù)學(xué)中，泰勒級數(shù)用無限項連加式——級數(shù)來表示一個函數(shù)，這些相加的項由函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)求得，具體形式如下：

若函數(shù)f（x）在點x0的某鄰域（x0－δ，x0+δ）內(nèi)

以下是幾個常見函數(shù)在x0=0處的泰勒級數(shù).

4.行遠升高——于遠點處辟蹊徑

借由二階導(dǎo)數(shù)判別法，我們給出題1的另一解法.

在判別函數(shù)極值的思維之路上，我們從“函數(shù)值判別法”這一“原點”出發(fā)，行至了“二階導(dǎo)數(shù)判別法”這一“遠點”，倘若函數(shù)在極值點處的二階導(dǎo)數(shù)也為0，則憑借泰勒級數(shù)這一相同原理通道，我們可以行至更遠處，運用高階導(dǎo)數(shù)判別法來處理.

高階導(dǎo)數(shù)判別法：如果函數(shù)f（x）在點x0的附近有定義，且f（k）（x0）=0 （k=1，2，3，…n－1），f（n）（x0）≠0，則（i）當(dāng)n為偶數(shù)時，函數(shù)f（x）在點x0處取得極值，且當(dāng)f（n）（x0）<0 （f（n）（x0）>0）時取得極大（?。┲?；（ii）當(dāng)n為奇數(shù)時，函數(shù)f（x）在點x0處無極值.

5.觸類旁通——于同源處相交匯

在歷屆高考中，以函數(shù)極值為命題背景的高考試題較為普遍.

題2 （2018年北京高考卷理科第18題）已知函數(shù)f（x）=［ax2－4a+1x+4a+3］ex.

（1）略；（2）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

由題2可以看出，對于不在點0處取得極值的函數(shù)，由泰勒級數(shù)運用函數(shù)值判別法來判別極值時，可由平移思想，將函數(shù)f（x）在點x0（x0≠0）處取得極值等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x+x0）在點0處取得極值，這樣就避免了計算推導(dǎo)函數(shù)在各個不同點處的泰勒級數(shù).

題3 （2018年全國高考Ⅲ卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）－2x.

（1）略；（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

由題3可以看出，利用高階導(dǎo)數(shù)判別法來判別極值，可能會面對多次的求導(dǎo)以及復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的繁雜性.而根據(jù)泰勒級數(shù)，運用函數(shù)值判別法來判別極值，運算過程整體可控，既能預(yù)見問題結(jié)果，也能照見問題由來，例如函數(shù)中的“－2x”項看似多余，其實有效抵消了函數(shù)泰勒級數(shù)中的一次項，否則無論a取何值，x=0是都不會是函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）的極值點.由此我們也可以依托泰勒級數(shù)來重建函數(shù)結(jié)構(gòu)，命制相似問題.

6.解題反思——于尾聲處談心聲

高考試題是教師研究解題的重要素材.在研究命題者給出的參考答案時，有些導(dǎo)數(shù)壓軸題的解答過程總給人感覺如同“魔術(shù)師帽子里的兔子”那么神奇.它的解法是如此巧妙，是如何想到的呢？事實上，解題的方向和結(jié)果的預(yù)見有賴于對問題本質(zhì)的洞悉，先站在高處從命題者的視角得到答案，便能利用好數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，自始至終地監(jiān)控好解題.因此，我們應(yīng)該加強高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系的研究，提高自身知識儲備，才能站得高看得遠，明晰數(shù)學(xué)知識的源與流，從整體上把握數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò).

參考文獻

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