王偉慧

數(shù)列是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，這部分內(nèi)容主要以客觀題的方式呈現(xiàn)，或與函數(shù)、不等式等內(nèi)容相結(jié)合，以綜合題的方式呈現(xiàn).不過(guò)無(wú)論以哪種方式呈現(xiàn)，其中都蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法，因此在數(shù)列問(wèn)題求解教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，讓學(xué)生可以站在更高的視角思考和解決問(wèn)題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).本文結(jié)合具體實(shí)例談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在數(shù)列中的運(yùn)用，以期引起師生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視.

1.函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以利用函數(shù)的一些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法來(lái)研究.

例1 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S10=100，S100=10.

（1）求S110；（2）當(dāng)n取何值時(shí)，Sn有最大值？

評(píng)注：本題求解主要是將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題迎刃而解.在解題時(shí)，切勿盲目地套用，應(yīng)關(guān)注已知和所求之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)思想方法將其建立聯(lián)系，從而找到合適的切入點(diǎn)，快速地解決問(wèn)題.

2.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想在解題中有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)“數(shù)”與“形”的結(jié)合可以將問(wèn)題向直觀化、簡(jiǎn)單化轉(zhuǎn)化.

例2 已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比q>1且bi>0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a9=b9，則a5與b5的大小關(guān)系是.

析解：從函數(shù)的視角出發(fā)，等差數(shù)列各項(xiàng)可以看作對(duì)應(yīng)直線上一系列散點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而等比數(shù)列的各項(xiàng)可以看作是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列散點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這樣結(jié)合已知條件可以得到如圖1所示的圖形.根據(jù)圖形可知a5>b5.

評(píng)注：對(duì)比兩種解法不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題更高效.在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法分析問(wèn)題，由此提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí).

3.分類(lèi)討論思想的運(yùn)用

分類(lèi)討論是一種數(shù)學(xué)思想方法，也是一種解題策略，其在解題中有著重要的應(yīng)用.

評(píng)注：在解題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到由于存在不確定因素而需要分類(lèi)的情況，如本題中的（－1）n，由于不確定n是奇數(shù)還是偶數(shù)而需要分類(lèi)討論.若學(xué)生具有良好的分類(lèi)討論意識(shí)，能夠靈活運(yùn)用化特殊為一般的思想方法來(lái)分析問(wèn)題，問(wèn)題即可迎刃而解.

4.化歸思想的運(yùn)用

化歸思想無(wú)處不在，它是分析和解決問(wèn)題的有效路徑，是最基本、最常用、最重要的思想方法.在解題的過(guò)程中，通常會(huì)采用某些手段將陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而快速地找到解題的突破口.

例4 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)（an，bn）（n∈N*）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上.

（1）若a1=－2，點(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；

評(píng)注：轉(zhuǎn)化思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是最重要的解題意識(shí).在實(shí)際教學(xué)中，要重視這一重要數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，從而逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5.整體思想的運(yùn)用

在解題的過(guò)程中，將整體思想運(yùn)用其中，可以起到降低解題難度，提升解題效率和解題準(zhǔn)確率的作用.整體思想是從整體出發(fā)，充分挖掘題中各個(gè)條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，將那些看似無(wú)關(guān)而實(shí)質(zhì)上有聯(lián)系的量看成一個(gè)整體，從而將復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化，抽象的條件具體化，提高解題效率.

例5 在等比數(shù)列an中，S8=30，S16=150，求S20.

評(píng)注：本題求解中從整體視角出發(fā)，通過(guò)整體代入有效地優(yōu)化了運(yùn)算過(guò)程，有利于提升解題效率和解題準(zhǔn)確率.

總之，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在日常教學(xué)中要不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行滲透，并創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生去領(lǐng)會(huì)和感悟，以此讓學(xué)生可以獲得更高層次的理解，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).