李亞瓊 寧連華

【摘 要】結構化教學是新課標背景下深化課堂教學改革的重要方式，有助于培養(yǎng)學生的結構性思維，有效發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。數學知識觀視角下的結構化教學，需要基于數學知識的內在邏輯結構，以現行教材單元重構知識，關注單元與單元、課時與單元之間的關聯性、承接性來設計教學，使得學生獲得更為系統(tǒng)的知識和經驗。結構化教學需要關注教材的二次開發(fā)，指向知識重組；需要基于學生的學習進階，關注課堂留白；需要設計評價任務貫穿教學始終，指向教學評一致性。本文以圓的復習課作為研究對象進行教學實踐反思：以解題為載體，引導學生進行知識再建構；設置課堂留白，引導學生進行開放性思考；設置問題鏈，關注教學過程中評價任務的貫穿性。

【關鍵詞】結構化教學；數學知識觀；學習進階；教學評一致性

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂版）》（簡稱“2017課標”）中強調“優(yōu)化課程結構”“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法”的基本理念?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022課標”）強調“設計體現結構化特征的課程內容”，并倡導“設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求”［1］。教學中，教師必須把握數學學科知識的整體架構，關注數學知識的關聯性，多角度建立知識的相互聯系，形成立體化的認知結構。新課標背景下，教學研究應重視能在實踐中引起共鳴的教學思考或者實踐嘗試［2］，以促進研究的傳遞性和持續(xù)性。

結構化教學是新時代背景下深化課堂教學改革的重要方式，有目的、有計劃地開展結構化教學，有助于提升學生的知識結構化和思維結構化水平，有效發(fā)展學生核心素養(yǎng)，推動育人方式變革。［3］不管是數學學科本身，還是數學與其他學科之間，都存在著聯系，這就需要教師以整體的眼光，引導學生明晰數學知識的內在聯系，并能跳出知識的內在框架，完善知識網絡，構建認知體系。弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中提出：數學知識充滿聯系，數學教學不要教孤立的片段，應該教連貫的材料；聯系不僅僅是學科內部的聯系，也不完全是數學內部的聯系，這種聯系需要遵循學科知識發(fā)展的自然邏輯。［4］72-73 數學教學中，教師會關注數學知識的整體結構，但學生很難理解整個知識體系，因為整個體系過于抽象，以至于關注內部聯系的同時容易忽視外部關聯。［4］73所以，結構化是教學的應然追尋，強調教學中需要追尋知識的整體性和結構性以及教學本身的結構性。結構化教學中需要重視知識整體性，但更需要分清知識的層次，在關注知識內部整體性、關聯性的同時，也要關注外部關聯性和結構性思維。

數學結構化教學中，如何將理念層面的結構化教學落實到具體數學課堂之中，這是需要關注的。本文基于數學知識觀對結構化教學的支撐作用，剖析數學知識觀視角下結構化教學的特征，并結合具體教學案例進行結構化教學實踐反思。

二、數學知識觀為結構化教學提供理論支撐

（一）結構化教學關注知識重組

2017課標和2022課標均指向有效開展結構化教學，促進學生深度學習，發(fā)展學生核心素養(yǎng)。信息化背景、一致性視角等為結構化教學提供了理論借鑒，而教學設計、教學片段思考、課例分析、變式教學等則指向結構化教學的實踐落實。把學生的知識結構轉化為認知結構［5］，要求教學圍繞知識的核心內容，循著“創(chuàng)設情境激活已有知識—提煉主題建構結構化知識—構建任務層級—實踐創(chuàng)新遷移”的教學實施路徑，對教學目標及教學步驟進行具體設計，構建結構化教學體系。結構化教學強調模式的構建與理解、識別與應用、反思與完善，強調知識的結構化整合，以促進學生的深度學習，落實數學的育人價值。［6］結構化教學不僅關注優(yōu)化學生的知識結構，而且還強調促進學生認知結構的形成。［7］因此，結構化教學指向知識重組，關注學生學習力的有效提升，從而發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)。

（二）數學知識觀助力結構化教學

數學教學需要基于學科邏輯，內部強調知識本體和結構的實踐理性，外部強調主體內在性和主體間性的社會建構。無論是數學知識的內在理性還是外在社會性，都與人的主體性認識息息相關。［8］數學教學應從數學知識結構和學生認知結構出發(fā)，以自主、合作、探究的方式，完善和發(fā)展學生原有的數學認知結構，發(fā)展學生的學習力與研究力。［9］數學教學應加強對客觀現象的歸納與抽象，提升學生將現實問題轉化為數學問題的能力；引導學生按照數學規(guī)律建構數學知識，并關注數學理性的局限性。［10］

數學知識結構強調數學知識的內在聯系，包括數學內容結構、數學能力結構和數學狀態(tài)結構（見圖1）。數學內容結構包括數學知識自身的邏輯結構和數學知識之間的組織結構。數學能力結構包括數學思維方法和數學問題解決所用的方法、能力。數學狀態(tài)結構包含認知主體的心理狀態(tài)要求和數學精神層面的要求。［11］數學知識結構本質是數學知識本身所固有的一種內在統(tǒng)一性與規(guī)律性，明確數學知識的內容、能力和狀態(tài)結構是進行結構化教學的前提和基礎。

所以，知識結構不僅需要關注知識的內容維度，更應關注個人知識的能力和狀態(tài)發(fā)展的默會知識維度，回歸數學知識生成的本源性問題。結構化教學需要以數學知識觀來指導，關注學習進階，以現行教材單元（模塊或主題）重構教學單位，注意單元與單元、課時與單元之間的關聯性、承接性，使得學生獲得更為系統(tǒng)的知識和經驗。

三、知識觀視角下結構化教學的特征

結合對結構化教學的再思考，知識觀視角下的結構化教學需要關注教材的二次開發(fā)，指向知識重組；需要基于學生的學習進階，關注課堂留白；需要設計評價任務貫穿教學始終，指向教學評一致性。

（一）關注教材的二次開發(fā)，指向知識重組

課時知識是學生開展結構化學習的基礎，是數學知識重組的來源。單元是有意義的知識組織集合，教材中的單元往往是一類數學知識的集合，教師可以在參考教材單元編排形式的基礎上，以單元知識為載體重組單元、創(chuàng)生單元。［7］數學教學中，使用教材時教師常會出現對課時內容、知識點和單元結構的“單薄斷層”式、“零散割裂”式以及“失序鋪排”式解讀，如此不利于學生建構知識整體結構和認知結構。［12］結構化教學需要關注知識的整合與拓展，教師可以對不同版本的教材進行比較與分析，基于數學知識的內在邏輯結構，豐富教材二次開發(fā)的課程資源，從而促進知識重組。

（二）基于學習進階，設置課堂留白

學習進階（Learning Progression）是指，在一個較大時間跨度內，學生對某一主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一種過程，旨在揭示學生在相當長一段時間內學習和研究某一主題的思考、理解和實踐活動的認知發(fā)展。［13］學習進階可以促進學生進行有效的認知構建，可以引發(fā)學生將經驗知識轉化為科學知識，形成學習范式。結構化教學的本質在于引導學生開啟智慧，而學生的認知發(fā)展具有差異化和復雜性，同時又需要連續(xù)性，若教學提供不同的認知情境，則學生的認知發(fā)展方向可能會發(fā)生變化。所以，在課堂教學中，教師需基于學習進階，有意識地進行課堂留白，留出適當的時間和空間，引導學生進行數學體驗和探究［14］，實現深度學習。基于此，結構化教學中，教師需要關注知識的整體結構性，基于學生的學習進階，設計課堂留白，培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

（三）設計評價任務貫穿教學始終，指向教學評一致性

學生的知識掌握、數學理解等是隨著學習過程的變化而發(fā)展的，因此教師要重視學生的學習行為和思維過程，通過過程評價激發(fā)學生數學學習的積極性。［15］新課標背景下的教學評價應融入教學活動過程的每個環(huán)節(jié)［16］，采用迭代的方式對教學活動進行優(yōu)化，并且要基于學科素養(yǎng)，關注知識目標、能力目標、社會參與目標及學生自主發(fā)展目標。在信息技術快速發(fā)展的大數據時代，評價標準逐漸開始關注“學”與“評”的內在聯系，樹立“學生中心”“為學而教”“以學評教”等科學的教學評價觀。結構化教學需關注教材的邏輯與內容結構，立足于學生的學習進階，厘清課標的相關要求，分析學生的認知準備與心理準備，基于此確立學習目標，之后確立與之相匹配的評價任務，并考慮如何將評價任務嵌入教學過程，這樣才能體現教學評的一致性及整體性。

當然，結構化教學不能一味追求知識的形式結構而忽視知識的外在關聯性，教學中教師需要設置系統(tǒng)化的真實情境，借助情境的融合指向學生知識結構的建構，從而促進學生形成知識遷移能力，達成學科素養(yǎng)的培養(yǎng)。

四、結構化教學的實踐反思

基于數學知識觀視角下結構化教學的思考，本文以蘇科版九年級數學上冊“圓的復習課”一課為研究對象進行教學實踐反思。本文基于這節(jié)課的課堂片段分析，呈現該復習課的問題設計、教學實施和實踐反思，為優(yōu)化結構化教學提供借鑒。

（一）以解題為載體，引導學生再建構“圓”的知識

以解題為載體進行知識再梳理，是復習課教學的常見模式。結構化教學并不是要摒棄原有的教學方式，再創(chuàng)造一種新的教學方式，而是強調教師要有結構化的意識，引導學生關注知識的整體性和建構性。當然，這種知識的建構過程具有開放性和差異性。

在“圓的復習課”中，教師設計解題任務：

例1 如圖2，在圓O中，P為圓外一點，PA、PC分別交圓O于B、D，已知PA=PC，求證：AB=CD。

教師通過觀察學生不同的證明方法，引導學生歸納用到哪些知識，在此過程中引導學生對相關知識進行再建構。在真實課堂教學中，學生呈現了多種方法。

教師追問學生是如何想到這個方法的，學生回答利用圓心角和弧的關系以及弦和弧的關系。教師繼續(xù)引導學生思考：“在圓的章節(jié)學習中，我們要證明線段相等，可以利用剛剛這位同學的方法，比利用三角形全等的策略更簡便，這也是學習圓的相關性質的必要性。還有沒有其他的方法呢？”于是有如下方法：

方法2 連接AC，BD，如圖3所示，四邊形ACDB為圓O的內接四邊形。

這個方法利用了圓的內接四邊形的外角等于其內對角，巧妙地解決了問題。課堂中還有其他方法：利用“同弧所對的圓周角相等”，繼而利用三角形全等以解決問題；觀察弦AB和弦CD，利用垂徑定理也能解決問題。

隨后，教師通過呈現不同的證明方法，引導學生再建構整理圓的相關知識，同時在黑板上完善歸納（如圖4所示）。

值得再思考的是，這樣的結構圖提煉出來后，就能幫助學生建構知識嗎？解題教學中，“以題帶點”可以引導學生通過解決問題回憶知識，并能對原有知識結構進行再完善，但通過一道題能完整梳理圓的知識嗎？顯而易見，答案是否定的，所以教師需要設置幾個變式題組供學生課后鞏固，并且要求學生結合所學，自己去進一步整理、完善圓的相關知識結構圖。這樣的教學過程能培養(yǎng)學生的整體知識觀，同時也培養(yǎng)了學生的建模能力和抽象素養(yǎng)，并引導學生進行解題方法的優(yōu)化，指向培養(yǎng)學生的批判性思維能力和創(chuàng)新意識。

（二）設置課堂留白，引導學生進行開放式思考

結構化教學中，教師需要關注教學的不確定性和學生的差異化，因此知識結構的建構過程具有差異性和開放性。教師在教學中，不要急于知識的提煉，有時需要設置開放性的問題，在課堂上留白和布白，等待學生主動參與補白。同時，學生補白可不急于課上必須完成，知識教學具有未竟性。比如圓的復習課中，教師在完成圖4后，可繼續(xù)引導學生完成如下變式題的思考。

變式 如圖5，圓O外一點P，過點P的直線切圓O于點A，AC是圓O的直徑，PC交圓O于點B、C，若PB=6，BC=2，求PA的長度。

教師引導學生總結解題過程，主要運用“直徑所對圓周角為直角”及在三個直角三角形中運用勾股定理，該題的計算量并不大，學生容易得出結果。此環(huán)節(jié)基于學生的學習進階設置問題，在學生解題過程中啟發(fā)學生發(fā)現新的結論（直角三角形相似的相關性質），可以為后續(xù)學習相似三角形埋下伏筆。但解題教學不僅僅是做題，而是要通過一道題去思考一類題的解題策略，甚至可以通過一道題去追問反思，幫助學生形成知識遷移能力和批判性思維能力。所以，解決該題后，教師可以設置留白——“證明PA2=PB·PC”，其實就是為后續(xù)學習三角形相似作鋪墊。此處留白可以讓學生課后思考，教師可引導學生運用從特殊到一般的方法，并提供證明思路。

結構化教學需要有知識結構化提煉的過程，也需要留有空缺，在后續(xù)學習中繼續(xù)完善。數學學習是一個循序漸進的過程，具有開放性和未竟性。

（三）巧妙設置問題鏈，關注評價任務的貫穿性

教學應注重教學評一致性，不僅要關注“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，還要重視“怎么教”的具體指導。教學評一致性強調要改變以考試為主和忽視課堂評價的單一評價方式，構建素養(yǎng)導向、主體多元、評價維度多元、形式多樣的評價體系。在教育評價范式中，評價不再是教學之后的一個環(huán)節(jié)，教學、學習、評價逐漸被看成“三位一體”的環(huán)節(jié)，評價應與學習目標相匹配，并持續(xù)鑲嵌于教學和學習的過程之中，教學、學習、評價三者應共享目標。［17］

利用問題鏈驅動課堂，教師可關注即時生成性資源，促使課堂生成，指向學生的深度學習。結構化教學可借助問題鏈的設計，將評價任務貫穿于教學活動之中，從而激發(fā)學生的疑惑，引導學生主動參與思考，完成知識的建構。比如在圓的復習課教學中，筆者精心設置了一些問題，嘗試將評價任務貫穿于教學活動中。

問題1 在圓O外畫一點P，請運用數學語言表達P在哪里？

問題2 過P點作一條直線，有多少條？

問題3 不妨取問題2中的兩條直線PA、PC（如圖2），分別與圓O相交于B、D，且PA=PC，求證：AB=CD。

問題4 將問題3的題設特殊化，若PA與圓O相切，PC與圓O相交于點B（如圖5），此時[△CAP]為直角三角形，若PB=6，BC=2，求PA的長。

問題5 通過問題4的思考，你有什么發(fā)現？

問題6 你能證明PA2=PB·PC？

五、結語

當然，對結構化教學的研究并不是對原有課堂的全盤否定，教學具有不確定性，結構化教學也并非一節(jié)課就能達成，其具有批判繼承性、系統(tǒng)性和開放性。在新時代背景下，結合新課標和新教材的要求，教師需要考慮教學的諸多不確定因素，嘗試關注數學知識的關聯性，但聯系不一定是直接的，也不一定是數學內部的［4］73，還需要考慮知識的外在關聯性，使知識的內在邏輯結構和外部關聯融合共生，這也是結構化教學需要繼續(xù)思考的方向。

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（責任編輯：潘安）