張紹武 崔佳佳 高媛

【摘 要】抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，也是數(shù)學(xué)的基本思想。初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、關(guān)系與方法的抽象上。教學(xué)中，要關(guān)注數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程，引領(lǐng)學(xué)生從真實(shí)情境所蘊(yùn)含的豐富信息中提煉出與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，借助問題情境抽象出概念，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，深化對數(shù)學(xué)知識和意義的理解。本文以“數(shù)軸”概念的教學(xué)為例，就如何基于真實(shí)情境培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行了探索和實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】抽象能力；真實(shí)情境；數(shù)軸

一、引言

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系與空間圖形的抽象，因此抽象能力主要與“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”對應(yīng)，同時又與“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”和“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”密切相關(guān)。對初中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，重在引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題，經(jīng)歷從真實(shí)問題中提煉數(shù)學(xué)對象，并通過數(shù)學(xué)洞悉真實(shí)世界的過程。因此，真實(shí)情境是數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)。目前，大部分初中學(xué)生的抽象能力較弱，主要原因有：一是教師在教學(xué)中往往重結(jié)果輕過程，學(xué)生能記住某些抽象的數(shù)學(xué)形式，但沒有經(jīng)歷完整、自主的思考過程；二是教師對抽象能力認(rèn)識不足，缺乏對抽象能力框架的全面掌握，對基于真實(shí)情境發(fā)展核心素養(yǎng)的課堂設(shè)計理念缺乏深入的思考?；诖?，本文在分析抽象能力內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，以“數(shù)軸”概念教學(xué)為例，探討通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境來設(shè)計教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的方法和步驟。

二、對數(shù)學(xué)抽象能力的認(rèn)識

數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究的是抽象的對象，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象［1］。所謂數(shù)學(xué)抽象，就是個體通過觀察并分析發(fā)展規(guī)律，透過表象探索問題本質(zhì)，立足空間和數(shù)量關(guān)系來揭示內(nèi)在特征，并對發(fā)展規(guī)律進(jìn)行總結(jié)的一種方法。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)的發(fā)展同步。數(shù)學(xué)抽象要經(jīng)歷兩個階段：（1）第一階段的抽象是基于現(xiàn)實(shí)的，人們通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的基本概念。這種基于現(xiàn)實(shí)的抽象，是從感性具體上升到理性認(rèn)識的思維過程。（2）第二階段的抽象是基于邏輯的，人們通過這一階段的抽象，合理解釋通過第一階段抽象得到的數(shù)學(xué)概念以及概念之間的關(guān)系。第二階段的抽象的特點(diǎn)是符號化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程。通過抽象，人們把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對象［2］。如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）指出，抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。對于抽象能力的培養(yǎng)，《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求學(xué)生能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號予以表達(dá)；能夠從具體的問題解決過程中概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略。

皮亞杰將認(rèn)知發(fā)展分為了四個階段，分別是感知運(yùn)算階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段。其中，形式運(yùn)算階段兒童的年齡為11—15歲，或更大一些，即處于初中學(xué)段的學(xué)生。形式運(yùn)算階段的兒童可以從具體問題中解放出來，能夠進(jìn)行內(nèi)省，思考自己的思想和情感，用整合的方式應(yīng)用理論去解決許多問題，并逐漸掌握了作為思維工具的邏輯，從邏輯地解決具體問題向著邏輯地解決各類問題發(fā)展。這為抽象能力發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

初中階段的抽象能力，一方面是小學(xué)階段數(shù)感、量感、符號意識的進(jìn)一步發(fā)展，另一方面要逐漸進(jìn)階為高中階段更為嚴(yán)謹(jǐn)、形式化的數(shù)學(xué)抽象。因此，初中階段抽象能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，還有助于學(xué)生在日常生活和實(shí)踐中養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，發(fā)展理性精神。

史寧中教授根據(jù)抽象程度的不同，將數(shù)學(xué)概念的抽象過程分為簡約階段、符號階段和普適階段［3］。在初中數(shù)學(xué)教材中，抽象能力主要體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩大領(lǐng)域，具體分析框架見表1。

三、對真實(shí)情境的認(rèn)識

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，始終與知識賴以產(chǎn)生意義的背景及環(huán)境相關(guān)聯(lián)。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知本質(zhì)看，學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程本身是一個建構(gòu)的過程，無論是知識的理解還是運(yùn)用，都離不開知識產(chǎn)生的環(huán)境和適用的范圍，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有情境性。恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計情境問題，將有助學(xué)生學(xué)會“何時”“何地”“為什么”使用學(xué)過的知識。

凱恩（Caine）提出了“分類記憶”和“位置記憶”［4］的兩個系統(tǒng)。傳統(tǒng)教學(xué)習(xí)慣于“分類記憶”，即脫離情境把知識分門別類地存儲在記憶中，而真實(shí)情境倡導(dǎo)“位置記憶”，即把知識放在具體情境中。凱恩用“導(dǎo)航儀”和“地圖”比喻兩者。借助導(dǎo)航儀到達(dá)城市的一個地方，雖然不走彎路，效率高，但不會留下對城市長久深刻的記憶，下一次仍然不知怎么到達(dá)。借助地圖就不同，為了到達(dá)目的地，會摸索、嘗試各種路線，這種嘗試和摸索的過程會留下長效記憶，從此，使用者熟悉了這個城市，可以靈活地變換各種路線到達(dá)目的地?？梢?，真實(shí)情境是實(shí)施探究性學(xué)習(xí)的堅實(shí)土壤。

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境和合理設(shè)計探究問題來促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)活動的開展，提倡開展素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語言。真實(shí)情境在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用主要有以下五個方面：激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；揭示知識的產(chǎn)生背景，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解；引導(dǎo)學(xué)生探尋問題解決的策略；提供運(yùn)用數(shù)學(xué)的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力；讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

四、基于真實(shí)情境的抽象能力培養(yǎng)路徑探析

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求教師注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用。在基于真實(shí)情境的教學(xué)的實(shí)施過程中，教師要關(guān)注以下幾個要素：（1）情境。情境是指真實(shí)問題的背景，是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動場域。教師要多留心生活，關(guān)注時事，常態(tài)化收集問題情境的素材和資料。在創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境時，選取貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的情境素材，深入挖掘其中的人文價值與育人價值，注重選取中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)文化素材，以增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感，發(fā)揮真實(shí)情境素材的育人功能。（2）問題。即學(xué)生需要完成的任務(wù)，包括完成什么樣的任務(wù)以及完成任務(wù)的要求。教師要反復(fù)打磨情境與問題，增強(qiáng)情境與任務(wù)的關(guān)聯(lián)度，讓情境與問題融合為相互依存的有機(jī)整體。此外，還要處理好情境與問題的復(fù)雜程度，控制好知識在情境中的潛隱程度，不能過于淺顯或直接能找到答案，要設(shè)計好學(xué)生自主探究的思維空間。（3）事件。即具體事件情境，包括時間、地點(diǎn)和任務(wù)等。（4）意圖。即問題情境設(shè)計要具有鮮明的針對性和目的性。基于真實(shí)情境的學(xué)習(xí)是讓學(xué)生面對文字、表格、圖片等非連續(xù)性文本，通過閱讀、解釋、推斷、預(yù)測、設(shè)計等學(xué)習(xí)行為，發(fā)展高階思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。教師要明確真實(shí)情境教學(xué)的目的，并在教學(xué)過程中有針對性地加以實(shí)踐，喚起學(xué)生的積極情感體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。

數(shù)學(xué)中的抽象是一種逐級抽象過程，可以在不同層面上進(jìn)行抽象［5］，因此教學(xué)中教師應(yīng)重視抽象能力發(fā)展的階段性，幫助學(xué)生經(jīng)歷“分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號化—系統(tǒng)化”等步驟，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)抽象能力。

基于此，本文以七年級數(shù)學(xué)“數(shù)軸”概念的教學(xué)研究課為例，主要教學(xué)階段如圖1所示。

五、基于真實(shí)情境的抽象能力培養(yǎng)的實(shí)踐

（一）學(xué)情分析與情境選取

七年級學(xué)生的思維正處于從以具體形象思維成分為主向以抽象邏輯思維成分為主進(jìn)階的轉(zhuǎn)折期，因此，教學(xué)中學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)要注意具體性、形象性，同時還要有適當(dāng)?shù)某橄?、概括要求，從而既適應(yīng)學(xué)生的能力發(fā)展水平，又能促進(jìn)學(xué)生的思維向更高階段發(fā)展?！皵?shù)軸”是有理數(shù)內(nèi)容中的一個重要概念，是七年級學(xué)生第一次學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容。教材借助馬路上的物體與汽車站牌的相對位置關(guān)系的生活情境，讓學(xué)生畫圖描述位置，逐步過渡到“用數(shù)表示直線上的點(diǎn)”和“用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)”。在理解教材的基礎(chǔ)上，筆者將教材中數(shù)軸的引入情境結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境，進(jìn)行了教學(xué)資源的再開發(fā)。

北京是著名的歷史文化名城，明清時期，北京城的中軸線南起永定門，北至鐘樓，直線距離約7.8千米。2022年國家文物局確定推薦“北京中軸線”作為我國2024年世界文化遺產(chǎn)申報項(xiàng)目（以下簡稱“申遺”）。中軸線的申遺喚起了大家對傳統(tǒng)文化的重視和對文物保護(hù)的自覺，這一真實(shí)情境具有深厚的人文價值與育人價值。同時，中軸線對于數(shù)軸的抽象和建立是一個較為合適的真實(shí)情境，因此筆者選取了貼近學(xué)生生活的北京中軸線申遺情境，引導(dǎo)學(xué)生以中軸線上的一些核心遺產(chǎn)點(diǎn)為背景逐步抽象、建立數(shù)軸。

（二）教學(xué)實(shí)踐

環(huán)節(jié)一? 創(chuàng)設(shè)情境，激活抽象思維

活動1 學(xué)生先觀看北京中軸線申遺的宣傳短片，接著根據(jù)教師提供的文本材料，學(xué)生分小組合作嘗試畫出文中中軸線上6處核心遺產(chǎn)點(diǎn)位置的示意圖。

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的實(shí)際問題情境——北京中軸線，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出開放式的探究問題——畫示意圖描述核心遺產(chǎn)點(diǎn)的位置，完成對問題情境的第一次抽象，為后續(xù)的再次抽象打下基礎(chǔ)。此活動能發(fā)展學(xué)生的信息加工、抽象能力等素養(yǎng)，發(fā)揮情境素材的育人功能。

活動2 小組展示所畫的示意圖，相互交流評價。

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生分析各小組示意圖的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。比如：都用線段表示了中軸線，用線段上的點(diǎn)表示了6處核心遺產(chǎn)點(diǎn)；都用箭頭標(biāo)注了“北”的方向，不同的是有的小組標(biāo)注的是向上為北，畫出的是豎直的線段，有的小組標(biāo)注的是向右為北，畫出的是水平的線段；等等。

【設(shè)計意圖】交流欣賞小組作品，分析作品中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，歸納概括共性，初步體會數(shù)軸的要素及抽象的過程和意義。

在本環(huán)節(jié)中，以數(shù)軸的“三要素”為定向，學(xué)生用直線、點(diǎn)、方向、距離、比例尺等幾何符號表示實(shí)際問題。學(xué)生通過抽象刻畫事物相對位置的要素——方向和距離，完成了對實(shí)際問題的第一次抽象，即抽象能力的簡約階段，感受到數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語言，體會到數(shù)學(xué)抽象的作用和意義。此外，當(dāng)看到宣傳片中倡導(dǎo)“為北京中軸線申遺助力”時，學(xué)生們很激動，喚起了他們的民族自豪感和文化自信。

環(huán)節(jié)二 問題驅(qū)動，引領(lǐng)抽象思維升級

問題1 大家在圖中標(biāo)注了核心遺產(chǎn)點(diǎn)之間的距離，可否用一個統(tǒng)一的參照距離，使得這些核心遺產(chǎn)點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系更明確、清晰？

問題2 “南”與“北”具有相反意義，結(jié)合前面學(xué)習(xí)的正數(shù)與負(fù)數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量的知識，你認(rèn)為怎樣用數(shù)簡明地表示這些核心遺產(chǎn)點(diǎn)的相對位置關(guān)系？

【學(xué)生活動】學(xué)生們嘗試作圖。其中，一名學(xué)生所作如圖2所示。

追問1 0代表什么？

追問2 數(shù)的符號的實(shí)際意義是什么？

追問3 -2.7表示位于景山向南2.7千米的正陽門，你還能說出圖中其他數(shù)所表示的相對位置關(guān)系嗎？

【師生活動】教師展示生活中常見的溫度計，引導(dǎo)學(xué)生觀察溫度計的示數(shù)結(jié)構(gòu)，感受溫度計呈現(xiàn)的數(shù)軸要素。

問題3 你能概括這兩個例子的共同點(diǎn)嗎？

【設(shè)計意圖】在第一次抽象的基礎(chǔ)上，聚焦圖形，繼續(xù)以數(shù)軸的“三要素”為定向，基于對具有相反意義的量的理解，抽象出用數(shù)（符號和絕對值）刻畫事物的位置，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)來表示點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)第二次抽象。將學(xué)生所畫示意圖的例子與溫度計進(jìn)行比較，概括它們的共同點(diǎn)，進(jìn)一步明確數(shù)軸“三要素”，為第三次抽象得出數(shù)軸的概念打下基礎(chǔ)。

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生首先在二次抽象的過程中，較自然地接受引入數(shù)軸作為工具表示位置問題的合理性，感受用數(shù)刻畫位置的必要性，從而進(jìn)一步體會數(shù)軸“三要素”的必要性和合理性，并經(jīng)歷“用數(shù)表示直線上的點(diǎn)”和“用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)”的過程。接著，學(xué)生對簡約階段識別出的要素進(jìn)行分析，通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)用數(shù)軸描述位置的關(guān)鍵要素——基準(zhǔn)點(diǎn)、方向、單位長度、距離。最后，結(jié)合用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量的經(jīng)驗(yàn)，概括出數(shù)軸的“三要素”——原點(diǎn)、正方向和單位長度，確定構(gòu)成數(shù)軸概念的關(guān)鍵要素，建立要素之間的邏輯關(guān)系，初步體會數(shù)形結(jié)合的思想，完成抽象能力的符號階段。

環(huán)節(jié)三 明晰概念，加深理解，提升抽象能力

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出數(shù)軸的概念，明確數(shù)軸的“三要素”，并講解數(shù)軸的畫法和用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的方法，然后提出以下問題：

問題1 如果將圖2中的太和殿作為原點(diǎn)，正方向和單位長度不變，那么圖2中什么不變？什么會改變？如果以鐘樓為原點(diǎn)呢？

問題2 如果圖2中的原點(diǎn)和正方向不變，單位長度發(fā)生變化，圖2會變成什么樣呢？

問題3 如果圖2中的原點(diǎn)和單位長度不變，將正方向變?yōu)榕c原來相反，圖2會變成什么樣呢？

【設(shè)計意圖】結(jié)合實(shí)際情境，以問題串的形式，幫助學(xué)生加深對數(shù)軸“三要素”在刻畫事物相對位置中的作用的理解，以及對數(shù)軸概念中“規(guī)定”和“適當(dāng)”等的理解。再次讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)表示數(shù)軸上的點(diǎn)，深入體會數(shù)形結(jié)合的思想。

在本環(huán)節(jié)，學(xué)生對數(shù)軸的“三要素”進(jìn)行多角度的深入理解，教師通過問題串加深學(xué)生對數(shù)軸“三要素”的理解和對數(shù)軸的運(yùn)用，幫助學(xué)生將概念精致化。此外，還需要通過認(rèn)識數(shù)軸概念的作用和意義的教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生將新概念納入已有知識體系中，完成抽象能力的普適階段。

六、結(jié)語

綜上所述，基于真實(shí)情境的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要教師貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和年齡特點(diǎn)選取情境素材，讓學(xué)生接觸社會、經(jīng)濟(jì)、文化等多領(lǐng)域的真實(shí)情境，感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值；要深入挖掘數(shù)學(xué)的人文價值與育人價值，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感；要在真實(shí)情境中提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，得到數(shù)學(xué)概念并合理解釋概念與概念之間關(guān)系，不斷經(jīng)歷符號化、形式化和公理化，完成從理性具體上升到理性一般的思維過程。教師要緊扣抽象能力培養(yǎng)的三個階段，循序漸進(jìn)地推進(jìn)從真實(shí)到抽象的過程，才能在教學(xué)中有的放矢。

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（責(zé)任編輯：潘安）