摘 要：針對基本灰狼優(yōu)化算法收斂速度慢，易陷入局部搜索的情況，提出一種基于算術運算和透鏡成像學習策略的改進灰狼優(yōu)化算法。該算法在基本灰狼優(yōu)化算法的基礎上，引入算術優(yōu)化算法的乘除算子，利用帶透鏡成像的反向學習策略增強最優(yōu)個體的多樣性，增強算法的全局探索能力，提高收斂速度。對比實驗結果表明，改進的灰狼優(yōu)化算法具有收斂速度快、易跳出局部尋優(yōu)狀態(tài)，在30個基準測試函數(shù)的求解中獲得了28個測試函數(shù)的最優(yōu)均值，并且求解質量及普適性均優(yōu)于最新的幾種對比算法。

關鍵詞：灰狼優(yōu)化算法;算術優(yōu)化算法;透鏡成像的反向學習策略

中圖分類號：TP391 文獻標志碼：A

0 引言（Introduction）

灰狼優(yōu)化 （Grey Wolf Optimizer，GWO） 算法是由學者MIRJALILI[1]于2014年提出的一種新的元啟發(fā)式算法。由于GWO算法原理簡單、編程容易、需要調整的參數(shù)少，因此已成功應用于電力系統(tǒng)[2]、自動控制[3]、圖像處理[4]、能源市場戰(zhàn)略招標[5]及線路規(guī)劃[6]等領域。然而，與許多元啟發(fā)式優(yōu)化算法一樣，GWO算法在求解復雜的非線性問題時，容易陷入局部最優(yōu)且收斂速度慢。

為了解決GWO算法在求解復雜的非線性問題時存在的不足，本文提出了一種基于透鏡成像的反向學習策略和乘除算子策略的經(jīng)改進的灰狼優(yōu)化算法。其中，引入乘除算子策略，提高了算法的收斂速度，增強了算法的全局探索能力;引入透鏡成像的反向學習策略，提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力，提高了最優(yōu)個體的多樣性。對比仿真結果表明，改進的GWO算法具有收斂速度快和易跳出局部尋優(yōu)狀態(tài)的優(yōu)點，并且求解質量和普適性較幾種最新算法均表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，獲得了較好的計算結果。

1 改進的灰狼優(yōu)化算法（Improved Grey Wolfoptimization algorithm）

1.1 灰狼優(yōu)化算法

GWO算法是模仿自然界灰狼群體社會等級和捕食行為[1]而衍生的一種元啟發(fā)式算法?；依侨后w的社會等級為α狼、β 狼、δ 狼和ω 狼。狼的狩獵行為分為跟蹤、包圍和攻擊獵物3個步驟。狼群包圍獵物的數(shù)學模型定義如下：

X=Xα（t）-A·|C·Xα（t）-X（t）| （1）

其中：X 和Xα 分別是狼個體和獵物個體的位置向量，t 是當前的迭代次數(shù)。系數(shù)向量A 和C 定義如下：

A=2a·r1-a （2）

C=2·r2 （3）

其中：r1 和r2 是[0，1]之間的隨機向量，a 從2線性遞減到0，其中Tmax 為最大迭代次數(shù)。

其數(shù)學模型定義為

包圍獵物后，β 狼和δ 狼在α 狼的帶領下追捕獵物。在追捕過程中，狼群的個體位置會隨著獵物的逃跑而發(fā)生變化。因此，灰狼群可以根據(jù)α 狼、β 狼、δ 狼的位置Xα、Xβ、Xδ 更新灰狼的位置：

X1=Xα（t）-A1·|C1·Xα（t）-X（t）| （5）

X2=Xβ（t）-A2·|C2·Xβ（t）-X（t）| （6）

X3=Xδ（t）-A3·|C3·Xδ（t）-X（t）| （7）

其中，X（t+1）是當前個體的位置。

1.2 改進GWO算法的思路和策略

1.2.1 算術乘除運算符策略

算術優(yōu)化算法（Arithmetic Optimization Algorithm， AOA）是學者ABUALIGAH[7]于2021年提出的一種新的元啟發(fā)式算法，主要利用了數(shù)學中的乘、除、加、減4種混合運算。AOA中的乘除算子具有較強的全局探索能力?；依欠N群在更新位置時側重使用α 狼、β 狼和δ 狼作為精英引導搜索，具有較強的局部開發(fā)能力。為此，引入算術乘除算子策略提高GWO算法的全局探索能力。算術乘除算子策略的數(shù)學模型定義為

其中：Xj best 表示當前最優(yōu)解的第j 個位置;r3 是介于[0，1]的隨機向量;ε 是一個防止分母為0的整數(shù);μ 是調節(jié)搜索過程的控制參數(shù)，μ 的值在基本AOA中為0.5;ubj 和lbj 分別表示第j 個位置的上界和下界。MOP 為概率函數(shù)，其數(shù)學模型描述如下：

其中，τ=5是一個敏感因子，定義了迭代的搜索精度。由公式（10）可知，AOA可以帶來高分布，借助乘除算子實現(xiàn)位置更新，可以大大提高算法的全局探索能力。本文設置的閾值為0.3。

1.2.2 基于透鏡成像的反向學習策略

根據(jù)灰狼的位置更新公式（5）至公式（8），由α 狼、β 狼和δ狼帶領群體中的其他狼進行位置更新。若α 狼、β 狼和δ 狼都處于局部最優(yōu)，則整個群體會聚集在局部最優(yōu)區(qū)域內，導致種群陷入局部最優(yōu)的情況。針對這一情況，提出了一種基于透鏡成像的反向學習策略，該方法將對立個體與當前最優(yōu)個體相結合，生成新個體，從而降低了種群陷入局部最優(yōu)的概率。

假設一維空間中，在軸區(qū)間[lb， ub]有一個高度為h 的個體P，其在X 軸上的投影為x（x 為全局最優(yōu)個體）。將焦距為F 的鏡頭放置在基點位置O 上[取基點位置為（lb+ub）/2]。個體P 通過透鏡獲得高度為h 的倒置圖像P* 。在這一點上，第一個倒置的個體x* 通過透鏡成像在X 軸上產(chǎn)生?；谕哥R成像的反向學習策略原理如圖1所示。

在圖1中，全局最優(yōu)個體x 以O 為基點，找到其對應的逆?zhèn)€體x* 。因此，可以根據(jù)透鏡成像原理推導對應的數(shù)學模型。

設h/h* =k，其中k 表示拉伸因子。然后通過推導公式（10），可以得到反轉點x* 的計算公式。

在算法搜索解時，使用拉伸因子k 作為微觀調節(jié)因子，增強算法的局部開發(fā)能力。然而，在基本的透鏡成像的反向學習策略中，拉伸因子一般作為固定值使用，不允許算法探索解空間的全范圍。為此，提出一種基于非線性動態(tài)遞減的伸縮因子策略。算法在迭代初期就可以得到較大的值，這有助于算法在不同維度的區(qū)域進行更大范圍的搜索，提高種群的多樣性。非線性動態(tài)拉伸因子定義如下：

其中：kmax 和kmin 分別是最大拉伸因子和最小拉伸因子，Tmax是最大迭代次數(shù)。可以將公式（12）擴展到D-維搜索空間，得到數(shù)學模型如下：

其中：xj 和x* j 分別是x 和x* 的第j 維分量，ubj 和lbj 分別是決策變量的第j 維分量?；谕哥R成像的反向學習策略雖然極大地提高了算法的求解精度，但是無法直接判斷生成的新反向個體是否優(yōu)于原始個體，因此引入貪心機制比較新舊個體的適應度值，從而篩選出最優(yōu)個體。該方法可以不斷獲得更好的解，提高了算法的尋優(yōu)能力。貪婪機制的數(shù)學模型描述如下：

2 算法描述（Algorithm description）

改進的灰狼優(yōu)化（ALGWO）算法由算術優(yōu)化算法的乘除算子和利用基于透鏡成像的反向學習策略構成，其中反向學習模塊被用于提高最優(yōu)個體的多樣性，增強算法的全局探索能力。ALGWO算法實現(xiàn)流程圖如圖2所示。

結合圖2，可將ALGWO算法描述如下。

步驟1：隨機初始化狼群所有個體的位置信息、最大迭代數(shù)和維度。

步驟2：計算每一頭狼的適應度值，并對其進行排序，將適應度值排在前3的個體分別設定為α 狼、β 狼、δ 狼，并保存當前最優(yōu)的位置信息。

步驟3：執(zhí)行基于透鏡成像的反向學習策略和算術乘除運算符策略依次對種群中每個個體的位置信息進行更新。

步驟4：針對每個個體更新后的位置信息，重新進行適應度值的計算，根據(jù)新的適應度值的大小更新α 狼、β 狼、δ 狼的位置信息以及歷史最優(yōu)的位置信息，更新狼群的位置信息。

步驟5：根據(jù)迭代的次數(shù)重復“步驟3”至“步驟5”，當達到最大迭代次數(shù)時，停止迭代過程，輸出歷史最優(yōu)的位置信息，該位置信息為算法優(yōu)化后獲得的最優(yōu)解。

3 仿真實驗分析（Simulation experiment analysis）

3.1 實驗環(huán)境及參數(shù)設置

所提算法在Intel （R） Core （TM） i5-9400F CPU、2.50 GHz頻率、16 GB內存和Windows 10 （64 bit）操作系統(tǒng)上進行仿真實驗。編程軟件為Matlab R2018a。表1展示了CEC2014標準測試集中30個基準測試函數(shù)的基本信息，CEC2014標準測試集共有30個單目標測試函數(shù)，每個測試函數(shù)可選擇的維度分別為10維、30維、50維、100維。該標準測試集也是應用最廣泛的測試集之一，表2展示了算法的參數(shù)設置。

3.2 算法性能對比分析

為進一步驗證改進的灰狼優(yōu)化算法計算復雜特征問題的有效性和穩(wěn)定性，使用30個具有復雜特征的CEC2014基準測試函數(shù)進行優(yōu)化求解。函數(shù)類型包括單峰函數(shù)、多峰函數(shù)、混合函數(shù)和復合函數(shù)。將改進的灰狼優(yōu)化算法與灰狼優(yōu)化算法、正余弦優(yōu)化算法、黑猩猩優(yōu)化算法、鯨魚優(yōu)化算法4種算法進行比較。為保證實驗的公平性，將空間維度設置為30，最大迭代次數(shù)為1 000次。每個算法獨立運行30次，CEC2014基準測試函數(shù)的優(yōu)化結果比較如表3所示。

表3中加粗顯示的數(shù)值是表中每一行中最小的值，表明相關方法在對應索引的情況下表現(xiàn)良好。從優(yōu)化質量和搜索穩(wěn)定性兩個方面比較了灰狼優(yōu)化算法和改進的灰狼優(yōu)化算法的性能特點，特別是在CEC06、CEC07、CEC12、CEC13和CEC14基準測試函數(shù)上，ALGWO 算法基本收斂到理論最優(yōu)值。在CEC02和CEC26基準測試函數(shù)上，ALGWO的表現(xiàn)略遜于灰狼優(yōu)化算法。由于融合兩種策略需要較多的計算量，導致收斂精度降低。由表3可知，相比灰狼優(yōu)化算法、正余弦優(yōu)化算法、黑猩猩優(yōu)化算法及鯨魚優(yōu)化算法，改進的灰狼優(yōu)化算法依次獲得28、28、28、28個最小均值，改進的灰狼優(yōu)化算法與以上4種算法相比占有絕對優(yōu)勢，其求解質量優(yōu)勢也較為明顯。在CEC2014標準測試集中的驗證結果表明，改進的灰狼優(yōu)化算法在求解質量以及普適性方面占有一定的優(yōu)勢。

4 結論（Conclusion）

本文提出了一種改進的灰狼優(yōu)化算法，該算法針對原始灰狼優(yōu)化算法基于算術運算和透鏡成像學習策略，將修正反向學習策略與透鏡成像學習策略和乘除算子策略相結合，在增強最優(yōu)個體的多樣性的同時，提高了算法的全局探索能力，并提高了收斂速度。在CEC2014標準測試集中30個基準測試函數(shù)上進行測試，并與其他元啟發(fā)式算法進行性能比較分析。實驗結果表明，改進的灰狼優(yōu)化算法比其他算法具有更好的穩(wěn)定性和尋優(yōu)性能。未來，將使用改進的灰狼優(yōu)化算法解決更多復雜的實際應用問題。

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作者簡介：

王 恒（1985-），男，碩士，講師。研究領域：智能計算與混合系統(tǒng)，人工智能。本文通信作者。

楊 婷（1995-），女，本科，講師。研究領域：人工智能，深度學習。

郭俊亮（1987-），男，碩士，副教授。研究領域：機器學習與人工智能，深度學習。

基金項目：銅仁市科學技術局基礎科學研究項目[銅市科研（2022）72號]