［ 關(guān)鍵詞 ］ 漸進式教學；數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”；數(shù)學活動；數(shù)形結(jié)合

教學怪象思考

當下數(shù)學課堂教學出現(xiàn)一種怪象：各類“高效課堂”大行其道，“大容量、快節(jié)奏”的教學模式備受吹捧，這種追求效率，把速度置頂，不惜一切代價提升學生的分數(shù)，把追求課堂知識容量和強化解題能力訓(xùn)練當作數(shù)學課堂教學的終極目標的做法，其實折射出人們對教育功利的渴望與躁動.這種以追求效率為目的的課堂教學模式，忽視對數(shù)學教育本質(zhì)的關(guān)注，單就一節(jié)課而言，學生掌握具體知識的容量與速度是高效的，但可能會造成學生掌握了具體知識，卻不知道知識形成的來龍去脈；獲得了知識，卻缺乏探索知識的豐富體驗；掌握了解題方法，卻不能理解背后的原因和道理，不利于學生的長遠發(fā)展.

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，應(yīng)努力促使學生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情景所蘊含的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學‘再發(fā)現(xiàn)’的過程”. 我們主張用“漸進式”“再發(fā)現(xiàn)”的教學方式放慢課堂節(jié)奏，拉長思維過程，充分展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展的思維歷程，在過程中逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

“漸進式”教學方式的教學設(shè)計，是從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)計由淺入深一系列數(shù)學活動，提出一串步步逼近知識本原的問題，促使學生自發(fā)思考、主動探究，重現(xiàn)數(shù)學家思維活動的教學設(shè)計.所謂數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”，是指通過教學情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學生模擬或仿照數(shù)學家的思考方式，主動地、自發(fā)地探究出相應(yīng)的數(shù)學概念、數(shù)學原理等，數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”可以基于數(shù)學概念的生成過程、數(shù)學原理的揭示過程、數(shù)學問題的探索過程、小結(jié)反思的拓展延伸過程等.更一般地，探索與發(fā)現(xiàn)應(yīng)伴隨數(shù)學學習的全過程.

教學內(nèi)容分析

函數(shù)是初中數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”板塊的核心知識，一次函數(shù)作為最簡單的函數(shù)，對八年級學生而言還是有一定的難度，特別是從數(shù)形結(jié)合的視角來研究函數(shù)，更是一大難點.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中有較集中的體現(xiàn)，然而實際教學中往往存有“教師講完一個問題后告訴學生這是數(shù)形結(jié)合”的窘境.因此在教學過程中教師務(wù)必要讓學生感受到：當函數(shù)圖象沒有數(shù)值支撐，只能進行定性分析時，難以進行定量探索；當只有幾對數(shù)值而缺少圖象時，則難以直觀感受變化趨勢.教學中，我們主張鼓勵學生自主提問，通過循序漸進式的數(shù)學活動，讓學生對一次函數(shù)從數(shù)與形兩個角度進行數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”，在過程中內(nèi)化數(shù)學知識之間的聯(lián)系，自然感悟數(shù)形結(jié)合的重要性，從而體會函數(shù)問題的一般研究觀念.

本文的作者之一在參加本區(qū)域?qū)W科骨干教師評選過程中作了一節(jié)一次函數(shù)的復(fù)習課教學展示，課堂取得了較好的效果并得到評委的廣泛好評.其具體教學思路及教學流程如圖1．

教學片段呈現(xiàn)

1. 以形悟數(shù)

問題1 從圖2你可以得到直線l1所對應(yīng)的函數(shù)有哪些特征？

問題2 平面直角坐標系中的所有直線都是一次函數(shù)的圖象嗎？

問題3 如果直線l1的解析式為y1=k1x+b1， 你還能得到它的哪些性質(zhì)？

問題4 你能確定直線l1的解析式嗎？為什么？

評析 上述通過漸進的問題串復(fù)習一次函數(shù)的相關(guān)概念、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).問題4的設(shè)置讓學生認識到僅有函數(shù)大致圖象只能定性研究，難以開展定量研究，能潛移默化地讓學生認識到“形”的局限性：只借助函數(shù)圖象不能得到函數(shù)表達式，只依靠圖象難以展開函數(shù)問題的進一步研究，還需借助代數(shù)計算. 此環(huán)節(jié)能讓學生初步感悟“形少數(shù)時難入微”，實現(xiàn)一次函數(shù)微觀性質(zhì)探求的第一輪 “再發(fā)現(xiàn)”.

2. 以數(shù)輔形

問題5 如圖3，當直線l1 與x軸交于點A （-1，0），與y 軸交于點B （0，4） 時，直線l1的函數(shù)表達式可以確定嗎？

追問：為什么知道兩點坐標就可以確定直線解析式呢？

問題6 根據(jù)函數(shù)的圖象與解析式，你還可以提出哪些問題？

生成1：當x=1時，求y的值.

生成2：當y=1時，求x的值.

生成3：求S的值.

生成4： 求不等式k1x+b1>0 的解集.

生成5：當k1x+b1>2時，求x 的取值范圍.

生成6：當-1

生成7：當-1

生成8：將直線AB 繞點A 逆時針旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后的直線解析式.

……

評析 在圖2 基礎(chǔ)上已知直線上兩點坐標，可以進行定量研究，充分體現(xiàn)“形少數(shù)時難入微”.通過函數(shù)表達式讓學生提問可以讓他們直觀感受到?jīng)]有圖象很難看出函數(shù)的性質(zhì)，研究一次函數(shù)必須要借助圖象.借此能讓學生從形到數(shù)，再由數(shù)到形兩個方面逐漸產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合觀念.同時讓學生自己設(shè)問，互相回答，能提升學生的學習興趣，并且整合所學到的知識，進一步認識到研究一次函數(shù)應(yīng)該從數(shù)和形兩個角度來研究.在這個環(huán)節(jié)生成的問題，教師應(yīng)盡量讓學生自行解決，個別問題甚至可以留在課下解決.開放的課堂是生成的前提，適當?shù)牧舭淄瑯右彩且环N課堂美的體現(xiàn).

3. 數(shù)形結(jié)合

問題7 如圖4，如果我們再加上一條直線l：y=k+b，大家還能提出什么問題？老師先來拋磚引玉：m 的值是多少？

生：m=8.

生成9：當4x+4>k2x+b2，求x 的取值范圍.

生成10： 若直線l2 經(jīng)過點（4，0），求l2的函數(shù)表達式.

生成11：若直線l2經(jīng)過點D （3，0），求S的值.

……

評析 由單個函數(shù)的圖象到兩個函數(shù)的圖象，能讓學生“再發(fā)現(xiàn)”點的坐標與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與不等式的關(guān)系，函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，做到漸進式整合數(shù)學知識.自己設(shè)問，互相回答的方式，能讓學生慢慢將函數(shù)知識系統(tǒng)化，并學會數(shù)學思考，體會到函數(shù)學習過程中數(shù)形結(jié)合能幫助自己發(fā)現(xiàn)函數(shù)更多的性質(zhì).這里教師將課堂還給學生，課堂生成有諸多驚喜.

4. 回歸生活

問題8 大家知道我們學習數(shù)學就是為了解決生活中的實際問題，下面我們來看一下函數(shù)可以幫助我們解決怎樣的問題：小明和小紅分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，設(shè)小明從甲地出發(fā)所用的時間為t （單位：h），小明和小紅到乙地的距離S （單位：km） 和S （單位：km） 與t （單位：h） 之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖5 所示（EF∥x軸），則小明的速度是多少？

生：小明的速度是2 km/h.

問題9 除了這個問題大家還

可以提出哪些問題？

生成12：求直線S2的函數(shù)表達式.

生成13：小紅的速度是多少？

生成14：說說點A，B，C，D的具體含義.

生成15：經(jīng)過2 h，求小明、小紅所在的位置.

生成16：經(jīng)過幾小時，小紅和小明相差2 km？

……

評析 數(shù)學知識的應(yīng)用，不僅來自數(shù)學內(nèi)部，更來自外部的生活實際.學生只有將函數(shù)與生活問題進行關(guān)聯(lián)，才能學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實問題.復(fù)習不能僅是知識的簡單再現(xiàn)，還應(yīng)該將知識進行深化.讓學生將圖象中的各個量的實際意義表述出來，能讓學生進一步提升“用數(shù)學語言表示現(xiàn)實世界”的能力.

教學價值闡釋

1.數(shù)學活動應(yīng)以漸進序列化的形式呈現(xiàn)

學生是數(shù)學學習的主人，是數(shù)學課堂的主體. 如何引導(dǎo)學生以積極的態(tài)度、全身心地投入復(fù)習課堂，是教師的課堂價值所在. 復(fù)習課的目的主要是通過數(shù)學知識的系統(tǒng)性再現(xiàn)，讓學生的思維活動進行更高層次的總結(jié)、概括和歸納. 沒有理念引領(lǐng)的復(fù)習課很容易上成習題課. 將數(shù)學知識、數(shù)學思想等內(nèi)容附著于數(shù)學活動中，無疑是復(fù)習課教學設(shè)計的指導(dǎo)原則. 鑒于此，將知識問題化、問題活動化、活動序列化是激發(fā)學生思維、促使他們數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的有效之舉. 適切的問題、適切的活動不僅有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和探究熱情，而且對于培養(yǎng)學生的數(shù)學學習能力、提升學生的數(shù)學素養(yǎng)也具有“潤物細無聲”的作用.本節(jié)課有許多超出執(zhí)教者預(yù)料的自然生成，便有力地說明了這一點.

2 ．“再發(fā)現(xiàn)”應(yīng)突出教師的主導(dǎo)作用

通過數(shù)學活動引導(dǎo)學生進行數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”，需要教師有較強的課堂駕馭能力.首先，教師應(yīng)基于“理解數(shù)學”，選取恰當?shù)慕虒W素材；其次，教師應(yīng)基于“理解教學”，善于設(shè)計問題和活動；最后，教師應(yīng)具有相當?shù)慕虒W智慧，善于捕捉課堂中轉(zhuǎn)瞬即逝的多種生成［1］，因勢利導(dǎo)，將學生的思維引向深入.當然，作為教者，更應(yīng)該站在系統(tǒng)的高度，及時地進行歸納、概括與整合，還應(yīng)善于“撥亂反正”，使學生的思維沿著預(yù)定的教學目標健康前行.

3. 適時留白給學生自悟的機會

“學之道在于悟，教之道在于度.”數(shù)學問題本質(zhì)上不是教師講明白的，而是學生自己悟明白的.我們對“漸進式”“再發(fā)現(xiàn)”的教學實踐與探索歸根結(jié)底是為學生提供了一個“悟”的契機和平臺——在學生“似懂非懂”之時適當引導(dǎo)點撥，為他們指明正確的方向，此時讓他們“跳一跳，夠得著”就顯得尤為關(guān)鍵了.事無巨細地講解與示范不利于學生思維能力的發(fā)展，容易造成“聽得懂講解卻不會做題”的尷尬.本節(jié)課教師在多處刻意留白就存在這樣的考慮.當然這里需要指出，對于個別有挑戰(zhàn)性的問題，向?qū)W生全面展示研究問題的完整過程也是有必要的.

4．合理利用幾何直觀，感悟函數(shù)問題研究的一般觀念

數(shù)形結(jié)合是對問題既進行幾何直觀的呈現(xiàn)，又進行代數(shù)抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單地代數(shù)問題用幾何方法，或幾何問題用代數(shù)方法.這兩方面不能只是單流向的信息溝通，唯雙流向的信息溝通才是完整的數(shù)形結(jié)合［2］ .而函數(shù)問題正是滲透數(shù)形結(jié)合思想的理想途徑，且在初中階段學習正確的數(shù)形結(jié)合思想，有助于高中解析幾何的學習，能為后續(xù)學習打下堅實的基礎(chǔ).