楊小強(qiáng)

問題教學(xué)法是一種新的教學(xué)方法，有利于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)生動力，化被動為主動，使其整體學(xué)習(xí)效能、自主探究能力得以提升，為教學(xué)工作的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。本文以“基本不等式”為例，基于學(xué)生學(xué)情、教材內(nèi)容設(shè)計教學(xué)過程，重點(diǎn)探討如何運(yùn)用問題發(fā)散學(xué)生思維，促使學(xué)生圍繞問題探究，并在問題解決過程中總結(jié)“基本不等式”的知識點(diǎn)，提高學(xué)生的問題分析、解決能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

一、教材分析

“基本不等式”選自人民教育出版社Ａ版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”第２節(jié)，本節(jié)教學(xué)案例設(shè)計重點(diǎn)集中在基本不等式的“不等式性質(zhì)、求解方法、線性優(yōu)化”三個方面，并要求學(xué)生掌握不等式的論證方法與求解技巧，以問題為引導(dǎo)，培養(yǎng)高中生的思維能力。

二、學(xué)情分析

基于學(xué)情的了解，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，并能夠在問題解析中運(yùn)用不等式性質(zhì)相關(guān)知識點(diǎn)，已經(jīng)初具數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)建模意識。但是部分學(xué)生在不等式知識學(xué)習(xí)過程中，對知識點(diǎn)前后關(guān)系聯(lián)結(jié)、不等式性質(zhì)實(shí)際運(yùn)用存在不足。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)逐步引導(dǎo)，以創(chuàng)設(shè)問題情境的方式，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題展開探究活動，并在此過程中理解基本不等式的內(nèi)涵及應(yīng)用技巧，從而更好地學(xué)習(xí)相關(guān)知識，并且運(yùn)用相關(guān)知識解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的問題，歸納出其中的基本不等式，并且掌握代數(shù)、幾何方法證明。

2.關(guān)注基本不等式的應(yīng)用領(lǐng)域及其取等條件，并且能運(yùn)用基本不等式解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題。

3.培養(yǎng)學(xué)生對問題觀察、分析和證明的能力，提升學(xué)生的抽象歸納與分析、問題求解能力。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法，對基本不等式進(jìn)行深入的認(rèn)識，對其進(jìn)行多視角的論證。

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式及求等的條件。

五、教學(xué)過程

（一）情境導(dǎo)入

母親買了兩個蘋果回家，小明用自己的“玩具秤”稱蘋果的重量，首先將蘋果放入秤中，再放入砝碼讓秤桿保持平衡，此刻稱出的重量是a，但母親說，這是因?yàn)槌拥闹谱鞑粔驕?zhǔn)確，所以秤的左右兩側(cè)具有細(xì)微的差別。然后，小明把蘋果和砝碼互換，之后稱量出的重量為b，為得出最終結(jié)果，再把這兩個分量“平均”，以a+b/2這個數(shù)字來代表蘋果的重量。

教師：閱讀材料之后，你有何感想？

學(xué)生：小明并未認(rèn)知秤桿需要兩面平衡才能準(zhǔn)確地稱量。

教師設(shè)計問題1：蘋果的真正重量是a+b/2？

學(xué)生：蘋果的質(zhì)量其實(shí)為。

教師設(shè)計問題2：接下來你要如何證明呢？

學(xué)生：要探究a+b/2、之間是否是相等的關(guān)系，需要以代入的方式進(jìn)行分析。

（設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)生活情境提高了學(xué)生的探索熱情。在“不合理”的情境下，學(xué)生能夠找到并運(yùn)用原有的物理知識來解答，這讓他們在學(xué)習(xí)中獲得了很大的成就感，并且找到了該節(jié)課程要研究的內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)模型能力。）

（二）以猜測引導(dǎo)學(xué)生探究問題

教師：對特殊值的分析得出的結(jié)果并不是很嚴(yán)密，你能夠?qū)⑦@個問題進(jìn)行嚴(yán)密的論證嗎？

此時教師根據(jù)之前題目的引導(dǎo)讓學(xué)生互相交流，進(jìn)行練習(xí)，并讓學(xué)生總結(jié)解題方法。

學(xué)生1：采用對比方法，但是必須有充分的必要條件，即a，b≥0，以及不等式取等的有效方式。

學(xué)生2：運(yùn)用分析法，求出每個步驟所需要的條件，直到得出明顯的結(jié)論，此時要注意問題的解析方式，并提升分析法的運(yùn)用。

學(xué)生3：選取數(shù)值時，先選擇兩個數(shù)的平方，去掉根號，然后用前面步驟來論證，此為“平方法”。

（設(shè)計意圖：首先，從特殊值出發(fā)得出猜測，此時學(xué)生會產(chǎn)生為何不嚴(yán)密的疑惑，并引起探究的意識。接下來，通過對學(xué)生進(jìn)行不等式的演示，驗(yàn)證學(xué)生對上一節(jié)不等式的理解程度，同時能夠讓他們體會到知識的實(shí)用性。）

（三）用數(shù)形結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想

1.引導(dǎo)學(xué)生思維，強(qiáng)化學(xué)生的探究能力

教師：利用一些特殊替代方法，我們已經(jīng)獲得了基本不等式，那么接下來，是否可以利用不等式的性質(zhì)來導(dǎo)出這個不等式？

學(xué)生：作差法。

教師：很好，那你們有沒有別的辦法？

過了一會兒，還是沒有人回應(yīng)。

教師：通常有兩種方式：一種是從條件中導(dǎo)出結(jié)果，此為“由因?qū)Чā?，也是所謂的“綜合法”；另一種是從結(jié)果中尋找足夠的條件，此為執(zhí)果索因法，也是所謂的分析法。如果能從簡單的條件中導(dǎo)出結(jié)果，我們可以使用綜合方法，而作差法是綜合法中的一種，相反，則使用解析法。

教師：除a，b＞0以外，其他的不等式成立沒有任何條件，因此需要同學(xué)們用分析法來論證。

學(xué)生組內(nèi)討論交流，教師適時引導(dǎo)，合作探索。

學(xué)生：要證明■≥■，則證明a+b≥2■，由不等式的特點(diǎn)可知，證明a+b-2■≥0，也是■-■2≥0。

教師引導(dǎo)學(xué)生展示自己的論證步驟，修改其解題形式。

教師：分析法的重點(diǎn)在于尋找足夠的條件，直到發(fā)現(xiàn)明顯存在的公式為止。

（設(shè)計意圖：在對基本不等式進(jìn)行驗(yàn)證和討論時，教師著重講解分析法，提升學(xué)生對基本不等式知識的理解以及問題解答的能力，并組織學(xué)生了解綜合法和分析法，能夠更加明確地知曉分析法的具體作用，并在此基礎(chǔ)上提升了他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，強(qiáng)化其邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，為之后問題的探索和學(xué)習(xí)提供幫助。）

2.以圖形和案例相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生思維

例題：在圖1中，DC是垂直于△ABD的斜邊AB上的高，垂直于直線AB的點(diǎn)C為垂足，將斜邊AB分為兩個長為a、b的線段，要求學(xué)生找到可以表達(dá)算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的直線段，并用圖形表達(dá)基本不等式。

學(xué)生：在AB邊上，可以把它分為兩個長度是■的直線段。

教師：非常好，在圖2中，將AB的中點(diǎn)設(shè)為O，那么OA=OB≤■，那么，有什么直線可以用來表示幾何平均數(shù)嗎？

學(xué)生互相討論，找出直線段的位置。

學(xué)生：從圖2中可以很容易地看出，■=■，就是DC2=AC×BC，因此，DC=■，高DC的長度代表了幾何平均數(shù)。

教師：怎么解釋？

學(xué)生：在DO的連接線上，DO=■，它還可以代表算術(shù)平均數(shù)。

教師：非常好，根據(jù)直角三角形的特性，我們可以知道，D是在圓周O上，而這個圓周O的半徑為■，如圖3所示。用“幾何畫圖板”來演示點(diǎn)D沿圓的移動，DC＜DO只有當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)O一致，也就是a=b時，才有DC=DO。

教師：經(jīng)過探索，得出用幾何方法來說明基本不等式：圓的半弦長度不能超出其半徑的長度。在此，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)了解為何以■≥■來表達(dá)基本不等式，這種表達(dá)方式具有其獨(dú)特的幾何含義。

（設(shè)計意圖：在引導(dǎo)的過程中，以基本不等式的幾何說明帶領(lǐng)學(xué)生探究知識。高中生可通過觀察圖形中點(diǎn)的運(yùn)動與變化，思考基本不等式問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)空間立體思維，進(jìn)而幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的知識體系，切實(shí)了解基本不等式的求等條件。）

3.運(yùn)用對新知識闡釋，深化學(xué)生對知識的認(rèn)識

教師：你如何理解“基本”這個詞在基本不等式中的意義？

學(xué)生：這應(yīng)該是最容易求得的不等式了吧。

教師：重要不等式是從基本不等式中推導(dǎo)出來的?；静坏仁狡鹆巳齻€作用。第一，這個基本不等式的計算規(guī)則很簡單，左側(cè)使用了加、除，右側(cè)使用到了乘和開方，這兩個最基礎(chǔ)的操作，左側(cè)是算術(shù)平均數(shù)，右側(cè)是幾何平均數(shù)。第二，基本不等式中包含了豐富的代數(shù)、幾何和物理知識，同時包含了現(xiàn)實(shí)的生活環(huán)境，因此可在實(shí)際生活中運(yùn)用基本不等式相關(guān)知識點(diǎn)。第三，對其他均值不等式進(jìn)行形變和擴(kuò)展，從而得到更為復(fù)雜的不等式。

（設(shè)計意圖：從“基本不等式”術(shù)語的意義入手，既能使學(xué)生更好地了解基本不等式的相關(guān)知識，又能使學(xué)生認(rèn)識到，仍有許多不等式知識是建立在基本不等式基礎(chǔ)上的，從而使學(xué)生更加關(guān)注此類知識。）

4.引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式

教師：同學(xué)們，我們在進(jìn)行解答的過程中需要注意重要不等式和基本不等式的運(yùn)用情況，對于題目解析時是否適用基本不等式進(jìn)行分析。那讓我們來分析一下，怎樣才能更好地理解當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，其中的等號成立？

學(xué)生：使用的條件是a，b＞0，“當(dāng)且僅當(dāng)”指的是“充要條件”。

教師：能不能給我講講？

學(xué)生：這句話的含義是a=b時（取等號）的充分必要條件。

教師：說得好，“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”是“a=b時取等號，且只有a=b時取等號”。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生更好地了解不等式的內(nèi)容，并把握基本不等式在實(shí)際運(yùn)用過程中需要的條件和取等條件，以促使學(xué)生在日后學(xué)習(xí)中能夠更好地將此類知識運(yùn)用到實(shí)際問題解析，并在此過程中，訓(xùn)練學(xué)生思考深度。）

5.運(yùn)用所學(xué)知識，加強(qiáng)知識的運(yùn)用

假設(shè)：x＞0，則求x+■的最小值，如果x＞0，可以得到x+■的極小值。變式：如果用“x∈R且x≠0”來代替“x≥0”，會發(fā)生什么？

此時教師可以讓兩名學(xué)生把假設(shè)與變式中提到的條件書寫在黑板上，剩下的學(xué)生用草稿紙做出來。

（設(shè)計意圖：利用問題引導(dǎo)學(xué)生完成例題分析，幫助學(xué)生對基本不等式的適用條件、取等條件做出適當(dāng)取舍，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)研究能力，在思維轉(zhuǎn)換過程中加深知識學(xué)習(xí)印象，強(qiáng)化數(shù)學(xué)邏輯思維能力。）

六、教學(xué)反思

首先，以師生互動形式總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，更利于加深學(xué)生課堂學(xué)習(xí)印象。問題教學(xué)法融合課堂，可以讓高中生全程帶著探索心理參與學(xué)習(xí)活動，提升課堂的活躍性和積極性，并以獨(dú)立思考和合作探討的方式提升學(xué)科素養(yǎng)。

其次，采用情境導(dǎo)入、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)手段輔助授課，更利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，讓其通過“數(shù)”與“形”的論證過程，結(jié)合實(shí)例，歸納出基本不等式求極值的辦法，以課堂實(shí)踐活動為載體，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

總之，問題式教學(xué)模式是一種符合現(xiàn)代教育理念的有效教學(xué)形態(tài)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師應(yīng)充分認(rèn)識其重要性，并在教學(xué)中優(yōu)化問題式教學(xué)模式。基于高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容、學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，科學(xué)、合理地設(shè)計問題式教學(xué)活動，增強(qiáng)學(xué)生課堂參與性的同時，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，為培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和綜合素質(zhì)的現(xiàn)代人才貢獻(xiàn)力量。

（作者單位：陜西省安康市漢濱區(qū)漢濱高級中學(xué)）

編輯：溫雪蓮