高翠

平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的“橋梁”，它既可以將幾何問題代數(shù)化，也可以將代數(shù)問題幾何化．抽象的代數(shù)思維、形象的幾何圖形，被向量這一重要紐帶結(jié)合到了一起.這為解決相關(guān)平面向量問題提供了更為廣闊的空間．本文從“數(shù)”和“形”兩大方面通過分析、提煉平面向量的幾種解題策略，為學(xué)生指明解題方向、優(yōu)化解題過程、提高解題效率，供讀者參考．

1．平面向量問題的基底化

圖1

基底化關(guān)鍵就是根據(jù)平面向量的基本定理選好基向量，如果在平面上能夠找到一組向量，其模和夾角都能確定或者部分確定，則該平面內(nèi)向量的基本運(yùn)算都可以通過這一組基底來實(shí)現(xiàn)．

例1? 在直角三角形ABC中，∠C=π2，AC=3，取點(diǎn)D，E，使得BD=2DA，AB=3BE，那么CD·CA+CE·CA=（? ）.

A．－6? B．6

C．－3? D．3

解析：如圖1所示，CD=CA+AD=CA+13·AB=CA+13（CB－CA）=23CA+13CB，所以CD·CA=（23CA+13CB）·CA=23CA2=6．

同理CE=CB+BE=CB+13AB=CB+13（CB－CA）=43CB-13CA，則CE·CA=（43CB－13CA）·CA=－3，故CD·CA+CE·CA=3，故選D．

評(píng)注：將平面向量表示成一組基底的線性組合，也是向量數(shù)量積的基本策略．本題中雖然不知道|CB|，但由于有垂直關(guān)系，所以結(jié)果與|CB|無關(guān)．

2．平面向量問題的坐標(biāo)化

由于平面向量既具有代數(shù)的特征，又具有幾何的特征，故很多向量題，通過巧妙建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)建代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，實(shí)現(xiàn)以形思數(shù)，以數(shù)解形．這是平面向量問題的坐標(biāo)意識(shí)，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想．

圖2

例2? 如圖2，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)B，C分別在x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則OA·OM的最大值為??? ?．

解析：如圖2，設(shè)∠CBO=θ，則在Rt△CBO中，CB=2，OB=2cosθ，OC=2sinθ，即B（2cosθ，0），∠ACO=∠BCO+∠ACB=（90°－θ）+60°=150°－θ，則∠ACy=30°+θ，故xA=2sin（30°+θ）=cosθ+3sinθ，yA=yC+2cos（30°+θ）=2sinθ+2cos（30°+θ）=sinθ+3cosθ，從而可以得出A點(diǎn)的坐標(biāo)A（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），又M為AB的中點(diǎn)，所以M（32cosθ+32sinθ，12sinθ+32cosθ），則OA·OM=3cos2θ+33sinθcosθ+2sin2θ=2+cos2θ+33sinθcosθ

=52+332sin2θ+12cos2θ=52+7sin（2θ+φ），其中φ為銳角，且tanφ=39，所以O(shè)A·OM的最大值為52+7．

評(píng)注：凡是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起了角度的變化，或者動(dòng)點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，均可引入角度參數(shù)，將角度作為自變量，通過函數(shù)思想來解決向量數(shù)量積的最值問題和范圍問題．

3．平面向量問題的共線化

向量的共線化方法就是利用平面上三點(diǎn)共線的向量表示法，即將同一個(gè)平面向量通過兩種不同的方式表示成同一組基底的線性關(guān)系，由于基底相同，則其表示法是唯一的，便可得到基底的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．三點(diǎn)共線的關(guān)系可以用平面向量基本定理表示，即OA=λOB+（1－λ）OC，同一向量與不同的三點(diǎn)共線有兩種表示形式；或者是一個(gè)用OA=λOB+（1－λ）OC，另一個(gè)用AB=μAC，最終都表示成同一組基底的形式．

圖3

例3? 如圖3，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，BE=3EC，AF=2FD，AE與BF交于點(diǎn)O，則 AO=（? ?）.

A．37AB+47BC? B．47AB+37BC

C．45AB+35BC? D．27AB+37BC

解析：如圖3，因?yàn)锳E=AB+BE=AB+34BC，又A，O，E三點(diǎn)共線，設(shè)AO=λAE=λ（AB+34·BC）=λAB+3λ4BC，因?yàn)锳D=AB+BC+CD=AB+BC－12AB=12AB+BC，所以AF=23AD=23（12AB+BC）=13AB+23BC，又B，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)μ使得AO=μAF+（1－μ）AB=μ（13AB+23BC）+（1－μ）AB=（1－2μ3）AB+2μ3BC，由于向量AO在基底{AB，AC}的表示下結(jié)果是唯一的，于是λAB+3λ4BC=（1－2μ3）AB+2μ3BC，所以λ=1－2μ3，

3λ4=2μ3， 解得λ=47，

μ=914， 所以AO=47AB+37BC，故選B．

評(píng)注：對(duì)于圖形中的交點(diǎn)問題，一般不少于兩種選擇，一是A，O，E三點(diǎn)共線，利用共線向量定理得出AO=λAE，再將AE用基底{AB，AC}表示；二是B，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，利用平面向量基本定理得AO=μAF+（1－μ）AB，根據(jù)表示的唯一性，即可突破問題的瓶頸．

4．平面向量問題的數(shù)量化

所謂數(shù)量化策略，是指在解決由基底表示的向量的系數(shù)問題時(shí)，把題目中的等式兩邊施加恰當(dāng)?shù)臄?shù)量積運(yùn)算，使向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為純數(shù)量運(yùn)算的方法．通過數(shù)量化后可只關(guān)注圖形的幾何特征，利用解三角形的方法把向量運(yùn)算完全代數(shù)化．

例4? 已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角A=π3，O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足|OA|=|OB|=|OC|，設(shè)AO=mAB+nAC，則m+n的最大值為（? ）.

A．23? B．1? C．43? D．2

圖4

解析：如圖4所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB，易知AD=DB，在△AOD中，ADAO=cos∠OAD，所以AO=AB2cos∠OAD，

則AO·AB=|AO|·|AB|cos∠OAD=12|AB|2=12c2，

同理AO·AC=12b2，又AB·AO=mAB2+nAB·AC=mc2+12nbc，

AC·AO=mAC·AB+nAC2=12mbc+nb2，

所以12c2=mc2+12nbc，

12b2=12mbc+nb2， 化簡(jiǎn)得m=23－b3c，

n=23－c3b， 即m+n=43－13（bc+cb）≤23，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，故選A．

評(píng)注：對(duì)于形如AO=mAB+nAC的結(jié)構(gòu)，如果AO，AB，AC的?；蛘邐A角已知，或者部分條件已知，則將向量數(shù)量化是一種有效的策略．當(dāng)然，在問題的處理過程中會(huì)出現(xiàn)一些參數(shù)，這要看問題指向的目標(biāo)，如果是求最值或者是求范圍，這些參數(shù)正好可以作為函數(shù)的自變量，如果是求值，則自然要消去這些參數(shù)．

5．平面向量問題的特殊化

所謂特殊化策略，就是把問題轉(zhuǎn)化為特殊形式，通過對(duì)特殊形式的研究，去獲取或探尋解決原問題的思路與方法．

例5? 若向量，，滿足||=4，||=22，與的夾角為π4，且（－）·（－）=－1，則|－|的最大值為????? ?．

解析：設(shè)=（x，y），=（4，0），由于與的夾角為π4，所以=（2，2），由（－）·（－）=－1（x－4，y）·（x－2，y－2）=－1（x－3）2+（y－1）2=1，|－|=（x－4）2+y2可看成是圓（x－3）2+（y－1）2=1上任意一點(diǎn)與點(diǎn)（4，0）之間的距離，所以|－|max=（4－3）2+（0－1）2+1=2+1．

評(píng)注：本題中a與b向量不僅模是確定的，夾角也是確定的，所以這兩個(gè)向量已經(jīng)相對(duì)固定，從而可以特殊處理．特殊化后再坐標(biāo)化在向量運(yùn)算中可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化的目的．若||=1，則可設(shè)=（1，0）或=（0，1）或=（cosθ，sinθ）等等，以簡(jiǎn)化運(yùn)算．

6．平面向量問題的圖形化

所謂向量的圖形化方法，就是利用圖形的幾何特征，將要解決的向量問題體現(xiàn)在圖形的某種特征上．如向量的模即為兩點(diǎn)之間的距離，當(dāng)相應(yīng)的兩點(diǎn)在某個(gè)特別的圖形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，距離就有了一定的范圍，這樣距離的最值或范圍就易于解決．

例6? 已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足（－）·（－）=0，則||的最大值為（? ?）.

A．1? B．2? C．2? D．22

圖5

解析：如圖5所示，設(shè)OA=，OB=，OC=，因?yàn)椋莾蓚€(gè)互相垂直的單位向量，所以△ABO為直角三角形，且|OA|=|OB|=1，|AB|=2，

又因?yàn)椋c－也是兩個(gè)互相垂直的向量，

且CA=OA－OC=－，CB=OB－OC=－，

所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓，故點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，則0≤||≤2，

所以||max=2，故選C．

評(píng)注：向量中的垂直大多可以與直角三角形的外接圓建立聯(lián)系，所以，以O(shè)A，OB為直角邊構(gòu)造直角三角形，則O，A，B三點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，再通過直觀的圖形使解題簡(jiǎn)單化．

7．平面向量問題的重構(gòu)化

在解一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果能夠重構(gòu)數(shù)學(xué)問題的已知條件，將它建成另一個(gè)模型，使之成為一個(gè)全新的問題，那么就可以用全新問題的模型來解題．

例7? 已知||=1，|2+|=2，則|5－4b|的取值范圍是??? ?．

解析：令2+=，則=－2，所以|5－4|=|5－4+8|=|13－4|，又|13||－4|||≤|13－4|≤13||+4||，因?yàn)閨|=1，||=|2+|=2，所以5≤|5－4|≤21，故|5－4|的取值范圍是［5，21］．

評(píng)注：由于向量與2+的模已知，所以擬用向量與2+表示向量5－4，顯然直接表示有困難，于是聯(lián)想重構(gòu)向量基底，令2a+=，用與表示5－4，再利用絕對(duì)值三角不等式，使問題迎刃而解．

綜上，平面向量的求解策略還有很多，本文例析的只是一些常用的基本方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必須掌握的．經(jīng)過以上分析可知，平面向量基本定理是在向量知識(shí)體系中占有核心地位的定理，通過平面向量基本定理的輻射作用，在求解平面向量問題時(shí)，要樹立“基底意識(shí)”與“坐標(biāo)意識(shí)”．因此，我們?cè)诎严蛄康乃枷肱c方法傳授給學(xué)生時(shí)，不能夠只浮于解題之上，而忽略對(duì)向量思想與方法的理解．