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        一道圓錐曲線(xiàn)題解法賞析

        2024-05-29 14:56:08呂小娟
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年5期
        關(guān)鍵詞:雙根聯(lián)立方程韋達(dá)

        呂小娟

        題目? 已知等軸雙曲線(xiàn)C:x2-y2=2,其左,右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)2,0的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于D,E兩點(diǎn)(不與A,B重合),直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BE的交點(diǎn)為P,證明:點(diǎn)P在定直線(xiàn)上,并求出該定直線(xiàn)的方程.

        圖1

        解法1:如圖1,當(dāng)直線(xiàn)DE的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)DE的方程為y=kx-2,Dx1,y1,Ex2,y2,聯(lián)立方程y=kx-2,

        x22-y22=1, 消去y得k2-1x2-4k2x+4k2+2=0,

        則k≠±1,且Δ=16k4-4k2-14k2+2=8k2+8>0,可得x1+x2=4k2k2-1,x1x2=4k2+2k2-1,

        直線(xiàn)AD的方程為y=y1x1+2x+2,直線(xiàn)BE的方程為y=y2x2-2x-2,

        點(diǎn)P是直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BE的交點(diǎn),則y2x2-2x-2=y1x1+2x+2,

        所以x-2x+2=x1-2x2-2x2-2x1+2=x1x2-2x1-2x2+22x1x2-2x1+2x2-22=x1x2-2x1+x2+22+2-2x2x1x2-2x1+x2-22+2+2x2=4k2+2k2-1-2×4k2k2-1+22+2-2x24k2+2k2-1-2×4k2k2-1-22+2+2x2=1-21+2,解得x=1;當(dāng)直線(xiàn)DE的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)DE的方程為x=2,不妨設(shè)D2,2,E2,-2,所以直線(xiàn)AD的方程為y=22+2x+2,直線(xiàn)BE的方程為y=-22-2x-2,點(diǎn)P是直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BE的交點(diǎn),所以22+2x+2=-22-2x-2,解得x=1.綜上所述,點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=1上.

        解法2:設(shè)l:x=my+2,Dx1,y1,Ex2,y2,∴AD:x=x1+2y1y-2,x21-y21=2,BE:x=x2-2y2y+2,x22-y22=2. 此時(shí)若簡(jiǎn)單聯(lián)立,將出現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)的韋達(dá)形式. 分析原因在于2和-2有區(qū)別,考慮消除區(qū)別. AD:x+2=x1+2y1y, BE:x-2=x2-2y2y. 此時(shí)y系數(shù)仍不同,再分析2與2的特殊關(guān)系,以及次數(shù)狀態(tài). 聯(lián)立兩式平方得x + 2x-22 = x1? + 22y1 2 · y2 2x2 -22 = x1? + 22x1 2-2 · x2 2-2x2 -22 = x1? + 2x2? + 2x1 -2x2 -2.

        形成了標(biāo)準(zhǔn)韋達(dá)形式,所以x+2x-22=x1x2+2x1+x2+2x1x2-2x1+x2+2=-4-2m2m2-1+2·-4m2-1+2-4-2m2m2-1-2·-4m2-1+2=-6-42-6+42

        =3+223-22=3+222,依題意得x<2, x+22-x=3+22x=1.

        解法3:DE不過(guò)-2,0, 設(shè)DE:mx+2+ny=1, 又∵x2-y2=2x+2-22-y2=2, x+22-22x+2-y2=0. 聯(lián)立上兩式得x+22-22x+2mx+2+ny-y2=0

        x+22-22mx+22-22x+2ny-y2=01-22mx+22-22nx+2y-y2=01-22m-22nyx+2-yx+22=0.∴kAD·kAE=22m-1.而DE:mx+2+ny=1過(guò)2,0.

        ∴m=12+2kAD·kAE=222+2-1=2-22+2=22-3,

        而由于A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),E在雙曲線(xiàn)上,所以kAE·kBE=22=1, kADkBE=22-3kPAkPB=22-3.設(shè)動(dòng)點(diǎn)ps,t, 則t-0s+2t-0s-2=22-3s-2s+2=22-3s=1,所以P在定直線(xiàn)x=1上.

        解法4:設(shè) l:y=kx-2,D(x1,y1),E(x2,y2),A-2,0,B2,0,由D在雙曲線(xiàn)上可得x21-y21=2,可變形為x1-2y1=y1x1+2①.

        聯(lián)立方程y=kx-2,

        x2-y2=2 消去y得k2-1x2-4k2x+4k2+2=0k≠±1②.

        由于x1,x2為方程兩根,則(k2-1)(x-x1)(x-x2)=k2-1x2-4k2x+4k2+2.直線(xiàn)AD的方程為y=y1x1+2x+2=x1-2y1x+2,直線(xiàn)BE的方程為y=y2x2-2x-2,聯(lián)立得x-2x+2=x2-2x1-2y1y2=x2-2x1-2k2x1-2x2-2,在②式中令x=2,則x1-2x2-2=6-42k2k2-1,令x=2,則x1-2x2-2=-2k2k2-1. ∴x-2x+2=22-3,解得x=1.

        針對(duì)本題,上文給出了四種解法,法1為通法,反映了解幾問(wèn)題求解的一般方法,其思路清晰,但計(jì)算量偏大;而法2至法4屬優(yōu)解,解法中充分考慮到問(wèn)題條件中的“量”與“式”的關(guān)系,并由此構(gòu)造出“韋達(dá)標(biāo)準(zhǔn)式”、“齊次化交點(diǎn)式”及“雙根法”等特殊解法.這些解法大大豐富了解幾問(wèn)題求解的思路和技法,值得大家學(xué)習(xí)研究.

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