柳雙 吳立寶

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念之一，是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的利器，更是數(shù)形結合思想的重要載體，在解決實際問題中發(fā)揮關鍵作用.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“課標”）在明確課程基本理念中強調突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法.［1］高中數(shù)學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程，課程內容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模與數(shù)學探究活動四條主線.函數(shù)主線主要分布在必修與選擇性必修課程中，包括必修課程的預備知識、函數(shù)的概念與性質、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的應用，選擇性必修課程的數(shù)列、一元函數(shù)導數(shù)及其應用.但選擇性必修課程函數(shù)主線內容與必修課程函數(shù)主線內容在教材編排上處于分割狀，數(shù)列、導數(shù)兩個單元在教學過程中易與函數(shù)主線脫節(jié)，教師不重視其中的連貫性，學生難以將數(shù)列、導數(shù)與必修課程所學函數(shù)內容聯(lián)系起來.基于此，本文深入挖掘函數(shù)主線，進一步聯(lián)結必修與選擇性必須課程內容，明晰選擇性必修課程內容與整個函數(shù)主線的聯(lián)系，同時以數(shù)列單元為例進行函數(shù)主線分析，充實選擇性必修課程函數(shù)部分的案例分析研究.

一、函數(shù)主線結構

站在高中數(shù)學課程整體角度上來明晰函數(shù)主線結構，認識數(shù)學知識邏輯發(fā)展，挖掘其中滲透的數(shù)學思想方法，理解數(shù)學活動的設計編排意圖，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)，這是教師整體規(guī)劃函數(shù)教學不可或缺的一步.參照中學數(shù)學教學內容主線分析的結構，函數(shù)主線分為知識線、活動線、思想方法線、素養(yǎng)線.［2］知識線是教學的根源，活動線依附于知識線，將靜態(tài)的數(shù)學知識轉化為動態(tài)的數(shù)學活動，思想方法線與素養(yǎng)線是數(shù)學教學的內隱本質，跟隨知識與活動連續(xù)進階，最終發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).

從知識線分析函數(shù)，按照知識發(fā)生發(fā)展的過程，剖析函數(shù)內容的知識結構、邏輯關聯(lián)、本質內涵，從宏觀和微觀兩個角度入手，讓學生的認識在整體形成與局部聯(lián)系中逐步結構化并螺旋上升.宏觀上用十字模型，將函數(shù)產生的背景、函數(shù)概念與性質、函數(shù)模型橫向連接，將函數(shù)的應用、研究函數(shù)的工具（方法）與函數(shù)性質縱向連接.函數(shù)主線的主體部分由函數(shù)概念、函數(shù)表示和函數(shù)性質組成，因生活生產需要根據(jù)函數(shù)主體構建多種函數(shù)模型，在研究函數(shù)中需要借助其他主線知識作為工具，同時將函數(shù)主線應用到其他主線之中.微觀上通過梳理高中數(shù)學課程中有關函數(shù)的知識點、思想方法等，尋找知識點之間的關聯(lián)，總結其知識結構，最終確定宏觀結構中每個部分的微觀結構.函數(shù)概念從“刻畫變量之間依賴關系的數(shù)學語言和工具”（變量說）進一步抽象到“實數(shù)集合之間的對應關系”（對應關系說），在研究函數(shù)中需要借助代數(shù)運算作為基礎工具、導數(shù)作為分析函數(shù)性質的工具，函數(shù)可以看作數(shù)形結合的載體之一，解析幾何、平面向量幾何也可以看成研究函數(shù)的工具，如圖1.

站在教師教的角度來看，活動線是知識線的活動載體；站在學生學的角度來看，知識線是活動線的內容根基.基于此，函數(shù)主線的活動線主要體現(xiàn)在教材編排結構和教學設計上.教材中函數(shù)內容的發(fā)展主線由“函數(shù)定義—函數(shù)性質（奇偶性、單調性、最值）—基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）—函數(shù)的應用（解方程、建模）—三角函數(shù)—數(shù)列—一元函數(shù)的導數(shù)”展開，教師根據(jù)教材編排順序，分析靜態(tài)的知識線，優(yōu)化教學設計，學生通過活動直接體驗在“做”中感悟習得數(shù)學知識.函數(shù)主線中蘊含著重要的思想方法，函數(shù)圖象與代數(shù)運算相結合的數(shù)形結合思想，證明數(shù)列簡單命題的數(shù)學歸納法，在導數(shù)概念形成中體會極限思想，以及函數(shù)應用的二分法和模型思想等.數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展建立在數(shù)學知識的不斷積累、數(shù)學活動的親身經歷、數(shù)學思想方法的感悟理解上，是數(shù)學教育的育人目標.在知識線和思想方法線的梳理中不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)主線的學習重點是提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

二、選擇性必修課程函數(shù)主線分析要點

梳理選擇性必修課程函數(shù)主線分析需要附著的要點，確定分析角度、找準找全聯(lián)結點、厘清單元微觀結構，以期突破函數(shù)主線分析現(xiàn)有的圍欄.

1.確定分析角度

對現(xiàn)行人民教育出版社A版（下文簡稱“人教A版”）與北京師范大學出版社（下文簡稱“北師大版”）選擇性必修教材內容進行比較分析，對比兩版教材的章前引入、數(shù)列概念、導數(shù)概念、數(shù)列性質等部分，明確不同版教材對于函數(shù)模型的學習以及應用的基本過程，把握核心重點，如表1，從中發(fā)現(xiàn)核心概念的獲得過程、知識內部的推理發(fā)展，其中蘊含的思想方法，進而凸顯的育人價值極為關鍵.延續(xù)函數(shù)主線“知識線、活動線、思想方法線與素養(yǎng)線”的四條準繩，可以歸納出選擇性必修課程函數(shù)主線分析要從“知識主線核心概念、知識內部推理發(fā)展、數(shù)學思想方法滲透、知識文化價值體現(xiàn)和應用模型”五角度展開.

2.找準找全聯(lián)結點

依據(jù)高中數(shù)學課程面向全體學生的理念，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.”［1］高中數(shù)學課程被劃分三類，函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動四條主線貫穿于三類課程，故三類課程不是相對孤立的呈現(xiàn)，而是相互聯(lián)系的存在.在選擇性必修課程開始前，學生已通過必修課程的學習，明晰了函數(shù)的概念和性質，總結了研究函數(shù)的基本方法，掌握了一些基本函數(shù)類，探索了函數(shù)的應用.因此，找準找全選擇性必修課程內容與函數(shù)主線主體的聯(lián)結點是有效分析選擇性必修課程函數(shù)主線的前提.在操作上分為三步，首先分析知識主線核心概念的基礎性，概念的邏輯生長點，找到選擇性必修課程函數(shù)知識在函數(shù)主體上的延伸處；其次分析數(shù)學思想方法的滲透，在學生已有的思想方法上繼續(xù)深入拓寬邊界，或者借用已有的函數(shù)思想“生長”出新的思想方法，比如學生已掌握初等函數(shù)模型，再加入特殊函數(shù)模型，實現(xiàn)函數(shù)模型思想方法的進階，在“對數(shù)增長”“知識爆炸”的基礎上體會極限思想.最后，分析知識育人價值的體現(xiàn)，能力和素養(yǎng)目標一般不能通過一節(jié)課的教學來實現(xiàn)，需要一個中長期的培養(yǎng)過程，［3］選擇性必修課程是必修課程的補充和延伸，能力和素養(yǎng)勢必會得到進一步的發(fā)展.

3.厘清單元微觀結構

在分析知識主線核心概念、數(shù)學思想方法滲透、知識育人價值體現(xiàn)，找尋必修課程與選擇性必修課程間聯(lián)結點的過程中，已經確定單元內容的宏觀結構.單元內容微觀結構是指教材中本單元知識的組織安排，知識塊的邏輯發(fā)展順序，思想方法上的縱觀引領，先拆分理解而后全局規(guī)劃.［4］聚焦選擇性必修課程中包含于函數(shù)主線的單元內容知識的微觀結構，對知識的上下位關聯(lián)及知識順序進行梳理，深挖其中蘊含的數(shù)學思想方法.具體操作方法是梳理本單元教材所含的知識點堆積形成知識塊，把握學生學習的重難點、關鍵點，列出學生學習重點知識所需的輔助性知識塊，分析各知識塊之間的關聯(lián)，各知識塊時如何發(fā)生發(fā)展的，總結其知識結構，形成知識塊的網(wǎng)絡結構圖.

三、數(shù)列單元函數(shù)主線分析

數(shù)列作為一種離散函數(shù)是高中數(shù)學的重要研究對象之一，也是函數(shù)主線內容學習的一條支線，數(shù)列研究把研究對象從以往簡單的“數(shù)”的研究延伸到對復雜的“一列數(shù)”的研究，包括研究它們之間的關系、規(guī)律、特征等，是對先前所學連續(xù)函數(shù)模型的延伸，也是后續(xù)深入學習離散函數(shù)的基礎.

1.數(shù)列知識主線核心概念

數(shù)列單元涉及數(shù)列概念、特殊數(shù)列、數(shù)列應用和數(shù)學歸納法等.數(shù)列概念包括數(shù)列、項、首項、通項公式、遞推公式、數(shù)列前n項和等核心概念，是本單元學習的起點.隨后將一般數(shù)列特殊化得到等差數(shù)列和等比數(shù)列，圍繞這兩類特殊數(shù)列探索變化規(guī)律以及在實際問題中的應用.同時，數(shù)列概念、數(shù)列表示、數(shù)列性質、等差數(shù)列、等比數(shù)列等與函數(shù)主線主體關聯(lián)，在其中感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異，了解數(shù)學歸納法并簡單使用數(shù)學歸納法，如圖2.

數(shù)列知識主線的學習具有發(fā)展性.其一，數(shù)列與其他內容主線聯(lián)系的發(fā)展性，數(shù)列屬于函數(shù)主線，與不等式、方程、概率、算法、極限等其他主線知識緊密相關，是將這些內容進行綜合應用的交互點.其二，在數(shù)學思想方法中的發(fā)展性，數(shù)列學習的過程中蘊藏多種數(shù)學思想方法，如函數(shù)與方程、特殊與一般、轉化與化歸等，這些思想方法既是函數(shù)思想的延伸，也為未來學習極限理論奠定基礎.其三，現(xiàn)實生活應用的發(fā)展性，數(shù)列在生活中的應用十分廣泛，如銀行存款、汽車折舊、城市空氣質量指數(shù)等實際問題，利用數(shù)列知識建立數(shù)學模型刻畫其遞推規(guī)律從而解決問題.

2.數(shù)列知識內部推理發(fā)展

通過日常生活和數(shù)學中的實例，掌握數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），理解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的特殊函數(shù)，等差數(shù)列、等比數(shù)列屬于數(shù)列的典型特例.借助情境引入等差數(shù)列，探索發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的通項公式，借高斯算法推廣到等差數(shù)列的前n項和，類比等差數(shù)列通過數(shù)學史問題和生活實例得到等比數(shù)列.

分析數(shù)列知識塊之間的關系.就概念學習，在學習了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法和性質的基礎上學習數(shù)列的概念，明確數(shù)列與函數(shù)的內在聯(lián)系.就簡單性質，了解數(shù)列的幾種簡單表示方法，對比函數(shù)獲得數(shù)列的簡單性質，掌握求數(shù)列通項與圖3數(shù)列知識塊關系圖數(shù)列求和的方式，意在讓學生了解研究數(shù)列的常見思路.就具體特例，等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩類特殊的數(shù)列，具體到探討其通項、性質、前n項和等，通過對這兩類數(shù)列的學習，實現(xiàn)對數(shù)列的深入探討，強調數(shù)列和函數(shù)的內在聯(lián)系，著重類比思想與數(shù)學歸納思想的滲透.就應用部分，數(shù)列是重要模型，其思想滲透在教育儲蓄模型、分期付款模型等現(xiàn)實應用中，如圖3.

3.數(shù)列實際問題應用模型

數(shù)列在現(xiàn)實問題中被廣泛應用，同時也是古老的數(shù)學課題，在《周髀算經》里談到等差數(shù)列的概念，《易傳系辭》里有世界數(shù)學史上等比數(shù)列最早的文字記載.基于PM視角，引導學生提出數(shù)學問題，利用數(shù)學史中的等差數(shù)列求和問題，思考等差數(shù)列求和的通項公式，進行數(shù)學化并建立數(shù)學模型解決問題.利用數(shù)學歸納法，學生將有限數(shù)項通過運算進行數(shù)學表達，最終歸納為數(shù)學公式，再與實際生活相聯(lián)系.將數(shù)學與實際生活以及數(shù)學思想文化結合起來，讓學生感受到數(shù)學概念的形成過程是歷史上真實發(fā)生的，使數(shù)列的學習擁有現(xiàn)實意義.

4.數(shù)列數(shù)學思想方法滲透

數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法.其一函數(shù)思想，認識到數(shù)列是一種特殊的函數(shù).其二方程思想，通常引導學生將等差數(shù)列或等比數(shù)列的5個參量看成是變量，面對“知三求二”的題目建立方程組，求出基本量.其三演繹思想，借助情境引出數(shù)列的相關概念，從一般數(shù)列概念和性質中探索出特殊的兩類數(shù)列的特征和應用意義.其四歸納思想，從高斯算法推廣到一般的等差數(shù)列前n項和公式.其五類比思想，在學習等差數(shù)列的基礎上類比得到等比數(shù)列的概念、性質和應用.其六數(shù)學歸納法，分析多米諾骨牌全部倒下的條件，通過猜想抽象出數(shù)學歸納法的步驟.其七分類討論思想，利用等差數(shù)列的性質，分奇、偶兩種情況解決求數(shù)列前n項和問題.其八數(shù)列求和用到的方法，累加（乘）法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法等.

5.數(shù)列知識育人價值體現(xiàn)

從函數(shù)視角看數(shù)列，數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)間存在關聯(lián)，其中的核心概念和數(shù)學思想方法有內在統(tǒng)一性，學生能逐步體會到研究數(shù)學對象的基本框架和路徑，學習數(shù)學的思維方式，培養(yǎng)理性精神.在等差、等比數(shù)列的學習中，讓學生經歷探索數(shù)列中項的取值規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的性質、應用數(shù)列的性質解決問題的過程，利于學生積累數(shù)學活動經驗，提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.數(shù)學歸納法是一種有力的證明數(shù)學命題的工具，通過其本身及蘊含的數(shù)學思想，有助于培養(yǎng)學生邏輯推理的素養(yǎng).

參考文獻

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［3］ 吳立寶，王雨清.基于UbD的中學數(shù)學單元教學設計［J］.上海中學數(shù)學，2021（Z1）：1-6.

［4］ 吳立寶，劉琦琦，鞏雅楠.數(shù)學單元教學內容分析框架——以圓錐曲線的方程為例［J］.數(shù)學通報，2022，61（10）：16-19+59.