黃婧文

本文將通過三角形的面積公式導出正余弦定理和三角恒等式，過程中并不需要其他新知識作為鋪墊，不但能夠?qū)⒊踔衅矫嫒切魏透咧腥侵R有效的銜接，也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的進入學生視野，以便后期學生學習相關(guān)內(nèi)容時能夠有更深入的認識.

1.正弦定理

若給定ΔABC，∠A、∠B、∠C對邊邊長分別為a、b、c，則asinA=bsinB=csinC.

證明：由S△ABC=12b·csinA=12c·asinB=12a·bsinC，可得sinAa=sinBb=sinCc.

2.余弦定理

若給定ΔABC，∠A、∠B、∠C對邊邊長分別為a、b、c，則c2=a2+b2－2abcosC.

證明：如圖1所示，不妨設C為三個角中的最大角，作∠ACD等于∠B，∠BCE等于∠A，則ΔABC相似于ΔACD和ΔCBE，那么ADAC=ACAB=DCCB，BEBC=BCBA=ECCA.

即ADb=bc=DCa，BEa=ac=ECb，

則AD=b2c，DC=abc，BE=a2c，EC=abc.

顯然，SΔABC=SΔACD+SΔDCE+SΔECB，則S△ABC=12absinC=12b2cabcsinC+12abc·abcsin（π－2π－C）+12a2cabcsinC，

等式兩邊同乘以c212absinC，并用誘導公式可得c2=a2+b2－absin2CsinC=a2+b2－2abcosC.

3.三角恒等式

設α、β是兩個角，則sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面僅證此公式，因為根據(jù)此公式和誘導公式可以推導出其他和角公式、差角公式.

證明：

如圖2，設α、β是兩個角，把α、β兩個角的一邊拼在一起，頂點為O，過點B作OB的垂線，交α另一邊于B，交β另一邊于C，則SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC.

即12|OA|·|OC|sin（α+β）=12|OA||OB|sinα+12|OB|·|OC|sinβ.

而|OB|=|OA|cosα=|OC|cosβ，代入上式得|OA||OC|sin（α+β）=|OA|·|OC|cosβsinα+|OA|cosα|OC|sinβ.

等式兩邊同乘以1|OA|·|OC|得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面再舉一例，直接從面積關(guān)系得出三角函數(shù)的和差化積公式.如圖3所示，設α、β是兩個角，把α、β兩個角的一邊拼在一起，頂點為O，作等腰ΔAOC，頂角∠O=α+β，OA=OC，OD⊥AC.顯然SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC=12OAOBsinα+12OBOCsinβ=12|OA||OB|（sinα+sinβ），

另一方面SΔAOC=12ACOD=122ADOD=ADOD=OAsinα+β2OBcos（α+β2－β）=OA·sinα+β2OBcos（α－β2），

則12OAOB（sinα+sinβ）=OAsinα+β2OBcos（α－β2），等式兩邊同乘以21OAOB，即得sinα+sinβ=2sinα+β2cosα－β2.

在誘導公式、正余弦和角、差角公式的基礎(chǔ)上，其他諸如積化和差、和差化積、半角公式、萬能公式等三角恒等式均可通過簡單的代數(shù)運算和換角得到，亦可如上考慮其直觀的面積證法.通過直觀的三角形面積法來證明正余弦定理和三角恒等式，學生不僅能夠更快的接觸并熟悉和記憶這些公式，而且能夠融匯貫通初高中的三角相關(guān)知識.