亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        從三角形面積公式到正余弦定理和三角恒等式

        2024-05-23 08:32:57黃婧文
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年4期
        關(guān)鍵詞:恒等式余弦定理邊長(zhǎng)

        黃婧文

        本文將通過(guò)三角形的面積公式導(dǎo)出正余弦定理和三角恒等式,過(guò)程中并不需要其他新知識(shí)作為鋪墊,不但能夠?qū)⒊踔衅矫嫒切魏透咧腥侵R(shí)有效的銜接,也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的進(jìn)入學(xué)生視野,以便后期學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)能夠有更深入的認(rèn)識(shí).

        1.正弦定理

        若給定ΔABC,∠A、∠B、∠C對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則asinA=bsinB=csinC.

        證明:由S△ABC=12b·csinA=12c·asinB=12a·bsinC,可得sinAa=sinBb=sinCc.

        2.余弦定理

        若給定ΔABC,∠A、∠B、∠C對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則c2=a2+b2-2abcosC.

        證明:如圖1所示,不妨設(shè)C為三個(gè)角中的最大角,作∠ACD等于∠B,∠BCE等于∠A,則ΔABC相似于ΔACD和ΔCBE,那么ADAC=ACAB=DCCB,BEBC=BCBA=ECCA.

        即ADb=bc=DCa,BEa=ac=ECb,

        則AD=b2c,DC=abc,BE=a2c,EC=abc.

        顯然,SΔABC=SΔACD+SΔDCE+SΔECB,則S△ABC=12absinC=12b2cabcsinC+12abc·abcsin(π-2π-C)+12a2cabcsinC,

        等式兩邊同乘以c212absinC,并用誘導(dǎo)公式可得c2=a2+b2-absin2CsinC=a2+b2-2abcosC.

        3.三角恒等式

        設(shè)α、β是兩個(gè)角,則sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.

        下面僅證此公式,因?yàn)楦鶕?jù)此公式和誘導(dǎo)公式可以推導(dǎo)出其他和角公式、差角公式.

        證明:

        如圖2,設(shè)α、β是兩個(gè)角,把α、β兩個(gè)角的一邊拼在一起,頂點(diǎn)為O,過(guò)點(diǎn)B作OB的垂線,交α另一邊于B,交β另一邊于C,則SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC.

        即12|OA|·|OC|sin(α+β)=12|OA||OB|sinα+12|OB|·|OC|sinβ.

        而|OB|=|OA|cosα=|OC|cosβ,代入上式得|OA||OC|sin(α+β)=|OA|·|OC|cosβsinα+|OA|cosα|OC|sinβ.

        等式兩邊同乘以1|OA|·|OC|得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

        下面再舉一例,直接從面積關(guān)系得出三角函數(shù)的和差化積公式.如圖3所示,設(shè)α、β是兩個(gè)角,把α、β兩個(gè)角的一邊拼在一起,頂點(diǎn)為O,作等腰ΔAOC,頂角∠O=α+β,OA=OC,OD⊥AC.顯然SΔAOC=SΔAOB+SΔBOC=12OAOBsinα+12OBOCsinβ=12|OA||OB|(sinα+sinβ),

        另一方面SΔAOC=12ACOD=122ADOD=ADOD=OAsinα+β2OBcos(α+β2-β)=OA·sinα+β2OBcos(α-β2),

        則12OAOB(sinα+sinβ)=OAsinα+β2OBcos(α-β2),等式兩邊同乘以21OAOB,即得sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2.

        在誘導(dǎo)公式、正余弦和角、差角公式的基礎(chǔ)上,其他諸如積化和差、和差化積、半角公式、萬(wàn)能公式等三角恒等式均可通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算和換角得到,亦可如上考慮其直觀的面積證法.通過(guò)直觀的三角形面積法來(lái)證明正余弦定理和三角恒等式,學(xué)生不僅能夠更快的接觸并熟悉和記憶這些公式,而且能夠融匯貫通初高中的三角相關(guān)知識(shí).

        猜你喜歡
        恒等式余弦定理邊長(zhǎng)
        活躍在高考中的一個(gè)恒等式
        民族文匯(2022年23期)2022-06-10 00:52:23
        大正方形的邊長(zhǎng)是多少
        余弦定理的證明及其應(yīng)用
        聚焦正、余弦定理的變式在高考中的應(yīng)用
        正余弦定理的若干證明與思考
        一類新的m重Rogers-Ramanujan恒等式及應(yīng)用
        Weideman公式的證明
        巧比邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化思想——以人教版三年級(jí)上冊(cè)為例
        正余弦定理在生活中的運(yùn)用
        一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的不等式鏈
        免费xxx在线观看| 日本激情网站中文字幕| 国精品人妻无码一区二区三区性色| 亚洲精品无码久久久久av麻豆| 国产小屁孩cao大人| 丰满人妻被猛烈进入中文字幕护士 | 无码夜色一区二区三区| 26uuu欧美日本在线播放| 久久久亚洲av成人乱码| 国产乱人对白| 国产av无码专区亚洲av| 香蕉久久夜色精品国产| 久久中文字幕亚洲综合| 亚洲无线码一区二区三区| 精品久久久久久国产| 婷婷精品国产亚洲av| 日本一区三区三区在线观看| 午夜色大片在线观看| 日子2020一区二区免费视频| 中文字幕亚洲日本va| 国产精品亚洲av无人区一区香蕉| 天美传媒一区二区| 青青国产成人久久91| 国产成人av三级三级三级在线 | 国产精品三级在线观看无码| 久久99精品中文字幕在| 最近中文字幕精品在线| 天天摸夜夜摸夜夜狠狠摸| 国产人成精品综合欧美成人| 日本久久一区二区三区高清| 久久伊人这里都是精品| 人妻献身系列第54部| A阿V天堂免费无码专区| 深夜一区二区三区视频在线观看| 久久99精品久久水蜜桃| 国产精品日韩欧美一区二区区| 久久精品国产福利亚洲av| 日本真人边吃奶边做爽电影| 国产看黄网站又黄又爽又色| 亚洲av熟女天堂系列| 午夜视频在线观看视频在线播放|