? 湖南省永州市第一中學 周建權

不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題能夠充分聯(lián)系不等式、函數(shù)與方程、導數(shù)等知識,有利于考查學生數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等學科核心素養(yǎng),是高考和各地?？嫉臒狳c問題.此類問題形式多變、綜合性強,學生往往捉摸不透,本文中結合具體例子談談此類問題的解題策略.

1 分離參數(shù)法

分離參數(shù)法就是對不等式變形,將參數(shù)與變量分離,構造無參數(shù)函數(shù),進而研究該函數(shù)的最值.

下面重點研究第(2)問的解題策略.

當x=0時,不等式為1≥1,顯然成立,符合題意.

對g(x)求導,得

2 不分離參數(shù),構造函數(shù)

參變不易分離,或分離后函數(shù)結構復雜不易研究,則可不分離參數(shù),將參數(shù)和變量放到不等式同一側,直接構造含參函數(shù).

2.1 直接分析最值

下面給出例1的解法2.

2.2 必要性探路法

必要性探路法指的是利用不等式在一些特殊情況下成立,得到參數(shù)的一個取值范圍,該范圍是不等式恒成立的一個必要條件,如果能證明該范圍也是不等成立的充分條件,則該范圍即為所求,如果不是充分條件,也縮小了參數(shù)的范圍.

(1)端點效應探路

例2(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.(1)略.(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍.

解：設h(x)=xeax-ex+1,則當x>0時,恒有h(x)<0.

注意到h′(x)=(1+ax)eax-ex,所以h′(0)=0.

設g(x)=(1+ax)eax-ex(x>0),則g(0)=0,且

g′(x)=(2a+a2x)eax-ex.

h′(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln (1+ax)-ex.

下證：對任意x>0,總有l(wèi)n(1+x)

故x>0時S(x)

eax+ln (1+ax)-ex

所以h′(x)≤0總成立,則h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故h(x)

當a≤0時,有h′(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故h(x)

評析：含參函數(shù)求最值時往往需要對參數(shù)進行分類討論,分類標準的確定是難點和關鍵點.如本題僅從h′(x)=(1+ax)eax-ex的形式較難發(fā)現(xiàn)對a進行討論的分類點,如果用端點效應來看,思路就比較清晰了.實際上,利用端點效應有助于確定參數(shù)分類討論的標準.

(2)其他特殊點探路

例3(2020年新高考Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略.(2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

解法1：因為f(x)≥1恒成立,所以f(1)=a+lna≥1.令g(a)=a+lna,則g(a)在(0,+∞)單調(diào)遞增,且g(1)=1,故由g(a)≥1,得a≥1.

下面證明a≥1時,f(x)≥1恒成立.

當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

評析：利用端點、定點、極點等特殊點探路,需要對不等式結構有較強的觀察分析能力,需要有函數(shù)意識、數(shù)形結合意識.通過必要性探路,能夠化繁為簡,理清討論的思路,同時也要注意,有時我們找到的必要條件不一定剛好也是充分條件.

3 分離函數(shù)法

分離函數(shù)法,就是對不等式恒等變形,將一個復雜的含參不等式分解成不等號左右兩邊各一個函數(shù)的形式,進而研究這兩個函數(shù)的關系.

3.1 構造同構式

下面給出例3的解法2.

解法2：由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,即eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x,而lnx+x=eln x+ lnx,所以eln a+x-1+lna+x-1≥eln x+lnx.

令h(m)=em+m,則有h(lna+x-1)≥h(lnx).

因為h′(m)=em+1>0,所以h(m)在R上單調(diào)遞增,于是可得lna+x-1≥lnx,因此只需lna≥(lnx-x+1)max.

因此a的取值范圍為[1,+∞).

評析：同構指的是結構或形式相同,一些不等式可以通過變形使不等式兩側呈現(xiàn)相同結構,將該結構抽象出來構造函數(shù),利用所構造函數(shù)的單調(diào)性將結構復雜的恒成立問題轉化為結構簡單的恒成立問題.同構法在“指對混合不等式”出現(xiàn)時用得較多,對代數(shù)變形能力要求較高,體現(xiàn)了數(shù)學的和諧對稱美,對培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)具有重要意義.

3.2 數(shù)形結合

圖1

評析：數(shù)形結合法就是通過分離函數(shù),將問題轉化為兩個函數(shù)圖象位置關系的問題.分離出來的兩個函數(shù)一般是“一直一曲”,便于研究位置關系.分離函數(shù)后正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵,需分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、凹凸性、特殊點等.

4 解題感悟

對于不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題,從參變分離的程度來看,若參變完全分離,則構造的是無參數(shù)函數(shù),能夠避免對參數(shù)的討論,但存在無參函數(shù)結構復雜,不易研究的情況;若參變不分離,則構造的是含參函數(shù),對參數(shù)討論標準的確定是難點所在,需對常見超越函數(shù)的性質有所積累,有時必要性探路法能提供思路;若參變部分分離,即分離函數(shù)法,有時能夠巧妙避免函數(shù)結構復雜的情況和對參數(shù)的討論,要明確分離的目標往往是構造同構式或便于數(shù)形結合的函數(shù).