? 浙江省湖州市濱湖高級中學 鄭夢華

? 浙江省湖州中學 祝峰澤

1 真題再現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點為定點．

分析：第(1)問求橢圓的標準方程,屬較易題;第(2)問解析可采用常規(guī)的韋達定理方法,本文中不再贅述.本題第(2)問考查學生運用坐標解決平面解析幾何問題的能力,較好地考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

2 追本溯源

(1)求E的方程;

(2)證明：直線CD過定點.

該題是一道常規(guī)的解析幾何題,命制背景為極點和極線,考查了解析幾何的基本思想和基本方法,對學生的運算能力要求很高,很好地起到了區(qū)分的作用.該類型題目在近年高考卷中也多次出現(xiàn),例如,2010年的江蘇卷第18題.因此,研究高考真題是教師最重要的教學策略之一.

3 真題第(2)問的解法賞析

解法一：平移坐標系角度.

評注：對于第(2)問,如果利用常規(guī)方法求解,因為直線PQ經過的點不在坐標軸上,所以聯(lián)立方程后的計算量非常大,而使用解法一能夠極大減小計算量,但難點在于坐標系平移前后的各點坐標變化,對學生的數(shù)形結合思想要求較高.

解法二：參數(shù)方程角度.

評注：解法二從直線PQ的傾斜角入手,利用直線的參數(shù)方程解決問題.在運算的過程中還需用到三角恒等變換的一些知識,計算量小,非常簡潔.

解法三：定比點差法角度.

①

評注：定比點差法,其本質是利用定比分點和圓錐曲線方程中橫、縱坐標表達式的一致性,優(yōu)化運算過程的變形手段,是處理圓錐曲線弦上三點問題的一大通法.

解法四：構造二次方程角度.

設直線PQ方程為y=k(x+2)+3,將點P,Q的坐標分別代入直線方程,可得

即k1,k2是方程12x2-36x+36k+27=0的兩個根,易知yM+yN=2(k1+k2)=6,即證得直線MN的中點為定點(0,3).

評注：解法四著重考查函數(shù)與方程的思想,尤其是函數(shù)問題中常用的同構思想,技巧性較強,同時大大減小了運算量,在解題過程中起到了事半功倍的效果.

解法五：二次曲線系方程角度.

引理：過平面上三點A,B,D及點A的切線l的二次曲線系方程可設為l·lBD+λlAB·lAD=0.

評注：解法五應用二次曲線系方程[2]中過三點及一條切線的二次曲線方程,隨后利用待定系數(shù)法將所設方程和原橢圓方程進行對比從而求出參數(shù),該解法非高中數(shù)學常規(guī)內容,多用于競賽題的求解.

前文提到過該題的背景是極點極線,在高中的視角下,極點極線經常用于命制圓錐曲線的切線和切點弦模型試題.筆者不禁思考：在一般的橢圓方程中是否還有類似規(guī)律呢?如果點D為直線x=-a上任意一點,過點D作橢圓的兩條切線,得到的切點弦即為極線,此時是否還有類似結論?對于雙曲線和拋物線呢?

4 推廣探究

推廣4(縱向推廣)已知拋物線方程：y2=2px(p>0),A為坐標原點,過y軸上任一點D(非點A)作拋物線的兩條切線切于點A,B,過點D作一條直線交拋物線于P,Q兩點,設直線AB,AP,AQ的斜率分別為k0,k1,k2,則k1+k2=2k0.

5 結束語

通過上述多角度探究、思考與推廣探究,真題本質也逐漸被揭開,同時,也啟示我們在日常教學中要抓住問題的本質.教師在教學中可以適當補充一些一類問題的本源,尤其是經常作為高考真題的命制背景問題;學生也可以適當總結問題的本質,從而提高核心素養(yǎng),提高數(shù)學解題能力.