? 北京第二外國語學(xué)院成都附屬中學(xué) 吳雨霞 董曉麗

? 四川省峨眉第二中學(xué)校 邱 毅

2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第12題是關(guān)于原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的“奇偶性”“對(duì)稱性”的關(guān)系,以及函數(shù)圖象變換和函數(shù)周期性的問題.題目綜合性強(qiáng),難度大.在人教版高中數(shù)學(xué)新教材中都能看到本題的影子.例如,人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)第87頁“拓廣探索”第13題及第214頁“拓廣探索”第19題.人教A版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊(cè)第5章第3節(jié)的節(jié)引言說明利用導(dǎo)數(shù)能更精確地研究函數(shù)的性質(zhì).教材中用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,而奇偶性.對(duì)稱性與周期性也是函數(shù)的重要內(nèi)容,但教材中對(duì)于如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的奇偶性和周期性并未提及.本文中對(duì)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的“奇偶性”“對(duì)稱性”的關(guān)系及函數(shù)的周期性的相關(guān)結(jié)論統(tǒng)一進(jìn)行證明,期望在教學(xué)過程中,教師能充分利用及深度挖掘教材中的題目,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

2 教材探源

題1(人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第87頁第13題)我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

題2(人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第214頁第19題)容易知道,正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù),正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心.除原點(diǎn)外,正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎?如果有,那么對(duì)稱中心的坐標(biāo)是什么?另外,正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,那么對(duì)稱軸的方程是什么?你能用已經(jīng)學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎?對(duì)余弦函數(shù)和正切函數(shù),討論上述同樣的問題.

題1將奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的結(jié)論進(jìn)行推廣,即奇函數(shù)是函數(shù)圖象中心對(duì)稱的一種特殊函數(shù),并要求學(xué)生類比奇函數(shù)的推廣結(jié)論寫出偶函數(shù)的推廣結(jié)論,旨在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).題2探究正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,而正弦函數(shù)是典型的周期函數(shù),因此正弦函數(shù)的圖象是探索函數(shù)圖象對(duì)稱性與周期性的良好載體.在學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)之后可以發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是余弦函數(shù),從而說明可以從導(dǎo)數(shù)的角度研究函數(shù)圖象的對(duì)稱性.

3 問題剖析

結(jié)論1：若f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù),則f′(x)為奇函數(shù).

證明：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x),等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得f′(x)=-f′(-x).令g(x)=f′(x),則g(x)=-g(-x),所以f′(x)為奇函數(shù).

結(jié)論2：若f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù),則f′(x)為偶函數(shù).

證明：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=0,等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得f′(x)-f′(-x)=0.令g(x)=f′(x),則g(x)=g(-x),所以f′(x)為偶函數(shù).

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,而可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).因此作出以下推廣猜想：若可導(dǎo)函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形;若可導(dǎo)函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形.以下為證明.

結(jié)論1推廣：若f(x)為圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的可導(dǎo)函數(shù),則f′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

證明：因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,所以f(x)=f(2a-x),等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得f′(x)=-f′(2a-x).令g(x)=f′(x),則g(x)=-g(2a-x),即g(x)+g(2a-x)=0,所以f′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

結(jié)論2推廣：若f(x)為圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱的可導(dǎo)函數(shù),則f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證明：因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,所以f(x)+f(2a-x)=0,等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),可得f′(x)-f′(2a-x)=0.令g(x)=f′(x),則g(x)-g(2a-x)=0,即g(x)=g(2a-x),所以f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

結(jié)論3：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,c),B(b,c)對(duì)稱,則2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,c)對(duì)稱,所以f(x)+f(2a-x)=2c.將x用2b-x替換,得f(2a-2b+x)+f(2b-x)=2c.因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)B(b,c)對(duì)稱,所以f(2b-x)+f(x)=2c.

所以f(2a-2b+x)=f(x).故2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

結(jié)論4：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b對(duì)稱,則2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,所以f(2a-x)=f(x).將x用2b-x替換,得f(2a-2b+x)=f(2b-x).又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱,所以f(2b-x)=f(x).

所以f(2a-2b+x)=f(x).故2|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

結(jié)論5：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,c)及直線x=b對(duì)稱,則4|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒(x)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)對(duì)稱,所以有f(2a-x)+f(x)=2c.用2b-x替換x,得f(2a-2b+x)+f(2b-x)=2c.又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱,所以f(2b-x)=f(x).

所以,可得f(2a-2b+x)+f(x)=2c.

令①式中的x為2a-2b+x,得

f(4a-4b+x)+f(2a-2b+x)=2c.

因此,可得f(4a-4b+x)=f(x),所以4|a-b|為f(x)的一個(gè)周期.

結(jié)論1的逆命題：若g(x)為定義域D上可積的奇函數(shù),則存在一個(gè)原函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

結(jié)論1推廣的逆命題：g(x)為定義域D上關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱的可積函數(shù),則存在一個(gè)原函數(shù)f(x)其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

同理,還可對(duì)結(jié)論2的逆命題及結(jié)論2推廣的逆命題進(jìn)行證明.根據(jù)本文還可猜想：周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù);若導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù),則其原函數(shù)也是周期函數(shù).

4 問題破解

5 教學(xué)啟示

本題在知識(shí)點(diǎn)方面考查函數(shù)圖象的變換,原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系及函數(shù)的周期性,具有一定難度.在學(xué)生能力上,則指向邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng)的考查.其中,邏輯推理的考查體現(xiàn)在通過具體實(shí)例去類比,猜想原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的對(duì)稱關(guān)系.直觀想象主要體現(xiàn)在根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及軸對(duì)稱得到函數(shù)的周期.在教學(xué)過程中可將教材中“拓廣探索”部分的習(xí)題利用起來,例如,將它們變成一道思考題,讓學(xué)生先猜想結(jié)論,再嘗試證明,從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).