? 江蘇省常熟中學(xué) 陳婷婷

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型,它既可以檢測學(xué)生知識、技能、方法的掌握情況,也可以幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏、開闊思路、積累經(jīng)驗(yàn)、建構(gòu)知識體系[1].習(xí)題課用不著面面俱到,如果每道題都講、每個(gè)知識點(diǎn)都強(qiáng)調(diào),那么習(xí)題課就上成了新授課,這樣所講知識過于繁雜,不僅影響個(gè)體知識結(jié)構(gòu)的建立與完善,而且容易造成學(xué)生思維疲勞,難以發(fā)揮習(xí)題課的育人價(jià)值,影響習(xí)題課的教學(xué)質(zhì)量.在習(xí)題課教學(xué)中,教師要重視歸類、總結(jié),重視呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程,引導(dǎo)學(xué)生探尋問題的本質(zhì),以此達(dá)到會一題、通一類的效果,切實(shí)提高習(xí)題課教學(xué)的有效性.筆者以“橢圓習(xí)題課”教學(xué)為例,談?wù)剬α?xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)淺見,若有不足,請指正!

1 教學(xué)簡錄

該題解法不唯一,教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的方法解決問題.問題給出后,教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考,然后充分展示學(xué)生的思考過程.

師：誰來說一說,你想利用什么方法解決這一問題呢?

生1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是x的二次函數(shù),在定義域[-a,a]上求最值.

生2：我和生1的想法基本相同,不過我通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是y的二次函數(shù),在定義域[-b,b]上求最值.

師：還有其他解決方案嗎?

生3：還可以設(shè)P(acosA,bsinA),這樣可以將問題轉(zhuǎn)化為主元為cosA或sinA的二次函數(shù),在定義域[-1,1]上求最值.

師：非常好,以上同學(xué)給出的方法是解決此類問題常用的方法,通過消元,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的經(jīng)驗(yàn)解決問題.

教師正準(zhǔn)備讓學(xué)生任選一種方法,完善解題過程時(shí),生4又給出了另一種解法.

生4：以上都是從數(shù)的角度分析,其實(shí)該題還可以從形的角度分析,將目標(biāo)看成圓與橢圓相切的兩個(gè)狀態(tài)就是最值.(部分學(xué)生投來疑惑的眼神.)

師：是個(gè)不錯(cuò)的想法,請具體說說你的想法.

生4在黑板上畫出了兩個(gè)臨界狀態(tài),學(xué)生恍然大悟.

師：你認(rèn)為哪種方法是最優(yōu)解法呢?

通過互動(dòng)交流,最終達(dá)成共識：若該題是填空題,可以選擇生4的方法來解決,借助幾何直觀,可以優(yōu)化運(yùn)算過程,提高解題效率;若該題是解答題,則需要利用前面幾位同學(xué)給出的代數(shù)法進(jìn)行推理.

教學(xué)評注：教學(xué)中,教師將課堂還給學(xué)生,鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同方法解決問題,有利于激活思維,激發(fā)潛能,這樣學(xué)生的思維動(dòng)起來了,課堂也就活起來了,有利于提升教學(xué)有效性[2].

同樣,問題給出后,教師沒有急于呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案,而是將解題主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.學(xué)生獨(dú)立求解,教師巡視.從解題反饋來看,學(xué)生給出了不同的答案：4個(gè);4個(gè)或2個(gè)或0個(gè);4個(gè)或0個(gè).基于此,教師給出如下解題過程：

教師話音剛落,學(xué)生提出異議.

師：真的嗎?

生6：兩個(gè)解時(shí),顯然與題目中“異于頂點(diǎn)”相矛盾,應(yīng)舍去.

此時(shí),給出兩個(gè)解的學(xué)生恍然大悟.

這樣通過師生互動(dòng)交流,最終明確,點(diǎn)P有4個(gè)或0個(gè).

師：現(xiàn)在我們將題目變一變,若將“∠F1PF2=60°”改為“∠F1PF2=90°”,你有什么發(fā)現(xiàn)?

改編后,學(xué)生聯(lián)想到圓.在此基礎(chǔ)上,教師又引導(dǎo)學(xué)生將橢圓向特殊化轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生體會離心率變化帶來的視覺沖擊.當(dāng)然,也有學(xué)生提出將角向一般化轉(zhuǎn)化,如令∠F1PF2=θ.這樣通過特殊與一般轉(zhuǎn)化,既有利于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,拓寬學(xué)生的視野,又利于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

教學(xué)評注：教學(xué)中教師要充分發(fā)揮課堂主導(dǎo)的作用,當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)分歧或困惑時(shí)及時(shí)給予引導(dǎo),以此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心.此環(huán)節(jié),教師引導(dǎo)學(xué)生將問題進(jìn)行改編,以此通過變式使習(xí)題變得更有廣度、更有深意,有利于揭示問題的本質(zhì),提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

中點(diǎn)弦問題是高考的一個(gè)重要考點(diǎn),教師讓學(xué)生以小組為單位,共同探索解題思路.

生8：可以利用方程組法求解,設(shè)斜率,聯(lián)立方程,利用設(shè)而不求的方法解題.解題時(shí)需要注意,設(shè)斜率需要考慮斜率是否存在,該題根據(jù)已知條件可知,直線AB的斜率是存在的,所以設(shè)所求的方程為y-1=k(x-2)即可.

師：很好,方程組法是解決橢圓中點(diǎn)弦問題的常用方法,將直線方程與橢圓組成的方程組,通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程,從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出斜率,以此得到直線方程.還有其他方法嗎?

生9：設(shè)點(diǎn)A(x,y),則由對稱性得B(4-x,2-y),利用這兩點(diǎn)都在橢圓上,即可得到所求.

師：非常好,利用對稱性解決了問題.該方法就是我們常說的中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法.解題時(shí),先設(shè)弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),然后借助中點(diǎn)坐標(biāo),可以得到另一端點(diǎn)坐標(biāo),將兩點(diǎn)分別代入橢圓方程,直接相減即可得到所求的直線方程.

生10：也可以分別設(shè)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,兩式相減可以求得直線斜率.這樣得到直線斜率后,問題即可迎刃而解.

師：非常棒,該方法可以稱其為“點(diǎn)差法”,是解決中點(diǎn)弦問題的一個(gè)不錯(cuò)方法.

生11：其實(shí)這個(gè)題單憑看也能得到答案.

師：哦!你是怎么看的呢?

生11：直接寫出上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo),它們的中點(diǎn)就是點(diǎn)M,這樣可以直接寫出直線方程.

學(xué)生紛紛投來羨慕的目光.

師：太厲害了,憑借直觀思考,一眼看穿!若將點(diǎn)M坐標(biāo)改為(1,2)呢?

這樣更改后,顯然利用生11的方法行不通了,由此通過對比既讓學(xué)生感知通法的通用性,也讓學(xué)生體會幾何直觀的優(yōu)越性.

教學(xué)評注：在此過程中,生11利用直覺思維,借助幾何直觀高效地解決了問題,充分展示了數(shù)形結(jié)合的魅力,不過該解法具有一定的特殊性.在日常教學(xué)中,我們不僅要強(qiáng)調(diào)通法,也要關(guān)注最優(yōu)解法,對于一些客觀題,若能用優(yōu)法解題,可以達(dá)到事半功倍的效果.對于該題,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生想一想,若點(diǎn)M不是弦的中點(diǎn)該如何求解,由此讓學(xué)生體會方程組法才是解析幾何最重要的解法.

2 教學(xué)思考

習(xí)題課上,教師切勿“求多”,而是要“求精”.教學(xué)中,教師要認(rèn)真研究“課標(biāo)”和真題,結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生學(xué)習(xí)反饋精心挑選典型性例題,以此充分發(fā)揮典型例題的輻射功能,提高學(xué)生舉一反三的能力[3].

習(xí)題課上,教師切勿大包大攬,應(yīng)該將課堂還給學(xué)生,學(xué)會傾聽學(xué)生的想法,關(guān)注他們的思考過程,鼓勵(lì)他們合作交流,充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值,讓不同思維碰撞出火花,以此拓寬學(xué)生的視野,激活學(xué)生的思維,促成深度學(xué)習(xí).

值得注意的是,我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體價(jià)值,切忌忽視教師的主導(dǎo)作用,教師作為課堂教學(xué)的組織者、引領(lǐng)者,其在教學(xué)中的地位和作用是不可替代的.在課堂教學(xué)中,教師既要做好充分的預(yù)設(shè),又要及時(shí)捕捉各種課堂生成.當(dāng)課堂上出現(xiàn)“意外”時(shí),要根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和教學(xué)策略.如當(dāng)學(xué)生困惑時(shí),教師要適當(dāng)?shù)胤怕_步,通過多角度分析幫助學(xué)生排疑解惑,以此讓學(xué)生真懂真會;當(dāng)學(xué)生提供精彩的解法時(shí),教師要給予充分肯定,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,升華學(xué)生認(rèn)知.

總之,若想打造精彩的習(xí)題課堂,教師就要放權(quán)給學(xué)生,讓學(xué)生主動(dòng)交流各自的所思、所想、所惑,讓學(xué)生把題真正地學(xué)懂、吃透,切實(shí)提高學(xué)生解題能力.同時(shí),在課堂教學(xué)中,教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和反思,以此優(yōu)化個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu),提高學(xué)生舉一反三的能力.