摘 要：在近年高考或各地模擬考試中，以雙曲線為載體的圓錐曲線解答題已成為數(shù)學(xué)命題的一大熱點(diǎn).2023年2月浙江省七彩聯(lián)盟返校聯(lián)考的第21題就是一道頗具探究價(jià)值的優(yōu)質(zhì)試題，文章在對該題進(jìn)行解答的基礎(chǔ)上，對試題結(jié)論從延伸和類比兩方面進(jìn)行推廣探究，進(jìn)而得到相應(yīng)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：雙曲線；聯(lián)考題；解法；結(jié)論推廣

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0006-04

雙曲線是一種重要的圓錐曲線，是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，尤其是近年高考或各地模擬考試中，雙曲線內(nèi)容常出現(xiàn)在解答題中進(jìn)行考查，體現(xiàn)了高考命題者對雙曲線內(nèi)容的青睞.下面對一道高三雙曲線聯(lián)考題的解法和結(jié)論進(jìn)行探究.

故以線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)F（4，0），根據(jù)對稱性可知也過定點(diǎn)（-2，0）.

點(diǎn)評 該小題考查的是圓過定點(diǎn)問題.解法1首先引入?yún)⒆兞縯，設(shè)出直線l的方程，通過聯(lián)立方程組求出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，然后利用直徑所對的角是直角，構(gòu)造向量，運(yùn)用向量數(shù)量積為0建立等式關(guān)系，求出定點(diǎn).其中由圖形的對稱性猜測定點(diǎn)位置，從而明確方向，進(jìn)而簡化計(jì)算.解法1是解決這類問題的通性通法.解法2根據(jù)題意條件，通過作出輔助線，挖掘并利用隱含的三角形相似、三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得到線段的垂直關(guān)系，從而找到圓過的定點(diǎn)，其解題過程十分簡捷、巧妙，體現(xiàn)了平面幾何知識在簡化解析幾何計(jì)算中的優(yōu)越性.但解法2邏輯推理要求高，思維難度大，不易切入.

3 推廣探究

我們在這里將目光放到對第（2）問的推廣探究上.

3.1 延伸推廣

從對上述聯(lián)考題的條件和結(jié)論的分析可以看出，F(xiàn)是雙曲線Γ的右焦點(diǎn)，直線l1則是雙曲線Γ的右準(zhǔn)線，M是雙曲線Γ左支上的一點(diǎn)，其結(jié)論是以線段DE為直徑的圓過的定點(diǎn)是焦點(diǎn)F和焦點(diǎn)F關(guān)于線段DE的對稱點(diǎn).由此，我們來思考下面的兩個(gè)問題：

（1）能否把聯(lián)考題的結(jié)論延伸為一般雙曲線的情形？

（2）若F是雙曲線Γ的左焦點(diǎn)，直線l1則是雙曲線Γ的左準(zhǔn)線，M是雙曲線Γ右支上的一點(diǎn)，是否可以得到同樣的結(jié)論？

答案是肯定的！于是由聯(lián)考題推廣為一般情形下雙曲線的兩個(gè)結(jié)論：

3.2 類比推廣

圓錐曲線有許多相似的性質(zhì)或結(jié)論，由于雙曲線與橢圓均為有心二次曲線，能否將雙曲線的結(jié)論1和結(jié)論2分別類比到橢圓，得到同樣的結(jié)論？答案也是肯定的，于是有：

結(jié)論3 如圖3，已知點(diǎn)F（c，0）為橢圓Γ：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)，直線l1為Γ的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)F的任一條直線l與Γ在y軸右側(cè)交于A，B兩點(diǎn).若M為橢圓Γ在y軸左側(cè)上一點(diǎn)，直線MA，MB分別與直線l1交于D，E兩點(diǎn)，則以線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)（c，0）或（2a2/c-c，0）.

4 結(jié)束語

對典型試題的解法與結(jié)論推廣進(jìn)行探究，就是指對問題從不同視角來審視，以不同的切入點(diǎn)探究問題，其實(shí)質(zhì)是對試題的“二次開發(fā)”.通過對試題的剖析和思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使知識達(dá)到融會貫通，使思維得到升華，進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[1].

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李寒.平中蘊(yùn)奇? 探究本質(zhì)：一道2022年高考試題的溯源與延伸[J].數(shù)理化解題研究，2022（25）：81-83.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：李寒（1978-），女，貴州省桐梓人，本科，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.