陸源杉 肖敏? 萬佑紅 丁潔 蔣海軍

1) (南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院,人工智能學(xué)院,南京 210023)

2) (新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊 830047)

目前國內(nèi)外關(guān)于SI 模型空間格局的研究大多數(shù)局限在自擴(kuò)散以及系統(tǒng)參數(shù)對斑圖模式的影響,而關(guān)于交叉擴(kuò)散對空間格局的演化機(jī)理研究成果較少.本文建立了一個具有自擴(kuò)散和交叉擴(kuò)散的空間流行病模型,研究了在有無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,交叉擴(kuò)散對SI 模型的穩(wěn)定性、穩(wěn)定速度以及斑圖結(jié)構(gòu)的影響.研究發(fā)現(xiàn),在無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,引入交叉擴(kuò)散能夠激發(fā)Turing 斑圖的產(chǎn)生;在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,交叉擴(kuò)散可以實現(xiàn)斑圖結(jié)構(gòu)的改變;對于SI 模型的穩(wěn)定速度,不論有無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定,交叉擴(kuò)散都影響了其到達(dá)穩(wěn)定所需時間,且在不同的交叉擴(kuò)散系數(shù)下,所需時間也不同.因此,交叉擴(kuò)散對于SI 模型的穩(wěn)定性、穩(wěn)定速度、斑圖結(jié)構(gòu)都有重要的影響.

1 引言

1952 年,Turing[1]發(fā)現(xiàn)在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中,在沒有擴(kuò)散的情況下對小時間擾動穩(wěn)定的齊次穩(wěn)態(tài)在有擴(kuò)散項的情況下變得不穩(wěn)定,這種現(xiàn)象被稱作Turing 不穩(wěn)定,這種不穩(wěn)定在空間域中產(chǎn)生了一種稱為Turing 斑圖的模式.在這一發(fā)現(xiàn)之后,許多研究者受到啟發(fā),將Turing 斑圖應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物和生態(tài)過程等各個領(lǐng)域[2-8].

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)是空間運動建模的重要工具之一,已廣泛應(yīng)用于化學(xué)反應(yīng)[9]、謠言傳播[10]、圖像處理[11]、流行病傳播[12]等許多空間分布系統(tǒng).反應(yīng)擴(kuò)散過程提供了由于局部反應(yīng)和擴(kuò)散運動而發(fā)生的多種物質(zhì)的濃度變化的最佳模型.以疾病傳播為例,將不同位置的個體劃分為不同的種類,表示個體相對于模型疾病的易感狀態(tài)、感染狀態(tài).局部反應(yīng)過程代表同一地點的個體相互接觸并根據(jù)感染動態(tài)改變狀態(tài).擴(kuò)散過程代表空間上個體的自由擴(kuò)散,這可能是疾病從一個區(qū)域擴(kuò)散到另一個區(qū)域的原因.

在流行病學(xué)領(lǐng)域,研究人員提出了反應(yīng)擴(kuò)散模型,Wang 等[13]研究了包含人口與流行病過程的反應(yīng)擴(kuò)散模型以捕捉環(huán)境的空間異質(zhì)性和個體的移動對疾病動態(tài)的影響.阮中遠(yuǎn)[14]介紹了在流行病學(xué)領(lǐng)域基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的反應(yīng)擴(kuò)散模型,以此加深人們對流行病傳播的理解.Wang 等[15]研究了基于網(wǎng)絡(luò)化亞種群的空間流行病的建模,促進(jìn)了人們對突發(fā)疾病大規(guī)模傳播動力學(xué)的認(rèn)識.空間格局是疾病傳播的特征,可以預(yù)測空間中的流行病傳播動態(tài),為研究和管理流行病的空間動態(tài)提供了重要的理論依據(jù),進(jìn)而指導(dǎo)政策制定[16].

大多數(shù)反應(yīng)擴(kuò)散流行病模型考慮了傳染病病原體在空間中的自發(fā)運動或擴(kuò)散過程,也就是說在這些模型中只考慮到了自擴(kuò)散項存在的情況[17-21].比如Wang 等[22]研究了具有飽和感染力的反應(yīng)擴(kuò)散流行病模型自擴(kuò)散系數(shù)對Turing 斑圖的影響.Sun 等[23]提出了具有非線性發(fā)病率的流行病模型的感染率β 不同對空間格局的影響.

交叉擴(kuò)散是指考慮不同物種或類型之間相互影響的擴(kuò)散過程,即一個隔間的濃度梯度引起另一個隔間的流通,而不是僅存在隔間本身的流通.它首先由Kerner[24]提出.以流行病學(xué)領(lǐng)域為例,在現(xiàn)實生活中易感者有能力識別感染者并且選擇遠(yuǎn)離或接近他們[25,26],隨后研究人員對流行病學(xué)模型的空間格局進(jìn)行了一系列的研究.Aly 等[27]研究了一種具有自擴(kuò)散和交叉擴(kuò)散項SIS 模型的穩(wěn)定性問題,并通過數(shù)值模擬研究了Turing 模式.Triska等[28]提出了一種具有負(fù)值的感染者交叉擴(kuò)散SI模型,并研究了負(fù)值感染者交叉擴(kuò)散對斑圖種類的影響.

然而,當(dāng)前針對交叉擴(kuò)散對空間流行病模型的研究大多都局限在Turing 不穩(wěn)定以及對斑圖數(shù)值仿真的初步結(jié)果,但對于交叉擴(kuò)散對空間流行病模型的穩(wěn)定性、穩(wěn)定速度以及斑圖結(jié)構(gòu)的影響機(jī)制研究相對較少.為了更好地了解這些機(jī)制,本文研究空間流行病SI 模型的空間格局的形成等問題.

本文的結(jié)構(gòu)組織如下: 第2 節(jié)提出了一個具有自擴(kuò)散和交叉擴(kuò)散項的空間流行病模型;第3 節(jié)分析了該模型發(fā)生Turing 不穩(wěn)定的條件;第4 節(jié)通過一系列的斑圖仿真模擬,闡明了交叉擴(kuò)散對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)定速度以及斑圖結(jié)構(gòu)的影響;第5 節(jié)對本文工作進(jìn)行總結(jié)并展望未來的工作.

2 模型介紹

常見的空間流行病模型有SIS 模型,SIR 模型和SI 模型,這些模型被廣泛應(yīng)用于描述和分析傳染病在人群中的傳播過程,對理解和控制傳染病的傳播具有重要意義.SIS 模型將人群分為兩類: 易感人群(S)與感染人群(I),該模型假設(shè)易感人群(S)在被感染為感染人群(I)后能夠恢復(fù)成易感人群(S),通常用于研究一些康復(fù)后不會獲得長期免疫的疾病,如普通感冒、瘧疾等[29].SIR 模型包含3 種人群: 易感人群(S)、感染人群(I)、康復(fù)人群(R),與SIS 模型不同的是,SIR 模型假設(shè)感染人群能夠恢復(fù)成康復(fù)人群,即從感染人群恢復(fù)并具有永久免疫的人群,該模型適用于研究感染后能夠獲得長期免疫的疾病,如白日咳、麻疹[30].

本文考慮空間流行病模型中的一種基本模型:SI 模型.一般來說,SI 模型的病原體活躍的人群包括兩個亞群體: 一類是易感人群(S),另一類是感染人群(I).其中S 和I 都是關(guān)于時間與空間的函數(shù),它們都可以將病毒傳播給健康個體.與SIR 或SIS 模型不同,SI 模型假設(shè)易感人群一旦被感染,他們就會持續(xù)處于感染狀態(tài),不會恢復(fù)成易感狀態(tài),該模型一般用于研究一旦感染后就永久帶病原體的疾病,許多性傳播疾病,如艾滋病,都遵循SI控制的流行病學(xué)[31].

文獻(xiàn)[23]考慮了以下具有非線性發(fā)病率的空間流行病SI 模型:

其中,d為被感染者的疾病相關(guān)死亡率;A是人口的吸納率;μ為疑似感染者和被感染者的自然死亡率;βSpIq是非線性的發(fā)病率,相比于雙線性發(fā)病率βSI具有更豐富的動力學(xué)行為[32],其中β 是傳播率,本文假設(shè)p=1,q=2;?2是二維空間中的拉普拉斯算子,x,y表示空間;DS與DI分別表示易感個體和感染個體的自擴(kuò)散系數(shù).

本文在此研究基礎(chǔ)上引入交叉擴(kuò)散.模型如下:

其中,D1為易感人群交叉擴(kuò)散系數(shù),D1?2I代表感染人群對易感人群擴(kuò)散的影響;D2為感染人群的交叉擴(kuò)散系數(shù),D2?2S代表易感人群對感染人群擴(kuò)散的影響.交叉擴(kuò)散系數(shù)可以為正、零或負(fù)[17].易感人群交叉擴(kuò)散系數(shù)D1為正值,表示易感人群向感染人群密度較低的方向移動(易感人群移動后仍保持易感狀態(tài)),即易感人群傾向于遠(yuǎn)離感染人群.感染者的交叉擴(kuò)散系數(shù)D2為正值,表示感染人群向易感人群密度低的方向移動(感染人群移動后仍保持感染狀態(tài)),即感染人群傾向于遠(yuǎn)離易感人群.模型(2)需要用初始種群進(jìn)行分析:

3 穩(wěn)定性分析

為了找出反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(2)發(fā)生Turing 不穩(wěn)定的條件,首先研究無擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性.當(dāng)無擴(kuò)散時,即D1=D2=DS=DI=0,系統(tǒng)(2)退化為

通過計算可得系統(tǒng)(3)有3 個平衡點:

E3對應(yīng)于流行病滅絕的情況,并且E2是不穩(wěn)定的[23],所以本文只研究平衡點E1處的穩(wěn)定性,記E1=(S1,I1).系統(tǒng)(3)在平衡點E1處的雅克比矩陣如下:

其中,fq與gq(q=S,I) 分別是f(S,I),g(S,I) 在平衡點E1處關(guān)于q的偏導(dǎo)數(shù).系統(tǒng)(3)的特征方程為

其中,m0=-(fS+gI),h0=fSgI-fIgS.

做如下假設(shè):

定理1若(H1) 成立,則系統(tǒng)(3)在平衡點E1處局部漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明若(H1) 成立,根據(jù)赫爾維茨判據(jù)可得特征方程(4)所有特征根實部均小于0,即系統(tǒng)(3)在平衡點E1處漸近穩(wěn)定.

注1Turing 不穩(wěn)定本質(zhì)是由擴(kuò)散引起,因此下文對于含擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing 不穩(wěn)定分析均建立在無擴(kuò)散系統(tǒng)(3)在平衡點E1處穩(wěn)定的前提下,即(H1) 成立.

考慮僅含自擴(kuò)散存在的情況,即D1=D2=0,DS0,DI0.系統(tǒng)(2)退化為

若平衡點E1處的微擾形式為eλtcos(kxx)×cos(kyy),則在平衡點E1處得到系統(tǒng)(5)的雅克比矩陣如下:

其中,k為波數(shù),并且滿足k2=+由雅克比矩陣J1得到系統(tǒng)(5)的特征方程如下:

定理2對系統(tǒng)(5)有如下結(jié)論:

1)若(H1),(H2) 均成立,則系統(tǒng)(5)在平衡點E1處局部漸進(jìn)穩(wěn)定;

2)若(H1),(H3) 均成立,則系統(tǒng)(5)在平衡點E1處發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.

證明

1)若(H1) 成立,則有m1＞0.當(dāng)(H1),(H2)均成立時,對于所有的k2都有h1＞0 .此時方程(6)無正實部特征根,系統(tǒng)(5)在平衡點E1處局部漸進(jìn)穩(wěn)定.

2)若(H3) 成立,存在k2使得h1＜0 .此時方程(6)存在正實部特征根,則系統(tǒng)(5)在平衡點E1處發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.

從概念的描述看，第一學(xué)段的6個版本是結(jié)合圖形給出概念名稱；第二學(xué)段是結(jié)合圖形給出概念的文字定義；第三學(xué)段不僅給出概念的文字定義，還結(jié)合圖形說明概念的符號表示方法．

注2當(dāng)系統(tǒng)處于局部漸進(jìn)穩(wěn)定時,易感人群(S)與感染人群(I)種群密度在空間的各個位置趨于平衡態(tài).當(dāng)系統(tǒng)處于Turing 不穩(wěn)定時,易感人群(S)與感染人群(I)種群在空間中出現(xiàn)非均勻的密度分布.

考慮自擴(kuò)散與交叉擴(kuò)散均存在的情況,在平衡點E1處得到系統(tǒng)(2)的雅克比矩陣如下:

其中,k為波數(shù),并且滿足k2=+.由雅克比矩陣J2得到的色散關(guān)系如下:

做如下假設(shè):

定理3若(H1),(H4) 均成立,則系統(tǒng)(2)在平衡點E1處發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.

證明若(H1),(H4) 均成立,總有合適的波數(shù)k2使得α ＜0,β ＜0,此時特征方程(7)存在正實部的特征根,即系統(tǒng)(2)在平衡點E1處發(fā)生Turing不穩(wěn)定.

4 數(shù)值模擬

在二維空間中由反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)定義的連續(xù)問題在具有M=N=200 個網(wǎng)格位置的離散域中求解.Δh為網(wǎng)格點之間的間距,時間步長為Δt.在離散系統(tǒng)中,用有限差分計算描述擴(kuò)散的拉普拉斯函數(shù).本文設(shè)置Δh=1,Δt=0.01 .離散域初始條件選取為穩(wěn)態(tài)周圍0.01 量級的均勻分布隨機(jī)擾動,其形式為

其中ξ1表示在200 × 200 的網(wǎng)格中添加0—1 之間的隨機(jī)值.取參數(shù)A=1,μ=1.8,d=1,β=35時,(H1) 成立,由定理1 可知,系統(tǒng)(2)在無擴(kuò)散時是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.分別取自擴(kuò)散系數(shù)DS=6,DI=6(無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定);DS=6,DI=1(自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定)兩種情況進(jìn)行對比分析.

注3本文主要參考了文獻(xiàn)[23],故仿真中也基于該文獻(xiàn)中的系統(tǒng)參數(shù)以及自擴(kuò)散系數(shù)取值,并且所取值的系統(tǒng)參數(shù)及自擴(kuò)散系數(shù)均滿足上文的穩(wěn)定性條件.在穩(wěn)定性分析部分,我們發(fā)現(xiàn)改變交叉擴(kuò)散系數(shù)會影響系統(tǒng)在平衡點處特征方程的特征值,即改變交叉擴(kuò)散系數(shù)可能會對系統(tǒng)動力學(xué)產(chǎn)生一定影響,故在本文的仿真中選取不同的交叉擴(kuò)散系數(shù)以此研究交叉擴(kuò)散對系統(tǒng)動力學(xué)的影響.

注4當(dāng)DS=6,DI=6時,(H1),(H2)均成立,由定理2 可知,系統(tǒng)(5)在平衡點E1處局部漸進(jìn)穩(wěn)定,即無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定.當(dāng)DS=6,DI=1時,(H1),(H3) 均成立,系統(tǒng)(5)在平衡點E1處發(fā)生Turing 不穩(wěn)定,即自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定.

4.1 交叉擴(kuò)散誘導(dǎo)Turing 斑圖的形成

本節(jié)討論當(dāng)DS=6,DI=6 時,交叉擴(kuò)散系數(shù)D1,D2對系統(tǒng)(2)空間格局的影響機(jī)理.

繪制系統(tǒng)(2)的色散關(guān)系曲線,如圖1 所示.當(dāng)D1=D2=0 時(藍(lán)線)時,系統(tǒng)(2)退化為僅含自擴(kuò)散的系統(tǒng)(5),觀察到方程(7)所有特征根實部均為負(fù)數(shù),此時系統(tǒng)(2)是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=6(黃線),D2=8 (紫線)時,觀察到引入交叉擴(kuò)散使得方程(7)在一定波數(shù)k2范圍內(nèi)存在正實部特征根,則系統(tǒng)(2)發(fā)生Turing不穩(wěn)定.

圖1 色散關(guān)系曲線Fig.1.Dispersion relationship curve.

驗證色散關(guān)系所得出的結(jié)論,對系統(tǒng)(2)進(jìn)行斑圖仿真模擬.圖2為DS與DI比值為1(無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定),在未引入交叉擴(kuò)散時不同迭代步數(shù)下的空間格局.在迭代200 步時,由于初值的隨機(jī)擾動,此時系統(tǒng)(2)的空間格局處于一個不穩(wěn)定的瞬態(tài)模式;當(dāng)?shù)降?0000 步,此時空間格局已是穩(wěn)定的純色均勻態(tài).

圖2 不同迭代步數(shù)下的空間格局Fig.2.Spatial pattern under different iteration steps.

由圖1 色散關(guān)系曲線易知,引入交叉擴(kuò)散能夠改變系統(tǒng)(2)的局部穩(wěn)定性,即分布均勻的純色空間格局會發(fā)生改變.圖3(a)—(d)為DS與DI比值為1 時,引入交叉擴(kuò)散系統(tǒng)(2)出現(xiàn)的空間格局.圖3(a)和圖3(b)分別為交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=6,8時出現(xiàn)的孔洞-條紋斑圖與條狀斑圖.圖3(c)為交叉擴(kuò)散系數(shù)D1=-6,D2=6 時出現(xiàn)的條狀斑圖.圖3(d)為交叉擴(kuò)散系數(shù)D1=-8,D2=8 時出現(xiàn)的點-條狀斑圖.

圖3 不同交叉擴(kuò)散取值的空間格局(a)D2=6 ;(b) D2=8;(c) D1=-6,D2=6;(d)D1=-8,D2=8Fig.3.The spatial pattern of of different cross diffusion values: (a)D2=6; (b) D2=8; (c) D1=-6,D2=6 ;(d) D1=-8,D2=8 .

注5上述模擬結(jié)果表明,在無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,引入交叉擴(kuò)散能夠使原本局部穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的狀態(tài),即交叉擴(kuò)散能夠誘導(dǎo)Turing 斑圖的形成.

4.2 交叉擴(kuò)散改變系統(tǒng)的空間格局

首先討論當(dāng)DS=6,DI=1,交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=0,易感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1對系統(tǒng)(2)空間格局的影響機(jī)理.

圖4(a)為不同交叉擴(kuò)散系數(shù)D1下的色散關(guān)系曲線.當(dāng)DS與DI的比值為6,且D1=0 (藍(lán)線)時,方程(7)已經(jīng)存在正實部特征根,系統(tǒng)(2)發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.交叉擴(kuò)散系數(shù)D1為負(fù)值,即D1=-0.2,-1(色散關(guān)系圖對應(yīng)紅、黃曲線)時,能夠看出隨著D1的減小,方程(7)特征根的正實部越來越大,此時系統(tǒng)(2)仍然會發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)D1為正值,即D1=1,3.5 (色散關(guān)系圖對應(yīng)紫、綠曲線)時,能夠看出隨著D1的增大,方程(7)特征根的實部變小直至出現(xiàn)負(fù)值,即引入交叉擴(kuò)散使原本在平衡點E1處不穩(wěn)定的系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的狀態(tài).

圖4 不同取值的交叉擴(kuò)散系數(shù) D1 的色散關(guān)系曲線及空間格局(a)色散關(guān)系曲線;(b) D1 =0;(c) D1=-0.2;(d) D1=-1 ;(e) D1=1;(f)D1=3.5Fig.4.Dispersion relationship curves and spatial patterns of cross diffusion coefficients D1 with different values: (a)Dispersion relationship curve;(b) D1=0;(c) D1=-0.2;(d) D1=-1;(e) D1=1;(f) D1=3.5 .

圖4(b)為當(dāng)D1=0 時的空間格局為點-條狀斑圖;圖4(c)和圖4(d)分別為負(fù)交叉擴(kuò)散系數(shù)D1=-0.2,-1的空間格局;當(dāng)D1=-0.2,雖然此時的空間格局仍為點-條狀斑圖,但可以明顯看出相較于D1=0 的空間格局點狀的斑圖數(shù)量更多,而當(dāng)D1=-1 時,此時的空間格局已經(jīng)全部變?yōu)辄c狀斑圖.圖4(e)和圖4(f)分別為正交叉擴(kuò)散系數(shù)D1=1,3.5的空間格局.當(dāng)D1=1,此時空間格局為迷宮狀斑圖;當(dāng)D1=3.5,此時的空間格局變?yōu)榱朔植季鶆虻募兩珗D,即系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植糠€(wěn)定狀態(tài).

注6圖4 所示結(jié)果表明,在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下引入易感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1改變了系統(tǒng)(2)的Turing 斑圖結(jié)構(gòu),并且使自擴(kuò)散驅(qū)動不穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植糠€(wěn)定狀態(tài).

下面考慮當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)D1=0 時,感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D2對系統(tǒng)(2)的空間格局影響機(jī)理.同樣取DS=6,DI=1 .

圖5(a)為不同交叉擴(kuò)散系數(shù)D2下的色散關(guān)系曲線.當(dāng)正交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=0.5,2 時(色散關(guān)系圖對應(yīng)橙、黃曲線),能夠看出隨著D2的增大,方程(7)特征根的實部越來越大,此時系統(tǒng)(2)發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.當(dāng)負(fù)交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=-1,-2時,方程(7)特征根的實部越來越小直至出現(xiàn)負(fù)值,即交叉擴(kuò)散引入使得系統(tǒng)(2)在平衡點E1處轉(zhuǎn)變?yōu)榫植糠€(wěn)定的狀態(tài).

圖5(b)為D2=0 時的空間格局為點-條狀斑圖.圖5(c),(d)分別為正交交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=0.5,2 時出現(xiàn)的點-條狀斑圖,能夠看出隨著D2的增大點狀斑圖數(shù)量逐漸增加,且條狀斑圖的形狀越來越不規(guī)則.圖5(e)和圖5(f)分別為負(fù)交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=-1,-2時的空間格局.當(dāng)D2=-1,此時的空間格局為洞孔狀斑圖;當(dāng)D2=-2 時,此時的空間格局變?yōu)榱朔植季鶆虻募兩珗D.

注7圖5 所示結(jié)果表明,在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下引入感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D2改變了系統(tǒng)的Turing 斑圖結(jié)構(gòu),并且使自擴(kuò)散驅(qū)動不穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植糠€(wěn)定狀態(tài).

4.3 交叉擴(kuò)散改變系統(tǒng)的穩(wěn)定速度

本節(jié)研究在有無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,討論交叉擴(kuò)散對系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需時間的影響機(jī)理.

首先考慮在DS=6,DI=6 的情況下,當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=0時,易感者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1對系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需時間的影響機(jī)理.

由圖6 可知,雖然引入交叉擴(kuò)散沒有改變系統(tǒng)(2)局部穩(wěn)定狀態(tài),但是能觀察到交叉擴(kuò)散對系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間具有一定影響.在迭代200 步時,系統(tǒng)(2)的空間格局由于初值的隨機(jī)擾動,當(dāng)D1=-9,-9.8,-10.2 時都處于一個不規(guī)則的瞬態(tài)模式.當(dāng)?shù)降?50 步時,三組參數(shù)的斑點輪廓都逐漸減弱并且能夠看出D1越小,斑點的輪廓越明顯,即系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間越多.當(dāng)D1=-9,迭代到第800 步時,系統(tǒng)(2)的空間格局進(jìn)入了均勻的純色分布狀態(tài);當(dāng)D1=-9.8,-10.2 時,分別到第1500,3000 步時系統(tǒng)(2)的空間格局才到達(dá)均勻的純色狀態(tài).

圖6 不同 交叉擴(kuò)散系數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)演化圖(a)D1=-9;(b) D1=-9.8;(c)D1=-10.2Fig.6.System evolution diagrams corresponding to different cross diffusion coefficients: (a)D1=-9;(b) D1=-9.8;(c) D1=-10.2 .

考慮不同迭代步數(shù)時空間離散域中感染者I到達(dá)平衡點濃度的網(wǎng)格個數(shù).當(dāng)傳播率β=35 時,此時平衡點處的濃度I1=0.2362.選擇M=N=200,共有40000 個網(wǎng)格.圖7 展示了在不同的交叉擴(kuò)散系數(shù)下,不同迭代步數(shù)穩(wěn)定到平衡點處濃度的網(wǎng)格數(shù).在相同的迭代步數(shù)下D1的值越大,穩(wěn)定到平衡點濃度的網(wǎng)格個數(shù)就越多,即在無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,負(fù)交叉擴(kuò)散系數(shù)D1的值越大,穩(wěn)定的速度越快,系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間越少.

下面考慮在DS=6,DI=1 的情況下,當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)D2=0時,易感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1對系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需時間的影響機(jī)理.

由圖8 可知,引入交叉擴(kuò)散不僅改變系統(tǒng)(2)原本不穩(wěn)定的狀態(tài),而且對系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間也具有一定影響.當(dāng)?shù)降?00 步時,對于D1=4,斑點的輪廓已經(jīng)較模糊,而當(dāng)D1=3.5,3.2時,仍有較清晰的斑點輪廓存在,且當(dāng)D1=3.2時斑點的輪廓更為清晰.當(dāng)D1=4 迭代到1800 步時,系統(tǒng)(2)的空間格局進(jìn)入了均勻的純色分布狀態(tài),而當(dāng)D1=3.5,3.2 時,分別到2600 步和5300 步才能夠進(jìn)入均勻的純色狀態(tài).

圖8 不同交叉擴(kuò)散系數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)演化圖(a)D1=4;(b) D1=3.5;(c)D1=3.2Fig.8.System evolution diagrams corresponding to different cross diffusion coefficients: (a)D1=4;(b) D1=3.5;(c) D1=3.2 .

當(dāng)傳播率β=35時,平衡點處的濃度I1=0.2362,考慮空間離散域中感染者I到達(dá)平衡點濃度的網(wǎng)格個數(shù).圖9 展示了在不同交叉擴(kuò)散系數(shù)下,不同迭代步數(shù)穩(wěn)定到平衡點濃度的網(wǎng)格數(shù).在相同迭代步數(shù)下D1的值越大,穩(wěn)定到平衡點的網(wǎng)格個數(shù)就越多,即在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,正交叉擴(kuò)散系數(shù)D1越大,穩(wěn)定速度越快,系統(tǒng)(2)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間越少.

圖9 當(dāng) D1=4,3.5,3.2 時,不同迭代步數(shù)穩(wěn)定到平衡點的網(wǎng)格個數(shù)Fig.9.The number of grids that stabilize to the equilibrium point with different iteration steps when D1=4,3.5,3.2.

5 結(jié) 論

本文研究了交叉擴(kuò)散對具有非線性發(fā)病率SI模型的空間格局影響機(jī)理等問題,如斑圖的形成與斑圖結(jié)構(gòu)改變、系統(tǒng)穩(wěn)定速度等.分析了無擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性,并且闡明了存在擴(kuò)散項時發(fā)生Turing 不穩(wěn)定的條件.通過數(shù)值仿真得到了一些結(jié)論: 在無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,引入交叉擴(kuò)散能夠改變系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性,誘導(dǎo)斑圖的形成.在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,引入交叉擴(kuò)散能夠改變斑圖的結(jié)構(gòu).對于易感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1,當(dāng)D1的取值為負(fù)時,斑圖的結(jié)構(gòu)從點-條狀斑圖轉(zhuǎn)變?yōu)辄c狀斑圖,而當(dāng)D1的取值為正時,斑圖結(jié)構(gòu)從點-條狀斑圖轉(zhuǎn)變?yōu)槊詫m狀斑圖,最后轉(zhuǎn)變?yōu)榉植季鶆虻募兩珗D.對于感染者交叉擴(kuò)散系數(shù)D2,當(dāng)D2取值為正時,斑圖的轉(zhuǎn)變與易感者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1取值為負(fù)時相同,逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)辄c狀斑圖,而當(dāng)D2取值為負(fù)時,斑圖的結(jié)構(gòu)卻出現(xiàn)孔洞狀結(jié)構(gòu),最后轉(zhuǎn)變?yōu)榉植季鶆虻募兩珗D.對于系統(tǒng)穩(wěn)定速度,在無自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下,交叉擴(kuò)散會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定速度.易感者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1為負(fù)值且D1越大,系統(tǒng)穩(wěn)定的速度越快.當(dāng)存在自擴(kuò)散驅(qū)動系統(tǒng)不穩(wěn)定時,交叉擴(kuò)散使系統(tǒng)從不穩(wěn)定的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榫植糠€(wěn)定狀態(tài)且對其穩(wěn)定速度也具有一定影響.易感者交叉擴(kuò)散系數(shù)D1為正值且D1越小,系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的速度越慢.

基于本文的研究結(jié)果,未來將考慮將二維的空間格局研究推廣至三維的空間格局,并且將整數(shù)階模型推廣至分?jǐn)?shù)階模型.擴(kuò)散項在非線性動力學(xué)系統(tǒng)中有著重要的作用,未來也將考慮將擴(kuò)散項轉(zhuǎn)換為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所誘導(dǎo)的Turing 斑圖.