作者簡(jiǎn)介：劉紅霞（1982—），女，漢族，山東淄博人，本科，中學(xué)一級(jí)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、案例背景

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)背景出發(fā)，提供充足的數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。這一理念旨在實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”和“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”的目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展。不可忽視的是，數(shù)學(xué)的抽象性可能導(dǎo)致部分學(xué)生感到學(xué)習(xí)困難，喪失興趣。然而，初中數(shù)學(xué)知識(shí)在日常生活中有著廣泛應(yīng)用，將生活元素融入課堂教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們更積極地參與學(xué)習(xí)。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)全面滲透生活化教育理念，打造生活化課堂。通過結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

魯教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第五章第4節(jié)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”的第2課時(shí)，作為多邊形相關(guān)知識(shí)的延續(xù)，該課程在內(nèi)容上具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。教材先從探究多邊形的內(nèi)角和出發(fā)，逐步擴(kuò)展到多邊形的外角和。這種安排有利于激發(fā)學(xué)生的探索興趣，培養(yǎng)其動(dòng)手能力和探索與歸納的能力。此外，課程內(nèi)容還體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化和建模等思維技巧。

二、案例描述

（一）引入

1.故事引入

教師：同學(xué)們，今天老師要給大家講一個(gè)非常有趣的故事，叫做“哥尼斯堡七橋問題”。這個(gè)故事發(fā)生在18世紀(jì)，有一人喜歡在哥尼斯堡城散步，他提出了一個(gè)疑問：能不能一次走遍這七座橋，而且每座橋只走一次？同學(xué)們覺得這個(gè)問題有辦法解決嗎？

學(xué)生議論紛紛。

教師：大家先別著急回答，讓我們先來(lái)看看這個(gè)城里的七座橋到底長(zhǎng)什么樣。（展示哥尼斯堡七橋問題圖片）

學(xué)生仔細(xì)觀察圖片。

教師：好，現(xiàn)在你們覺得有可能一次走遍這七座橋，而且每座橋只走一次嗎？

學(xué)生紛紛舉手發(fā)言。

教師：看來(lái)大家已經(jīng)有自己的想法了。這個(gè)故事其實(shí)蘊(yùn)含著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，那就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——多邊形。

2.生活實(shí)例激趣

教師：在我們的生活中，許多物體都是由多邊形組成的，如我們課桌的桌面、教室的窗戶、家里的天花板等。請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這些物體，看看它們的形狀，并找出它們的基本構(gòu)成元素。

學(xué)生開始觀察身邊的物體。

教師走到學(xué)生中間，與學(xué)生一起觀察和討論。

學(xué)生：老師，我們課桌的桌面是一個(gè)長(zhǎng)方形，它有四條邊和四個(gè)角。

教師：很好，你觀察得很仔細(xì)。那其他同學(xué)呢？

學(xué)生：老師，窗戶的形狀是不規(guī)則的，但是它也有邊和角。

學(xué)生：老師，天花板是一個(gè)大大的多邊形，它有很多條邊和很多個(gè)角。

教師：大家說(shuō)得都很好，看來(lái)大家都已經(jīng)掌握了多邊形的基本構(gòu)成元素——邊和角。那么，你們知道什么樣的圖形才能被稱為多邊形嗎？

3.多邊形的定義

教師：讓我們一起來(lái)看一張圖片（展示多邊形圖片）。多邊形是指由多條線段首尾順次連接組成的一個(gè)閉合的平面圖形。同學(xué)們，現(xiàn)在你們知道什么是多邊形了嗎？

學(xué)生：知道了。

（二）探索新知

教師：大家能不能舉一些多邊形的例子呢？

學(xué)生：有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、五邊形等。

教師：非常好。接下來(lái)我們要來(lái)探索一下多邊形的一些特征。我先給大家發(fā)一些卡片，請(qǐng)大家自己動(dòng)手制作一些多邊形。

學(xué)生動(dòng)手制作多邊形。

教師：好的，大家都完成了自己的多邊形制作?，F(xiàn)在我們來(lái)觀察一下，你們制作的多邊形都有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：三角形有三個(gè)角和三條邊，四邊形有四個(gè)角和四條邊，五邊形有五個(gè)角和五條邊。

教師：很好，大家發(fā)現(xiàn)了多邊形的一個(gè)共同點(diǎn)，那就是它們都有角和邊。那么，你們能不能找出多邊形的邊和角之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生：多邊形的邊數(shù)越多，它的角也越多。

教師：是的，多邊形的邊和角之間有著密切的關(guān)系。我們知道，三角形有三個(gè)內(nèi)角，四邊形有四個(gè)內(nèi)角，五邊形有五個(gè)內(nèi)角。那么，如何計(jì)算多邊形的內(nèi)角和呢？

學(xué)生：我們可以用量角器來(lái)度量。

教師：這個(gè)想法很好，大家動(dòng)手試一試，用量角器度量一下自己制作的多邊形的內(nèi)角和。

學(xué)生用量角器度量多邊形的內(nèi)角和。

學(xué)生：我們量出來(lái)三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°。

教師：大家量得非常準(zhǔn)確?，F(xiàn)在，我們一起來(lái)觀察一下多邊形的內(nèi)角和與它的邊數(shù)之間有什么關(guān)系。

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)，多邊形的邊數(shù)增加一條，它的內(nèi)角和就增加180°。

學(xué)生：老師，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的規(guī)律！多邊形的內(nèi)角和總是等于邊數(shù)減2再乘以180°。

教師（贊許地點(diǎn)頭）：非常好，你總結(jié)得很到位。這個(gè)公式就是計(jì)算多邊形內(nèi)角和的通用公式。那么，大家能不能舉一些例子來(lái)驗(yàn)證一下這個(gè)公式呢？

學(xué)生：我們可以用六邊形來(lái)驗(yàn)證。量角器量的也是720°，六邊形有6條邊，所以它的內(nèi)角和應(yīng)該是（6-2）×180°=720°。

學(xué)生：我們也可以用七邊形來(lái)驗(yàn)證。七邊形有7條邊，所以它的內(nèi)角和應(yīng)該是（7-2）×180°=900°。

教師：同學(xué)們，你們通過觀察和探索，不僅發(fā)現(xiàn)了多邊形的特點(diǎn)，還找出了計(jì)算多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。這種探索精神是非常寶貴的哦。

（三）加深理解

（從課堂教學(xué)拓展到課外，延伸教學(xué)）

教師：接下來(lái)我們要來(lái)學(xué)習(xí)和探索多邊形的外角。在此之前，我們先進(jìn)行一個(gè)戶外活動(dòng)，大家準(zhǔn)備好了嗎？

學(xué)生：準(zhǔn)備好了！

教師：很好，請(qǐng)大家跟我來(lái)。我們要去操場(chǎng)上尋找多邊形的外角。請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，尋找操場(chǎng)周圍的多邊形，并找出它們的外角。

學(xué)生分組行動(dòng)，尋找多邊形的外角。

教師：非常好，大家找到了很多多邊形。那么，誰(shuí)能告訴大家，外角究竟是什么呢？

學(xué)生：外角是指多邊形相鄰兩邊組成的角。

教師：回答得很正確。請(qǐng)大家觀察一下，這些多邊形的外角有什么共同點(diǎn)？

學(xué)生：它們的外角都大于0°，小于180°。

教師：是的，外角是一個(gè)范圍在0°到180°之間的角?，F(xiàn)在我們來(lái)思考一個(gè)問題，多邊形的外角和會(huì)是多少度呢？

學(xué)生：每個(gè)多邊形都可以分成幾個(gè)三角形，是不是可以運(yùn)用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算呢？

教師：這位同學(xué)的想法很有趣。其實(shí)，我們可以通過推導(dǎo)來(lái)得出這個(gè)結(jié)論。大家還記得我們之前學(xué)習(xí)的多邊形內(nèi)角和公式嗎？

學(xué)生：記得，（n-2）×180°。

教師：是的，我們可以用這個(gè)公式來(lái)推導(dǎo)外角和。多邊形的一個(gè)內(nèi)角加上一個(gè)相對(duì)應(yīng)的外角和應(yīng)該是180°。例如，對(duì)于一個(gè)正n邊形，每一個(gè)內(nèi)角大小為■，所以每一個(gè)外角大小為■×180°。因此，對(duì)于正n邊形，它的外角和公式為：外角和=n×■×180°=360°。

學(xué)生：原來(lái)是這樣，我完全明白了。

教師：非常好，同學(xué)們都理解得很透徹。通過這次戶外活動(dòng)，我們不僅加深了對(duì)多邊形外角和的理解，還感受到了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。希望大家能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)奧秘。

教師：接下來(lái)，我們將在課堂上進(jìn)一步探討多邊形內(nèi)角和和外角和的具體應(yīng)用。請(qǐng)大家做好準(zhǔn)備。

（四）實(shí)戰(zhàn)演練

1.情景應(yīng)用

教師：我們來(lái)看一個(gè)生活場(chǎng)景，如何測(cè)量河流的角度？

學(xué)生：老師，我們可以用量角器來(lái)測(cè)量。

教師：沒錯(cuò)，但是我們具體要怎么計(jì)算呢？這就需要利用多邊形內(nèi)角和的知識(shí)了。請(qǐng)大家思考一下，如果河流的形狀是一個(gè)簡(jiǎn)單的多邊形，如三角形或者四邊形，那么我們是不是可以通過測(cè)量這些多邊形的內(nèi)角和來(lái)間接得到河流的角度。

學(xué)生：老師，我懂了，其實(shí)就是把河流看成一個(gè)多邊形，然后利用內(nèi)角和的公式來(lái)計(jì)算角度。

教師：沒錯(cuò)，看來(lái)大家都理解了。

2.課堂討論

教師：接下來(lái)，我們來(lái)討論一下多邊形內(nèi)角和與外角和知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。請(qǐng)大家先思考一下，你們能想到哪些實(shí)際生活中的問題可以通過多邊形內(nèi)角和與外角和的計(jì)算來(lái)解決？

學(xué)生：如一個(gè)房屋的屋頂，我們可以把它看成一個(gè)多邊形，然后通過計(jì)算這個(gè)多邊形的內(nèi)角和，來(lái)確定屋頂?shù)慕嵌群推露取?/p>

學(xué)生：如我們要繪制一個(gè)地區(qū)的地圖，那么這個(gè)地區(qū)的邊界就可以看成一個(gè)多邊形。我們可以通過計(jì)算這個(gè)多邊形的內(nèi)角和，來(lái)確定地圖上各個(gè)地點(diǎn)之間的相對(duì)位置和方向。

教師：是的，多邊形內(nèi)角和與外角和知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的應(yīng)用。如我們?cè)跍y(cè)量地形、計(jì)算不規(guī)則圖形的面積、設(shè)計(jì)建筑結(jié)構(gòu)等方面，都可以用到多邊形內(nèi)角和與外角和的知識(shí)。所以大家一定要學(xué)好這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，為將來(lái)更好地解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。

三、案例反思

在引入環(huán)節(jié)，我主要通過講述“哥尼斯堡七橋問題”的故事，以及引進(jìn)生活元素，激發(fā)學(xué)生對(duì)多邊形的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考多邊形的特點(diǎn)和規(guī)律。在探索新知環(huán)節(jié)，我主要通過手工制作多邊形，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，觀察多邊形的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)多邊形邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出計(jì)算多邊形內(nèi)角和的通用公式。在加深理解環(huán)節(jié)，我主要通過戶外活動(dòng)讓學(xué)生在操場(chǎng)上尋找多邊形，觀察多邊形的外角，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)外角的特點(diǎn)，進(jìn)而推導(dǎo)出計(jì)算多邊形外角和的公式。在實(shí)戰(zhàn)演練環(huán)節(jié)，我主要通過情景應(yīng)用和課堂討論，讓學(xué)生思考多邊形內(nèi)角和與外角和在實(shí)際生活中的應(yīng)用。這一系列教學(xué)活動(dòng)的推進(jìn)，取得了良好的教學(xué)實(shí)效，但是也存在些許問題和不足，有待進(jìn)一步改進(jìn)。比如，在加深理解部分，雖然通過戶外活動(dòng)讓學(xué)生觀察多邊形的外角豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生從生活中汲取學(xué)習(xí)靈感，但是課堂教學(xué)和戶外探索活動(dòng)的銜接不夠自然。

基于此，我通過反思，提出教學(xué)改進(jìn)策略。具體包括：（1）在引入部分，可以利用多媒體展示多邊形的圖片，讓學(xué)生直觀感受多邊形的形狀特點(diǎn)，同時(shí)講解多邊形的基本概念，使學(xué)生對(duì)多邊形有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。（2）在探索新知部分，可以結(jié)合學(xué)生的興趣愛好、學(xué)習(xí)能力，組織多元、有趣、有意義的活動(dòng)，包括游戲活動(dòng)、探索活動(dòng)、項(xiàng)目化活動(dòng)等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度觀察和分析多邊形的特點(diǎn)。（3）在加深理解部分，注重課堂教學(xué)和戶外探索活動(dòng)之間的銜接，并在活動(dòng)結(jié)束后，組織學(xué)生進(jìn)行反思和評(píng)價(jià)，幫助他們總結(jié)在活動(dòng)中的收獲和需要改進(jìn)的地方。

總之，在我看來(lái)，作為教育工作者，我們就是要通過多元、深入的教學(xué)實(shí)踐，不斷加強(qiáng)反思，不斷進(jìn)行改進(jìn)和完善，才能夠在真正意義上提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，多維度、多層面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：山東省淄博市高青縣第二中學(xué)）

編輯：常超波