陳飛龍 于淼 徐濤

摘要：目的 構(gòu)建并驗證基于最小二乘回歸法的定量資料一致性評價的樣本量計算公式。方法 根據(jù)最小二乘回歸法定量一致性評價的原理，結(jié)合統(tǒng)計推斷和公式推導(dǎo)，獲得基于回歸常數(shù)和回歸系數(shù)的樣本量計算公式。同時，使用3個實例數(shù)據(jù)驗證公式的準(zhǔn)確性，并與Bland-Altman（BA）法樣本量計算公式結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果 通過公式推導(dǎo)得到回歸法定量一致性評價的樣本量計算公式，并用實例驗證了本公式的準(zhǔn)確性。此外，本公式與BA法樣本量公式所得結(jié)果具有一定差異，在回歸法樣本量公式計算結(jié)果下，回歸分析與BA法分析均能得到一致性結(jié)論；而在BA法公式結(jié)果下，回歸分析與BA法分析一致性結(jié)論有時不成立。結(jié)論 本研究首次提出用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，為該領(lǐng)域研究提供了方法學(xué)支持。

關(guān)鍵詞：最小二乘回歸；一致性評價；樣本量；公式；定量指標(biāo)

中圖分類號： R-33文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號：1000-503X（2024）02-0225-07

DOI：10.3881/j.issn.1000-503X.15523

Development of Sample Size Formulas for Least Square Regression-Based Consistency Evaluation of Quantitative Indicators

CHEN Feilong，YU Miao，XU Tao

Department of Epidemiology and Statistics，Institute of Basic Medical Science，CAMS and PUMC，Beijing 100005，China

Corresponding author：XU Tao Tel：010-69156408，E-mail：xutaosd@126.com

ABSTRACT：Objective To develop and verify the sample size formulas for quantitative data consistency evaluation based on the least square regression method.Methods According to the principle of least square regression-based quantitative consistency evaluation，statistical inference，and formula derivation，we developed the formulas for calculating sample size based on regression constant and regression coefficient.Furthermore，the accuracy of the formulas was verified by the data of three examples，and the results were compared with those of the sample size formula established based on the Bland-Altman（BA）method.Results The sample size formulas for regression-based quantitative consistency evaluation were deduced，and the accuracy of the formulas was verified by three examples.In addition，the results obtained with this formula had differences compared with those of the sample size formula established based on the BA method.Furthermore，consistent conclusions could be obtained by regression analysis and BA analysis with the sample size calculated with the regression method.However，with the sample size calculated based on the BA method，the consistency conclusion of regression analysis and BA analysis was sometimes not valid.Conclusion A sample size formula for quantitative consistency evaluation based on the regression method was proposed for the first time，which provided methodological support for the research in this field.

Key words：least square regression；consistency evaluation；sample size；formula；quantitative indicator

Acta Acad Med Sin，2024，46（2）：225-231

一致性評價類研究可根據(jù)評價指標(biāo)的數(shù)據(jù)類型分為定量指標(biāo)和定性指標(biāo)的一致性評價。定量指標(biāo)的一致性評價是用兩種不同的檢測方法對同一樣本進(jìn)行定量檢測，通過比較測量結(jié)果從而判斷兩種測量方法的一致程度。傳統(tǒng)的一致性分析方法，如配對t檢驗、相關(guān)分析等，存在明顯的方法學(xué)局限^［1］，現(xiàn)已較少應(yīng)用。目前，最常用的定量一致性評價方法包括Bland-Altman（BA）法^［2］和回歸法^［3］，這兩種方法原理清楚，應(yīng)用廣泛，但是針對這兩種方法的方法學(xué)研究仍然較少。此外，在臨床研究中，樣本量也是影響試驗?zāi)芊駥崿F(xiàn)預(yù)期結(jié)果的關(guān)鍵因素^［4-5］。然而，當(dāng)前少有研究聚焦一致性評價類研究的樣本量計算問題，臨床實踐中研究者常根據(jù)客觀條件和個人經(jīng)驗確定樣本量，可能造成統(tǒng)計效能的下降和潛在的倫理學(xué)問題。對于BA法，已有部分研究關(guān)注其數(shù)據(jù)條件及樣本量計算^［6］；而對于回歸法，國內(nèi)外少有研究關(guān)注基于此方法的定量一致性評價樣本量計算問題，導(dǎo)致該方法的不合理應(yīng)用問題十分嚴(yán)重，其應(yīng)用及推廣受到極大限制。因此，本研究旨在構(gòu)建并驗證基于最小二乘回歸方法解決定量一致性評價問題的樣本量計算公式，結(jié)合最小二乘法的基本性質(zhì)和統(tǒng)計推斷原理，對樣本量計算公式進(jìn)行理論推導(dǎo)，并應(yīng)用實例驗證該公式的準(zhǔn)確性，為該方法的應(yīng)用推廣提供理論支持。

1 原理

在回歸分析中，最常采用最小二乘法估計回歸模型的參數(shù)。數(shù)據(jù)應(yīng)滿足最小二乘法的4個基本假設(shè)，即：兩組數(shù)據(jù)應(yīng)存在線性關(guān)聯(lián)、兩組數(shù)據(jù)應(yīng)相互獨立、隨機誤差應(yīng)相互獨立且服從正態(tài)分布、等方差性^［7］。當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足此條件時，可通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換使之近似服從此條件而進(jìn)行樣本量計算。

該方法的基本原理為：對同一樣本使用兩種不同方法進(jìn)行測量，繪制測量結(jié)果散點圖并擬合最小二乘回歸模型，計算模型參數(shù)及其95%置信區(qū)間。若回歸常數(shù)b₀和回歸系數(shù)b₁的95%置信區(qū)間均位于各自臨床上可接受的一致性界限（-Δ，+Δ）內(nèi)，則可認(rèn)為兩種方法的一致性較好，兩種方法之間能夠互相替代^［8-9］。

2 樣本含量估計公式的推導(dǎo)

用Y=β₀+β₁X擬合兩種測量方法定量檢測結(jié)果的線性回歸模型，用b₀和b₁分別代表回歸常數(shù)β₀和回歸系數(shù)β₁的估計值。根據(jù)最小二乘法的性質(zhì)，b₀和b₁分別是β₀和β₁的無偏估計值，且b₀、b₁均服從正態(tài)分布，因此，可推得b₀和b₁的（1－α）%置信區(qū)間分別為：

［b₀－t_{n－2，1－α/2}S_b0，b₀+t_{n－2，1－α/2}S_b0］（1）

［b₁－t_{n－2，1－α/2}S_b1，b₁+t_{n－2，1－α/2}S_b1］（2）

式中，S_b0為b₀的標(biāo)準(zhǔn)誤，S_b1為b₁的標(biāo)準(zhǔn)誤，t_{n－2，1－α/2}表示自由度υ=n－2、置信度為1－α?xí)r的雙側(cè)t分布界值^［7］。根據(jù)回歸法定量一致性評價的原理，b₀的置信區(qū)間應(yīng)位于區(qū)間（－Δ₀，+Δ₀）內(nèi)，b₁的置信區(qū)間應(yīng)位于區(qū)間（1－Δ₁，1+Δ₁）內(nèi)；結(jié)合公式（1）和公式（2），以左側(cè)區(qū)間為例（右側(cè)推導(dǎo)過程相同），可得：

b₀－t_{n－2，1－α/2}S_b0≥-Δ₀（3）

b₁－t_{n－2，1－α/2}S_b1≥1-Δ₁（4）

由最小二乘性質(zhì)可知，b₀和b₁均服從正態(tài)分布，有：

2.1 基于回歸常數(shù)b₀推導(dǎo)樣本量計算公式

由公式（5）可知：

然后，對公式（10）中根號內(nèi)分子與分母中的（n-1）項和n項近似約分處理，約分化簡后可得：

進(jìn)一步整理公式（11），提取n，整理后可得：

最后，考慮檢驗校能（1-第2類錯誤水平β）對樣本量的影響，納入置信度為1－β時的雙側(cè)t分布界值。最終經(jīng)整理，得到基于回歸常數(shù)b₀的樣本量計算公式：

2.2 基于回歸系數(shù)b₁推導(dǎo)樣本量計算公式

將公式（8）代入公式（4），整理后可得：

考慮檢驗效能（1-第2類錯誤水平β）對樣本量的影響，納入置信度為1－β時的雙側(cè)t分布界值。最終經(jīng)整理，得到基于回歸系數(shù)b₁的樣本量計算公式：

綜上，得到基于最小二乘回歸常數(shù)b₀和回歸系數(shù)b₁的定量指標(biāo)一致性評價研究的樣本量計算公式：

式中，α為檢驗水準(zhǔn)，常取雙側(cè)α=0.05；1－β為檢驗效能；t_{n－2，1－α/2}和t_{n－2，1－β/2}分別為置信度為1－α和1－β時的雙側(cè)t分布界值；b₀代表預(yù)期回歸模型的回歸常數(shù)，常取0；b₁代表預(yù)期回歸模型的回歸系數(shù)，常取1；σ_ε為預(yù)實驗的殘差標(biāo)準(zhǔn)差；代表試驗方法樣本測量值的平均值，S_x代表試驗方法樣本測量值的標(biāo)準(zhǔn)差；Δ₀為回歸常數(shù)b₀在臨床上可接受的一致性界限（－Δ₀，+Δ₀）的界值，Δ₁為回歸系數(shù)b₁在臨床上可接受的一致性界限（1－Δ₁，1+Δ₁）的界值。兩公式中，t分布界值與樣本含量有關(guān)，故采用迭代方法，第1次迭代時用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)Z替代t分布界值獲得初始n值，當(dāng)?shù)昂髢纱谓Y(jié)果n的整數(shù)部分沒有變化時，迭代即可停止，最后結(jié)果即為所求的樣本量。

上述公式分別為基于回歸常數(shù)和回歸系數(shù)得到的樣本量計算公式，由于需要同時滿足b₀與b₁的置信區(qū)間及與臨床上可接受的一致性界限的范圍要求，因此，在實際應(yīng)用中應(yīng)分別使用兩公式計算樣本量，取其中較大者為最終計算結(jié)果。

3 BA法樣本量計算公式

BA法也是解決定量一致性評價的常用統(tǒng)計學(xué)方法，其基本思想是以兩方法測量結(jié)果的均值為橫軸，以測量差值d為縱軸繪制散點圖，計算差值的均數(shù)及其100（1－γ）%置信區(qū)間，即一致性界限（LoA）；分析散點的分布與LoA的100（1－α）%置信區(qū)間之間的位置關(guān)系，并與臨床上可接受的一致性界值相比較。若該界限位于臨床可接受的一致性界值范圍內(nèi)，則認(rèn)為兩種方法之間一致性較好^［2］。

陸夢潔等^［6］曾研制出基于BA法的樣本量計算公式，該方法樣本量計算公式為：

式中，?是兩方法測量結(jié)果差值的均值，s_d為差值的標(biāo)準(zhǔn)差，Z_1－γ/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)，t_{n－1，1－α/2}是自由度為n－1時的t分布分位數(shù)，δ為臨床上可接受的一致性界值，α為檢驗水準(zhǔn)，β為第Ⅱ類錯誤水平，（1－γ）為差值d置信區(qū)間的置信度。

為比較本研究推導(dǎo)公式與陸夢潔等^［6］推導(dǎo)公式計算結(jié)果的差異，本研究將基于3個實際案例計算回歸法和BA法樣本量，并分別進(jìn)行回歸分析和BA法分析以驗證樣本量結(jié)果。

4 實例分析

4.1 實例分析1

欲比較某企業(yè)新研發(fā)的電子血壓計與傳統(tǒng)的水銀血壓計測量結(jié)果的一致性，擬分別采用回歸法和BA法進(jìn)行一致性評價研究。為計算該研究的最佳樣本量，本研究納入30名受試者進(jìn)行預(yù)試驗。

對于回歸法，經(jīng)檢驗兩種方法測量的結(jié)果數(shù)據(jù)均滿足最小二乘法的前提假設(shè)。對預(yù)試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析，結(jié)果顯示b₁及其置信區(qū)間為0.998（95%CI=0.946～1.050），b₀及其置信區(qū)間為0.006（95%CI=-4.131～4.143），二者置信區(qū)間寬度均超出了臨床認(rèn)可的一致性范圍，尚不能認(rèn)為兩方法測量結(jié)果具有一致性（表1）。

使用公式<1><2>計算回歸法樣本量。取檢驗水準(zhǔn)雙側(cè)α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%；臨床上可接受的b₀血壓測量值一致性界限（－Δ₀，+Δ₀）為（-4，4）mmHg（1 mmHg=0.133 kPa）；假設(shè)b₁的臨床可接受范圍（1－Δ₁，1+Δ₁）為（0.95，1.05）。將預(yù)試驗數(shù)據(jù)參數(shù)代入公式<1>和<2>，經(jīng)過多次迭代運算，得到n₀=95.87，n₁=96.32，選擇其中較大者，最終計算結(jié)果為n=97。

隨后，基于相同30人的預(yù)試驗數(shù)據(jù)計算BA法樣本量。采用MedCalc 18軟件繪制BA圖^{［2，10］}。設(shè)定一致性界限為（-4，+4）mmHg。結(jié)果顯示差值d的均值為0.2，但有16.67%（5/30）的點位于一致性界限（-4，+4）mmHg以外，因此，尚不能判斷兩儀器測量結(jié)果具有一致性（圖1A）。

計算BA法樣本量，設(shè)定α=0.05，β=0.1，γ=0.05，δ=4 mmHg，將預(yù)試驗所得參數(shù)代入公式（17），經(jīng)多次迭代運算，得到n=130。

為驗證回歸法和BA法公式樣本量條件下的回歸分析和BA圖分析能否得到一致性結(jié)論，本研究分別納入97名（根據(jù)回歸法樣本量公式計算得到）和130名（根據(jù)BA法樣本量公式計算得到）受試者進(jìn)行驗證試驗，結(jié)果顯示無論是通過回歸法計算的樣本量還是BA法計算的樣本量，回歸分析與BA分析均可得到一致性成立的結(jié)論（圖1B、1C，表1）。

4.2 實例分析2

實例2數(shù)據(jù)來源于某眼軸長度測量儀器的臨床試驗，該研究比較了新舊兩款儀器測量結(jié)果的一致性。取檢驗水準(zhǔn)α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%；臨床上可接受的眼軸測量值一致性界限為0.1 mm，即Δ₀=0.1 mm；設(shè)定回歸系數(shù)b₁的臨床可接受范圍Δ₁=0.05。30個樣本量的預(yù)試驗結(jié)果顯示，回歸分析與BA法分析均無法得到一致性結(jié)論。根據(jù)預(yù)試驗結(jié)果，計算得到回歸法公式結(jié)果n=273；BA法公式計算結(jié)果n=208（表2、圖2A）。

為驗證公式的準(zhǔn)確性，本研究基于回歸分析和BA分析對上述計算結(jié)果進(jìn)行驗證。結(jié)果顯示對于回歸法公式計算結(jié)果，驗證試驗中回歸分析與BA法分析（全部散點位于一致性界限內(nèi)）均可得到一致性成立的結(jié)論；而對于BA法公式結(jié)果，BA法分析一致性結(jié)論成立，但回歸分析尚不能認(rèn)為兩方法測量結(jié)果具有一致性（表2、圖2）。

4.3 實例分析3

實例3數(shù)據(jù)來源于某公司研發(fā)的靜脈血血糖檢測試紙與臨床上常用的血糖檢測試紙測量結(jié)果一致性比較的臨床試驗。取檢驗水準(zhǔn)α=0.05，檢驗效能（1-β）×100%=90%。臨床上可接受的血糖測量值一致性界限為0.3 mmol/L，即Δ₀=0.3 mmol/L；設(shè)定回歸系數(shù)b₁的臨床可接受范圍Δ₁=0.05。30個樣本量的預(yù)試驗結(jié)果顯示，回歸分析與BA法分析均無法得到一致性結(jié)論。根據(jù)預(yù)試驗結(jié)果，計算得到回歸法公式結(jié)果n₀=69.34，n₁=32.93，取較大者，即n=70；BA法公式計算結(jié)果n=29.07。

為驗證公式的準(zhǔn)確性，本研究基于回歸分析和BA分析對上述計算結(jié)果進(jìn)行了驗證。結(jié)果顯示，對于回歸法公式計算結(jié)果，回歸分析與BA法分析（2.86%的點位于一致性界限外）均得到一致性結(jié)論。對于BA法公式結(jié)果，n=29時，驗證試驗回歸分析與BA法分析均不能得到一致性成立的結(jié)論（圖3、表3）。

5 討論

本研究推導(dǎo)獲得了最小二乘回歸法解決定量一致性評價問題的樣本量計算公式，其原理為：擬合兩測量結(jié)果的線性回歸模型，計算模型參數(shù)及其95%CI，若回歸系數(shù)與回歸常數(shù)的置信區(qū)間均位于臨床上可接受的一致性界限內(nèi)，則可認(rèn)為兩種方法之間一致性較好。同時，本研究采用3個實例驗證了計算公式的準(zhǔn)確性，并對比BA法樣本量公式計算結(jié)果，進(jìn)一步驗證了該公式的適用性。本研究首次提出用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，豐富了回歸一致性評價的方法學(xué)架構(gòu)。

上述3個實例中，基于回歸法樣本量公式計算結(jié)果進(jìn)行驗證試驗，回歸分析與BA法分析均能夠得到一致性成立的結(jié)論。而基于BA法公式計算結(jié)果進(jìn)行驗證試驗，在實例2中回歸分析未能得到一致性結(jié)論，在實例3中BA法分析未能得到一致性成立的結(jié)論。實例1中，回歸法公式樣本量略低于BA法公式樣本量，但在滿足回歸法公式計算所得樣本量的條件下，兩種一致性分析方法最終均可以達(dá)到預(yù)期的一致性結(jié)論。實例2和3中，回歸法公式計算的樣本量均顯著高于BA法樣本量公式計算結(jié)果，且在實例3中，BA法樣本量僅29例，比小樣本量預(yù)試驗的樣本量更小，該計算結(jié)果顯著偏低，若使用此方法計算樣本量將無法獲得定量一致性結(jié)果。

本研究推導(dǎo)的公式<1>和<2>中，t_{（n－2），1－α/2}和t_{（n－2），1－β/2}分別為置信度為1－α和1－β時的雙側(cè)t分布界值，該界值與樣本量有關(guān)，需借助計算機進(jìn)行迭代運算。第1次迭代時用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)Z替代t分位數(shù)獲得n的初始值，根據(jù)n計算自由度，得到該自由度和置信度下的t界值代入公式，如此反復(fù)。當(dāng)?shù)昂笳麛?shù)部分不變化時即停止，最后結(jié)果即為所求的樣本量。該過程較為繁瑣，但借助計算機的幫助已能輕松實現(xiàn)。在實際應(yīng)用場景中，由于臨床試驗的樣本量一般較大，且考慮到試驗中可能出現(xiàn)的脫落及剔除，大多會在原有樣本量的基礎(chǔ)上增加10%～20%。在樣本量較大的情況下，t分布界值接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布界值，為應(yīng)用方便，可以直接使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z_1－α/2界值替代t_{（n－2），1－α/2}^［11］。此外，在基于回歸系數(shù)和回歸常數(shù)進(jìn)行定量一致性判斷時，由于需要同時滿足兩個參數(shù)的置信區(qū)間的要求，故需對兩個參數(shù)假設(shè)檢驗的檢驗水準(zhǔn)和檢驗效能進(jìn)行平均分配。故公式<1>和<2>可以轉(zhuǎn)化為：

此外，根據(jù)本公式推導(dǎo)原理，回歸常數(shù)b₀和回歸系數(shù)b₁應(yīng)同時滿足置信區(qū)間及一致性界限的要求。這類似于臨床等效性試驗中的有關(guān)情形，在等效性試驗中，其假設(shè)檢驗采用的是雙單側(cè)檢驗^［12］，在雙單側(cè)檢驗中涉及到交-并檢驗的方法^［13］，即當(dāng)多重檢驗的每個原假設(shè)均被拒絕時才可拒絕原假設(shè)，此時無需對檢驗水準(zhǔn)α進(jìn)行校正。本研究同理，因?qū)₀和b₁兩個參數(shù)的假設(shè)檢驗均為雙單側(cè)檢驗，因此，無需對兩參數(shù)各自假設(shè)檢驗的第I類錯誤進(jìn)行校正；而對于第Ⅱ類錯誤，對b₀和b₁的置信區(qū)間同時滿足一致性界限的要求可能會導(dǎo)致總體一致性評價假設(shè)檢驗的第Ⅱ類錯誤增加，使總的檢驗效能下降。因此，在實際應(yīng)用中，建議適當(dāng)增加檢驗效能的標(biāo)準(zhǔn)，如選擇（1－β）×100%=90%，以避免檢驗效能降低帶來的假陰性結(jié)果風(fēng)險。

本研究推導(dǎo)的公式是首個用于回歸法定量一致性評價的樣本量公式，為回歸法在定量資料一致性評價中的應(yīng)用提供了方法學(xué)支持。

利益沖突 所有作者聲明無利益沖突

作者貢獻(xiàn)聲明 陳飛龍：文章構(gòu)思與設(shè)計、文章撰寫、公式推導(dǎo)、公式驗證；于淼：資料收集、數(shù)據(jù)審核、格式調(diào)整；徐濤：學(xué)術(shù)指導(dǎo)、項目監(jiān)管

參 考 文 獻(xiàn)

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（收稿日期：2023-02-08）