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        因式分解之十字相乘法

        2024-05-11 05:58:38江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)費(fèi)小羅
        初中生世界 2024年17期
        關(guān)鍵詞:探究

        文/江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 費(fèi)小羅

        小伙伴們,你們一定聽過十字繡吧。十字繡起源于中國唐宋時(shí)期,興于明清,后傳遍世界各地,以“十字”交叉針法為主。你們一定很好奇,十字繡與因式分解有什么不解之緣呢?且聽我娓娓道來。

        多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中,有這樣一種類型,如:

        小伙伴們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律:結(jié)果中的二次項(xiàng)系數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)相乘得來,一次項(xiàng)系數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)相加得來,最后的常數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)相乘得來,即(a+p)(a+q)=a2+qa+pa+pq=a2+(p+q)a+pq(如圖1)。這個(gè)規(guī)律就是因式分解的“十字相乘法”,與十字繡中的“十字”交叉針法有異曲同工之妙。

        圖1

        下面,我嘗試運(yùn)用“十字相乘法”對(duì)多項(xiàng)式a2+7a+12進(jìn)行因式分解。

        該多項(xiàng)式為二次三項(xiàng)式,很明顯,不能運(yùn)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。我將上述兩個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”(如圖2)。

        圖2

        兩個(gè)整數(shù)相乘,結(jié)果為12,有6 種情況,即12=(+1)×(+12)=(-1)×(-12)=(+2)×(-6)=(-2)×(+6)=(+3)×(+4)=(-3)×(-4)。但上述6 種情況中,相加得7 的兩個(gè)整數(shù)只有(+3)和(+4),所以a2+7a+12=(a+3)(a+4),如圖3。

        圖3

        “十字相乘法”有個(gè)口訣:拆兩邊,湊中間,豎著拆,橫著寫。如因式分解a2-a-12,先“拆兩邊”,對(duì)“頭、尾”分解:a2通常拆成a×a,-12 拆成(+3)×(-4)等;再“湊中間”,即把上面拆解的系數(shù)進(jìn)行交叉相乘后的值,再相加,看看哪種情況等于中間項(xiàng)的系數(shù)。(+3)+(-4)恰好等于-1,故a2-a-12=(a+3)(a-4)(如圖4)。

        圖4

        上文列舉的多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)都為1,那如果多項(xiàng)式二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢?如多項(xiàng)式2a2-5a-12。其實(shí)啊,方法是一樣的,只是“兩邊”拆分的種類多一點(diǎn),“湊中間”時(shí)多試試就行。對(duì)于多項(xiàng)式2a2-5a-12,2a2通 常 拆 成2a×a或a×2a,-12 拆成(-1)×(+12)或(+1)×(-12)或(-2)×(+6)或(+2)×(-6)或(-3)×(+4)或(+3)×(-4)。按圖3 的方式,我們通過多次“組合”,便得到想要“湊”的數(shù),如圖5。所以2a2-5a-12=(2a+3)(a-4)。

        圖5

        小伙伴們,用“十字相乘法”因式分解,除了掌握方法外,還需要一點(diǎn)耐心,特別是遇到多種組合時(shí),要耐心地多試幾次哦,這樣才能尋找到我們要的“湊中間”的數(shù)。另外,還有一種“十字相乘法”的進(jìn)階:雙十字相乘法,如3x2+4xy-4y2+8x-8y-3,感興趣的小伙伴可以進(jìn)一步探究哦。在探究過程中,你肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

        教師點(diǎn)評(píng)

        數(shù)學(xué)無處不在。小作者在生活中仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)十字繡與“十字相乘法”在名稱和“外形”上的相似之處,發(fā)現(xiàn)并描述了“十字相乘法”的原理,雙向逆推,還用圖標(biāo)生動(dòng)形象地把“十字相乘法”可視化,值得大家學(xué)習(xí)。

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