王世郭 整理

“完美正方形”是指一個(gè)大正方形可以分割成一些邊數(shù)各不相等且邊長為整數(shù)的正方形。分割成的小正方形的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)完美正方形的階。

1936 年，英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的四個(gè)學(xué)生塔特、斯通、布魯克斯、史密斯對“完美正方形”產(chǎn)生了濃厚興趣。他們四人致力于尋找一個(gè)實(shí)際的“完美正方形”，但是幾經(jīng)失敗后也開始懷疑“完美正方形”是否存在。正當(dāng)他們一籌莫展的時(shí)候，德國的一位數(shù)學(xué)家找到了一個(gè)由55 個(gè)不同整數(shù)邊正方形組成的大正方形，被稱為“55 階完美正方形”。于是，他們很快改變了自己的研究方向，之后致力于尋找更小階數(shù)的完美正方形，并終于找到了一個(gè)由39 個(gè)不同整數(shù)邊正方形組成的大正方形，被稱為“39 階完美正方形”。1964 年，塔特的學(xué)生威爾遜博士找到了一個(gè)25 階的完美正方形（如圖1，圖中數(shù)字表示小正方形的邊長）；12 年后，威爾科克斯找到24 階完美正方形（如圖2）；1978 年，荷蘭特溫特大學(xué)的數(shù)學(xué)家杜依維斯廷用大型電子計(jì)算機(jī)算出了一個(gè)21階的完美正方形（如圖3）。

圖1

圖2

圖3

其實(shí)，早在1962 年，荷蘭數(shù)學(xué)家丟伐斯丁就證明了小于或等于19 階的完美正方形不存在；1978 年，他又證明了20 階的完美正方形不存在。因此，21階完美正方形是完美正方形的盡頭。但數(shù)學(xué)家的研究并沒有停止，他們又研究了不同大小正方形是否可以填充整個(gè)平面的問題。此外，他們還將完美剖分的問題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環(huán)面和克萊因瓶上，也取得了許多有趣的成果。