張帆，程伯晗，王鵬，*，董磊

1.中國民航大學 民航航空器適航審定技術(shù)重點實驗室，天津 300300

2.中國民航大學 科技創(chuàng)新研究院，天津 300300

3.中國民航大學 安全科學與工程學院，天津 300300

隨著航空系統(tǒng)中裝備的可靠性不斷提高，國產(chǎn)機載系統(tǒng)呈現(xiàn)高可靠、長壽命等特征，且缺乏失效數(shù)據(jù)，因此基于退化的建模方法被認為是評估系統(tǒng)可靠性有效的方法［1-5］。同時為保證飛行安全，航空系統(tǒng)多具有余度設(shè)計，系統(tǒng)中存在多組件共同支持系統(tǒng)運行。傳統(tǒng)對于多組件系統(tǒng)的研究基于組件的獨立性，然而由于組件的結(jié)構(gòu)相關(guān)性、運行條件一致性等原因，其退化性能可能會存在隨機依賴關(guān)系，這種隨機依賴關(guān)系主要存在于兩方面［6］：①退化進程中的相互影響關(guān)系。組件當前的退化量可能會影響其他組件的退化進程；② 組件失效的影響。最典型的為共載系統(tǒng)中組件負載分擔關(guān)系。目前已存在大量文獻分別對這兩種隨機依賴關(guān)系進行研究。

在對多元相關(guān)退化的建模中，Copula 函數(shù)是一類運用廣泛的方法。文獻［7］以Wiener 過程與Gamma 過程描述退化失效過程，選擇合適的Copula 函數(shù)對多元退化失效相關(guān)性進行退化建模；文獻［8］由漂移布朗運動得到目標退化模型，利用基于Vine-Copula 的多變量損傷耦合建模方法，建立了失效行為建模的相關(guān)描述模型；文獻［9］改進了Vine-Copula 函數(shù)來描述性能參數(shù)之間的相關(guān)性；文獻［10］在Wiener 過程與Gamma 過程的基礎(chǔ)上，將退化過程分為線性與非線性，加入了外部因素，后用Copula 函數(shù)表述性能參數(shù)之間的相關(guān)性。然而如何選擇合適的Copula 函數(shù)以及如何驗證其準確性仍是待解決的難題。

將退化增量分為自身退化增量部分和相互作用影響增量部分為另一種常用的方法［11-13］，文獻［12-13］將相互作用影響增量部分的相關(guān)性運用了一個固定冪律公式表述。文獻［14］利用因子分析法來描述相互作用影響增量部分的隨機依賴關(guān)系。此外，還有部分學者通過退化速率對退化相互作用的影響進行建模［15-18］，由相互作用系數(shù)表述影響程度，可以得出退化模型的數(shù)學表達式。研究［19-20］將這種依賴關(guān)系歸結(jié)為共因退化進行分析。但這類模型沒有建立關(guān)于部件退化過程相互影響的解析模型，也未得到相應的退化過程顯式模型，這限制了對該方法的深入研究和使用。

在負載分擔模型方面，大多注重于負載分配機制問題，在負載分擔系統(tǒng)可靠性評估和壽命預測方面則采用傳統(tǒng)的壽命統(tǒng)計方法［21-22］。針對缺失壽命數(shù)據(jù)的情況，將退化模型引入負載分擔系統(tǒng)是一種可行的方法。文獻［23］研究負載分擔系統(tǒng)組件故障后前后狀態(tài)之間的依賴關(guān)系，采用了Wiener 退化過程，并加入了鏈接函數(shù)來體現(xiàn)應力改變對漂移參數(shù)的影響。文獻［24］通過設(shè)置應力系數(shù)，將其加入Wiener 退化模型分析了共載系統(tǒng)的可靠性和壽命預測。文獻［25］在組件退化的基礎(chǔ)上，考慮了隨機沖擊的影響，分析了共載系統(tǒng)的可靠性。文獻［26］研究了共載系統(tǒng)中退化速率與沖擊載荷的關(guān)系，說明退化速率的改變使系統(tǒng)可靠性顯著降低。值得注意的是，這類基于退化的共載系統(tǒng)研究，僅針對單一性能參數(shù)或組件進行退化建模。建模思路與多階段退化模型類似，如文獻［24］中的圖1，存活組件呈現(xiàn)多階段特性，退化拐點為組件失效時間。

圖1 雙組件共載系統(tǒng)退化過程Fig.1 Two-component load-sharing system degradation process

綜上所述，目前基于退化模型的共載系統(tǒng)的研究中，大多集中于負載變換后不同階段退化的相關(guān)性以及內(nèi)、外部應力對退化的影響方面；而基于退化模型進行多組件系統(tǒng)可靠性分析時，多元相關(guān)性退化模型得到廣泛引用，但組件之間有除串聯(lián)外的多種關(guān)聯(lián)方式以及其他因素（負載分擔）對組件退化進程的影響，使得多元相關(guān)退化模型在進行如共載系統(tǒng)的可靠性分析時會出現(xiàn)偏差。因此針對共載系統(tǒng)中存在二元退化相關(guān)的可靠性分析問題，提出了一種兩階段退化模型，并給出了系統(tǒng)可靠性和壽命評估方法，能夠?qū)崿F(xiàn)兩種依賴關(guān)系影響下系統(tǒng)的可靠性分析與剩余壽命預測。

1 問題描述

在多組件系統(tǒng)退化可靠性分析中，對組件間退化關(guān)聯(lián)性的研究是十分重要的。存在一種并聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)組件按照一定的規(guī)律各自承擔整個系統(tǒng)的一部分負載。其中一個組件失效時，存活組件會按照一定的規(guī)律重新分配負載，當失效組件達到某一數(shù)量時，系統(tǒng)會表現(xiàn)出故障狀態(tài)，這種系統(tǒng)稱為共載系統(tǒng)。分析可知共載系統(tǒng)中組件會因負載分配策略而改變退化速率，從而呈現(xiàn)出階段性退化的特點。

圖1 為某雙組件共載系統(tǒng)退化過程。第一階段時，二者共同承擔任務負載。當其中退化較快的組件到達失效閾值發(fā)生故障后退出系統(tǒng)，存活組件因承擔所有負載導致工作負荷加重，退化速率改變，出現(xiàn)變點。第二階段由存活組件承擔負載直至其到達失效閾值，系統(tǒng)失效。

因此在多組件系統(tǒng)退化可靠性分析中，若在構(gòu)建相關(guān)性退化模型時忽略了階段性變化，將使可靠性預測結(jié)果偏離實際。在考慮退化關(guān)聯(lián)性的情況下對共載系統(tǒng)進行退化建模和可靠性分析，為組件退化過程和共載系統(tǒng)設(shè)立以下基本假設(shè)。

1.1 退化過程基本假設(shè)

1）組件僅存在退化失效，組件退化過程服從Wiener 過程，退化過程為增長趨勢，初始退化量為0。

2）組件的退化水平超過其失效閾值時，認為該組件失效，且不再影響其他組件的退化進程。

3）組件只在工作應力下開始退化，工作應力恒定的情況下，自身退化速率不變。

4）組件兩階段退化變點處的退化進程是連續(xù)的，不存在躍遷。

5）退化進程是可觀測的，即可知組件失效的先后順序。

1.2 二元共載系統(tǒng)假設(shè)

1）共載系統(tǒng)中包含有兩個組件，故障閾值相同，采用并聯(lián)的連接方式。當兩個組件都失效時，系統(tǒng)失效。

2）系統(tǒng)載荷采用均分的方式分配給各個部件。一旦有組件失效，系統(tǒng)的載荷將由存活組件承擔。

3）系統(tǒng)組件出現(xiàn)階段性特征的條件是存在組件失效，使負載重新分配，在不考慮組件同時失效的情況下，可認為階段變點前系統(tǒng)是可靠的。

4）若存在組件替換，則組件失效即可替換且只替換一次，忽略更換時間。替換組件具有相同的故障閾值，初始退化量為0。

2 雙組件共載系統(tǒng)兩階段退化過程建模

在分析雙組件共載系統(tǒng)的退化過程時，需同時考慮組件之間的相互影響對于退化進程的影響和共載狀態(tài)下組件失效導致剩余組件退化速率的變化，基于此建立退化速率相關(guān)性的雙組件共載系統(tǒng)兩階段退化模型。

2.1 基于Wiener 過程的退化模型

2.1.1 一元Wiener 退化模型

根據(jù)Wiener 過程的定義，首先建立單個組件的退化模型，設(shè)組件的退化量為Xi(t)，i=1，2。定義組件i 的退化過程為非線性Wiener 退化過程［27］：

式中：ui(t)為組件的退化軌跡數(shù)學表達式；Bi(t)為布朗運動，表示退化過程中的不確定性；σi為擴散參數(shù)；函數(shù)φi(t；θ)為組件的退化速率，θ 表示影響退化過程相關(guān)參數(shù)的集合?？梢园l(fā)現(xiàn)當φi(t；θ)為一常數(shù)時，該模型為線性Wiener 退化過程。

2.1.2 二元Wiener 退化模型

設(shè)兩個組件的退化量由相關(guān)的二元Wiener過程X(t)=[ X1(t)，X2(t)]T描述，結(jié)合式（1），退化模型為

2.2 退化速率相關(guān)性模型建立

設(shè)組件退化速率包括：

1）βi，i=1，2，表示組件在工作應力下的退化率參數(shù)，當工作應力改變時，βi會隨之改變。

2）g(Xj(t)，μij)i≠j，i，j=1，2，其 中g(shù)(?) 表示系統(tǒng)中兩個組件退化速率相互作用的數(shù)學表達式，μij表示組件j 對組件i 退化的影響程度，設(shè)為影響相關(guān)參數(shù)。μij的大小表示著影響程度的大小，μij為0 時表示無影響，μij為負數(shù)時表示退化影響存在抑制作用。

因此根據(jù)式（1），退化速率φi(t；θ)可表示為φi(t；βi，g(Xj(t)，μij)i≠j)，此時單 組件的 退化模型中退化路徑模型可改寫為

分析可知得出uip(t)的解析形式是推導出退化進程Xi(t)退化模型的關(guān)鍵，但Wiener 退化模型中含有布朗運動，存在隨機性，所以很難推導出精確的Xi(t)解析表達形式。結(jié)合式（1）由Wiener 退化過程的特性可知退化路徑代表著退化的趨勢，可將隨機布朗運動視作退化過程中的噪聲［27］，在分析推導退化路徑函數(shù)時去掉該類隨機項的影響，因此可分別近似得到組件1和組件2的退化速率表達式（4）。

在已知各函數(shù)形式的情況下，可通過一階微分方程組得出退化率相互作用模型的解析形式：

式中：φ1、φ2為組件1和組件2 的退化速率函數(shù)。

根據(jù)式（4）可以看出，組件之間的相關(guān)性是通過uip(t)來表述的，當給定一個時刻時，uip(t)是確定值。同時根據(jù)式（4）可得到退化速率中不包含uip(t)的退化模型的解析解形式，因此可認為得到解析解后的退化模型是相互獨立的［18］，在二元Wiener 退化模型的基礎(chǔ)上結(jié)合式（4），可得到雙組件退化速率相關(guān)性退化模型：

式中：up(t)=[u1p(t)，u2p(t)]T為退化路徑向量；∑p=diag(σ12，σ22)為兩個組件的退化量方差矩陣。

2.3 雙組件共載系統(tǒng)分階段退化模型建立

1）考慮一般情況

假設(shè)組件i 在τi時刻因負載變化導致退化速率發(fā)生變化，組件退化過程即分成兩階段，若考慮隨機因素與負載之間的相互作用，則模型中的擴散參數(shù)也隨之改變。因此首先給出單組件兩階段的退化模型，結(jié)合式（1）可得Xi(t)的表達式為

式中：ui2為第二階段退化路徑表達式；σi2為第二階段的擴散參數(shù)；τi為變點時刻。

對于雙組件共載系統(tǒng)，由分析可知當雙組件均處于正常工作狀態(tài)時，共同分擔負載，組件間存在相互影響關(guān)系，影響著彼此的退化進程。當其中一個組件失效時，存活組件負載變化，其退化會出現(xiàn)兩階段的特性，同時可知，階段變點時刻即為組件失效時刻，此時變點時刻τ1為組件1的壽命。設(shè)組件1 最先失效，其失效時間為t1，由上述分析有t1=τ1，結(jié)合式（5）和式（6）可得到雙組件共載兩階段退化模型X(t)的表達式為

式中：u22(t-t1)為組件2 第二階段的退化軌跡；σ22為組件2 第二階段的擴散參數(shù)。

2）考慮更為復雜的情況

圖2 為考慮組件替換時的退化過程，以式（7）建立的模型為基礎(chǔ)進行擴展分析。組件1 失效后立即替換，此時雙組件退化進程仍保持相互影響的狀態(tài)，共同分擔負載。故退化分為3 個階段：

第一階段在組件1 到達壽命τ1之前，雙組件退化模型符合式（5）。

第二階段更換失效組件后，設(shè)更換件的退化模型為

式中：X1s(t)為替換組件1 的退化量；u1s(t-t1)為替換組件1 的退化路徑；σ1s為換組件1 的擴散參數(shù)；B1s(t-t1)為替換組件1 的布朗運動。此時系統(tǒng)仍處于負載分擔階段且相互影響，由式（4）知組件間的影響因素與組件的退化量相關(guān)，替換后組件退化量減小使組件2 的退化進程減緩，因此組件2 會在替換時刻出現(xiàn)階段特性，結(jié)合式（3），該階段的退化路徑模型為

式中：β1s表示替換組件1 工作應力下的退化率參數(shù)；u2s(t-t1)表示替換組件后，組件2 的退化路徑；X2s(x)表示替換組件后，組件2 的退化量；φ1s為替換組件1 的退化速率函數(shù)；φ2s為替換組件后，組件2 的退化速率函數(shù)。

第三階段替換組件1 后設(shè)組件2 先失效，替換組件1承擔全部負載，退化會出現(xiàn)兩階段的特性，階段變點為組件2失效時刻，失效時間為t2，由上述分析有t2=τ2，結(jié)合式（5）、式（8）和式（9）得到考慮組件替換后，雙組件共載兩階段退化模型X(t)表達式為

式中：us(t-t1)=[u1s(t-t1)，u2s(t-t1)]T為退化路徑向量；∑s=diag(σ1s2，σ22)為兩個組件的退化量方差矩陣；u1s2為替換組件1 第二階段退化路徑表達式；σ1s2為替換組件1 第二階段的擴散參數(shù)；τ2為組件2 的壽命。

3 基于退化速率相關(guān)性的共載系統(tǒng)可靠性分析

雙組件系統(tǒng)在分析壽命分布和可靠度時，由于組件之間的相互影響以及組件失效帶來的負載變化，導致剩余組件退化速率發(fā)生變化，系統(tǒng)的壽命以及可靠度無法由簡單的獨立關(guān)系得出。因此建立基于退化速率相關(guān)性的共載系統(tǒng)可靠性模型，并建立剩余壽命模型以用于剩余壽命預測。

3.1 可靠性模型

3.1.1 單組件可靠性模型

對于式（1），當φi(t；θ)為一常數(shù)βi時，式（1）為標準的線性Wiener 過程，設(shè)故障閾值為D，其壽命分布由逆高斯分布［27］給出：

其概率密度函數(shù)為

然而在一般情況下，式（1）是一個非線性Wiener 過程，在這種情況下，時間-尺度變換是一種線性變換方法，比如et、tb等，通過線性化簡便壽命分布的推導并減小后續(xù)參數(shù)估計的困難。但并非所有函數(shù)都能做線性化處理，使得很難推導出精確的非線性Wiener 過程首達時間分布函數(shù)的一般形式。對于非線性Wiener 過程文獻［28］基于Kolmogorov 方程推導出了Xi(t)首次達到失效閾值D 時間的近似概率密度函數(shù)：

可靠性模型為Ri(t)=1-Fi(t)。

3.1.2 單組件兩階段可靠性模型

對于服從Wiener 過程的單組件兩階段退化模型，一般可靠性模型也采用分段的描述，以線性Wiener 過程為例，在僅考慮在第二階段失效的情況下結(jié)合式（6），令階段變點為τi，Xi(τi)=xi，組件的壽命分布［29-30］為

然而式（14）中xi作為第二階段退化進程的初始退化量，是隨機的且服從正態(tài)分布，忽略這一特性可能會限制兩階段系統(tǒng)可靠性評估的準確性［31］。為了克服這一局限性，構(gòu)建新的兩階段系統(tǒng)可靠性模型，首先建立僅考慮第二階段失效的情況下的壽命分布：

3.1.3 雙組件共載系統(tǒng)可靠性模型

1）考慮一般情況：設(shè)雙組件共載系統(tǒng)的系統(tǒng)壽命累積分布函數(shù)為F(t)，組件1 與組件2 的壽命分別為τ1、τ2，則系統(tǒng)壽命分布表示為：F(t)=P{τ1≤t，τ2≤t}。在第一階段可靠的條件下，設(shè)τ1<τ2。在t1=τ1時，變點與失效組件的失效點一致，存活組件的變點是由于組件失效產(chǎn)生的，故變點是隨組件的失效時間而改變，因此可認為變點的概率密度函數(shù)fτ1(t1)與失效組件的壽命概率密度函數(shù)一致，結(jié)合式（15）得系統(tǒng)的壽命分布：

式中：x2為存活組件X2在變點τ1處的退化量值；(x2，t1)為變點時間和存活組件退化量的聯(lián)合概率分布。

分析P{τ1≤t，τ2≤t|τ1=t1，X2(τ1)=x2}可發(fā)現(xiàn)，在給定τ1的情況下，有X2(τ1)=x2，該條件符合初始值為x2的退化過程，可描述為

對比式（7）可知該條件概率所描繪的為存活組件第二階段的退化過程，同時這也證明了在并聯(lián)系統(tǒng)中，影響系統(tǒng)壽命的是系統(tǒng)中壽命更長的組件，即可得出第二階段存活組件的壽命累積分布函數(shù)，P{τ1≤t，τ2≤t|τ1=t1，X2(τ1)=x2}可改寫 為P{X22(t-t1)≥D-x2}=F2(t-t1)，F(xiàn)2(t-t1)為組件2的壽命分布，結(jié)合式（14）即可得出其表達式。

因組件之間不是獨立的，在同時考慮x2與t1的隨機性時，兩個條件概率分布(x2)和(t1)之間存在相關(guān)性，在統(tǒng)計學上，需考慮為二者的聯(lián)合概率分布(x2，t1)。通過2.2節(jié)的描述可知，在引入退化速率相互作用模型，得出的新的退化模型解析式后，可認為兩個組件是獨立的，其相關(guān)系數(shù)為0，因此可得(x2，t1)=(x2) fτ1(t1)。其中，fτ1(t1)為組件1 的壽命 概率密度函數(shù)，結(jié)合式（12）或式（13）可得(x2)為X2退化量在τ1處的退化量分布，由Wiener 過程的數(shù)學特性，該變量服從正態(tài)分布：

綜上所述，在式（16）的基礎(chǔ)上，共載系統(tǒng)的系統(tǒng)壽命分布為

系統(tǒng)的壽命密度函數(shù)為

系統(tǒng)可靠度R(t)為

式中：f2(t-t1)為第二階段退化過程的壽命分布密度函數(shù)。

2）考慮組件替換的情況：

與無組件替換的分析方法類似，分為三階段討論：①通過圖2 分析可知，替換組件的起始退化時間與失效組件1 的失效點一致，服從組件1 的壽命分布；②因退化量改變，組件2 出現(xiàn)退化變點，該變點由于組件替換產(chǎn)生的，故變點是隨組件1 的失效時間而改變。在組件2 失效前，替換組件與組件2 相互影響；③替換組件的變點是由于組件2 失效產(chǎn)生的，故變點是隨組件2 的失效時間而改變。設(shè)替換組件壽命為τs，結(jié)合式（16）得系統(tǒng)的壽命分布：

式中：x1s為存活的替換組件1 在變點τ2處的退化量值(x1s，t2)為變點時間和替換組件退化量的聯(lián)合概率分布。

與式（16）的分析方法一致，對式（23）進行分析，P{τ2≤t，τs≤t|τ2=t2，X1s(τ2-τ1)=x1s} 可改寫為P{X1s(t-t2)≥D-x1s}=F1s(t-t2)。獨立性(x1s，t2)=(x1s)(t2)，其中(x1s)為X1s退化量在τ2處的退化量分布，由Wiener 過程的數(shù)學特性，該變量服從正態(tài)分布。(t2)為組件2 的壽命概率密度函數(shù)，由上述分析可知其存在階段性，與組件1 失效有關(guān)，故(t2)為組件2 的剩余壽命概率密度函數(shù)，結(jié)合式（22）的分析方法，可得其表達式。

綜上，組件替換情形作為雙組件共載系統(tǒng)分階段退化模型的拓展，其退化模型建立與可靠性分析均與雙組件共載系統(tǒng)分階段退化模型類似，因此后續(xù)工作將以雙組件共載系統(tǒng)分階段退化模型為重點進行分析。

3.1.4 模型數(shù)值求解

式（21）是復雜二重積分，無法得到積分原函數(shù)，難以推導出可靠性的解析解形式。因此采用蒙特卡洛模擬的方法，具體的流程如圖3所示。

圖3 積分近似計算過程Fig.3 Integral approximation process

由圖3 所求f 為各離散點處密度函數(shù)之和，令積分域為S，則各離散化面積為S/(n1×n2)，可得該二重積分的數(shù)值解為(S×f)/(n1×n2)，采樣的值越多，計算結(jié)果越精確。

3.2 模型參數(shù)估計

由式（3）給出的退化模型中，對于組件i，待估參數(shù)有｛βi，μij，σi｝。為不失一般性，假設(shè)雙組件的初始退化模型均為線性模型，且組件間相互影響關(guān)系也為線性關(guān)系，則可得退化軌跡表達式：在可觀 測的情況下已知組件退化順序，設(shè)組件1 先達到失效閾值，雙組件的初始退化量為均0。根據(jù)式（7）可得退化模型X(t)為

式中：uL(t)=[u1L(t)，u2L(t)]T；方差矩陣∑L=diag(σ12，σ22)；β22為組件2 第二階 段的退化率參數(shù)。

采用極大似然方法，估計式（24）退化模型的參數(shù)。一般的退化速率相互影響估計方法采用定時截尾退化數(shù)據(jù)，而該方法需根據(jù)組件失效閾值對退化數(shù)據(jù)進行預處理，以變點為時間節(jié)點將退化數(shù)據(jù)分成兩部分，用以估計不同階段模型的參數(shù)。設(shè)觀測間隔時間為一定值Δt，有8 個待估未知參數(shù){ β1，β2，β22，μ12，μ21，σ1，σ2，σ22}。此模型類似于兩階段退化模型，兩階段退化模型含有退化拐點，一般認為拐點是隨機變量且缺乏完全數(shù)據(jù)，參數(shù)估計十分困難。而該模型中的退化變點與組件1 的失效時間有關(guān)，變點分布與組件1 的壽命分布一致，所以該模型可根據(jù)組件1 的壽命分布，對變點及其分布參數(shù)進行估計。

由Wiener 退化過程的數(shù)學特性可知，Wiener退化過程具有獨立增量，且滿足正態(tài)分布。則ΔX 在不同階段下的概率密度函數(shù)［18］為

其中，平均增量Δui為

式中：Δxi為退化增量。

可以計算得到觀測數(shù)據(jù)的似然函數(shù)中各項，第一階段組件1和組件2 的似然函數(shù)和第二階段組件2 的似然函數(shù)如式（26）所示。

將同一類型多個組件實際的退化增量數(shù)據(jù)代入后，對該類型似然函數(shù)求和，即可得到同類型的總體似然函數(shù)，再對待估計參數(shù)求偏導，從而得到各參數(shù)的點估計值。為滿足參數(shù)的無偏性，需對各參數(shù)進行無偏性檢驗。根據(jù)正態(tài)分布的特性，在均值參數(shù)與方差參數(shù)均未知時，均值參數(shù)是無偏的，方差參數(shù)需根據(jù)樣本數(shù)進行修正。

根據(jù)Cayley-Hamilton 定理，結(jié) 合式（4）和式（24），可推導出第一階段退化速率相互作用模型退化路徑解 析解式（27）。將參數(shù){β1，β2，μ12，μ21，σ1，σ2}代入式（27）中，結(jié)合式（24）即可得到第一階段退化模型。再將估計的參數(shù){ β22，σ22}代入式（24）中，可得第二階段退化模型。

3.3 剩余壽命預測

若系統(tǒng)運行到tk時刻還沒有失效，則其剩余壽命可定義為

由于性能參數(shù)退化過程的不確定性，導致產(chǎn)品的剩余壽命具有隨機性。從實際應用的角度來看，需要得到剩余壽命的概率密度函數(shù)。同時基于雙階段模型，變點前后退化模型不同，因此需根據(jù)觀測點建立不同的剩余壽命的概率密度函數(shù)，分為變點前觀測與變點后觀測兩種情況。此處對于雙組件系統(tǒng)假設(shè)τ1<τ2。

設(shè)定系統(tǒng)從t1到tn時刻線性能退化數(shù)據(jù)為

情況1當X1(tk)

結(jié)合式（13）和式（18），可分別得出tk后組件1 的變點處的剩余壽命分布和退化量分布：

第二階段的剩余壽命分布不變，結(jié)合式（29）和式（30），可最終得出系統(tǒng)的剩余壽命分布的概率密度函數(shù)：

由式（19）和式（22）得X1(tk)

情況2當X1(tk)>D時

系統(tǒng)剩余壽命即為存活組件2 的剩余壽命。結(jié)合式（7）和式（14），可推出系統(tǒng)的剩余壽命分布為

4 算例分析

4.1 系統(tǒng)概述

4.1.1 案例描述

利用實際的退化數(shù)據(jù)驗證提出雙階段退化模型和可靠性模型。一般的飛機系統(tǒng)中，多采用多余度設(shè)計，以保障飛機飛行的安全性。兩個航空液壓組件構(gòu)成飛機內(nèi)部的傳動裝置，共同驅(qū)動同一組件工作，因此兩個液壓組件構(gòu)成了一個共載系統(tǒng)。液壓組件因工作應力或振動等可能產(chǎn)生疲勞裂紋，當其疲勞裂紋到達某一閾值時，伺服燃油發(fā)生泄漏，液壓組件故障，因此兩個組件的疲勞裂紋退化信號可看作該共載系統(tǒng)的兩個性能參數(shù)。案例數(shù)值數(shù)據(jù)取自文獻［32］，將每百萬循環(huán)沖擊次數(shù)看作時間。退化路徑如圖4 所示，展示了10 組共載系統(tǒng)中組件的退化過程。

圖4 疲勞裂紋退化數(shù)據(jù)Fig.4 Fatigue crack degradation data

具有兩個液壓組件的飛機傳動裝置共載系統(tǒng)故障是由兩個階段退化過程觸發(fā)的，從其中一個組件故障，到兩個組件故障使系統(tǒng)失效。在第一階段，由于共同應力環(huán)境，兩個性能參數(shù)的退化過程是相關(guān)的。在第二階段，生存組件承擔所有傳動任務，因此，組件的退化速率改變，這種現(xiàn)象可以從圖4 中觀察到。當兩個組件的退化程度都達到它們的閾值時，飛機傳動共載系統(tǒng)完全失效［33］。因此，式（7）適用于對該案例進行退化建模。

這10 組退化數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)用以訓練模型進行極大似然估計，得到模型參數(shù)的點估計值；再選取d 組的樣本用于檢驗退化擬合程度的實際數(shù)據(jù)，所選取的樣本具有明顯的階段性特征，符合所研究的背景情況。

4.1.2 系統(tǒng)可靠性分析總體思路

共載系統(tǒng)可靠性分析的總體流程包括：①基于Wiener 退化過程建立考慮負載分擔的退化速率相互作用模型，得出退化解析形式；②根據(jù)退化模型與依賴耦合關(guān)系建立共載系統(tǒng)的可靠性模型，并基于極大似然估計與蒙特卡洛仿真的方法求解。整體思路如圖5 所示。

圖5 雙組件共載系統(tǒng)可靠性分析方法Fig.5 Reliability analysis method for two-component load-sharing system

4.2 退化過程分析

4.2.1 建立退化模型

為了說明所建立模型的有效性，將進一步開展對比研究。設(shè)考慮負載分擔的雙組件退化速率相關(guān)性模型為M1；不考慮負載分擔，僅考慮雙組件退化速率相關(guān)性的模型為M2［16］。對于組件退化速率相互作用的連續(xù)函數(shù)模型g(Xj(tj)，μij)i≠j，因為組件間多種隨機影響g(Xj(tj)，μij)i≠j十分復雜，故采用泰勒展開取第一項，M2 與M1第一階段退化模型一致。在假設(shè)M1 中組件1 先達到閾值的情況下，設(shè)組件1 失效時刻為τ1，其失效時間為t1，由上述分析有t1=τ1，M1 的退化模型為式（24），M2 的退化模型為

式中：β1′、β2′為組件1和組件2 工作應力下的退化速率；μ12′、μ21′為組件1和組件2 退化影響相關(guān)參數(shù)；σ1′、σ2′為組件1和組件2 的擴散參數(shù)。

4.2.2 參數(shù)估計

首先對這組數(shù)據(jù)做預處理，令其初始退化量從0 開始。假設(shè)當退化水平達到0.3，即各組件的失效閾值D=0.3時，視為組件故障。首先對M1進行參數(shù)估計，利用3.2 節(jié)給出的似然估計方法以及式（26），對圖4 中的退化數(shù)據(jù)進行處理，根據(jù)組件1 的失效時刻將退化數(shù)據(jù)分為兩個階段，分別對式（24）中兩個階段退化模型的參數(shù)進行估計。M2 則利用一般的定時截尾退化數(shù)據(jù)［16］，結(jié)合式（26）得到式（34）的參數(shù)估計值。表1 給出了M1和M2 的參數(shù)點估計值，結(jié)合式（27）即可得到M1和M2 退化模型中退化路徑的解析形式，再結(jié)合式（24）和式（34），可得到完整的雙組件Wiener退化過程。

表1 模型未知參數(shù)估計及模型比較Table 1 Model unknown parameter estimation and model comparison

4.2.3 結(jié)果分析

為了對比M1和M2 中退化路徑對實際退化路線的擬合程度，以赤池信息準則（Akaike Information Criterion，AIC）和貝葉斯信息準則（Bayesian Information Criterion，BIC）來衡量模型擬合數(shù)據(jù)的優(yōu)良性，AIC和BIC 值越小，模型擬合程度越高。M1和M2 的AIC和BIC 值如表1 所示。然后將兩種模型下預期的退化過程與實際的退化過程進行比較，圖6 展示了模型退化路徑的退化過程曲線對比情況，圖7 展示了含有隨機性的完整的Wiener過程下組件退化對比的情況。

圖6 退化路徑模型的退化過程曲線對比圖Fig.6 Comparison chart of degradation process curve for degradation path model

圖7 Wiener 退化過程對比圖Fig.7 Comparison chart of Wiener degradation process

經(jīng)過M1和M2 參數(shù)的估計和模型對比，結(jié)合表1和圖6、圖7 分析可知：

1）M1的AIC和BIC 值更小，說明在共載的情況下，M1 更加符合真實的退化過程。

2）對比M1和M2 中βi和μij數(shù)值可發(fā)現(xiàn)，組件1 因應力產(chǎn)生的退化速率較組件2 更大，且受到組件2 的影響更劇烈，所以組件1 的退化趨勢更加迅速，符合圖6和圖7 中所展示的退化趨勢。

3）結(jié)合圖6 中M1和M2 退化路徑可得，在組件1 到達失效閾值之前，M1和M2 的退化路徑趨勢都比較接近于真實的退化過程趨勢。組件1 失效后，觀察M1 與M2 中組件2 的退化進程，M1 因考慮了負載的變化與組件1 失效所帶來的影響，退化趨勢改變，其后續(xù)退化過程能很好的吻合實際退化過程，而M2 延續(xù)了之前的退化趨勢，隨著時間的推移，與實際退化進程誤差會越來越大。

4）圖7 在圖6 的基礎(chǔ)上加入了標準布朗運動，描繪的是含有隨機性的Wiener 退化過程。對比圖6和圖7 可發(fā)現(xiàn)，在加入隨機性后，M1 的退化趨勢仍比M2 更接近實際退化情況，同時在Wiener 退化過程的基礎(chǔ)上可以直接得到系統(tǒng)的壽命分布，這也體現(xiàn)以Wiener 過程為例的隨機過程在退化模型中運用的優(yōu)越性。

4.3 可靠性分析

4.3.1 系統(tǒng)可靠性分析

由式（24）和式（27）可知，M1 第一階段為非線性退化過程，第二階段為線性退化過程，因此結(jié)合式（15）、式（18）和式（21），代入表1 中的參數(shù)估計值，即可得到M1 的可靠性模型解析形式。

為了驗證式（21）和式（22）的有效性和分析的準確性，將M1 的解析解和模擬解進行了比較。采用蒙特卡洛仿真的方法模擬組件退化過程，結(jié)合組件間相互影響關(guān)系和負載分擔，得到大量系統(tǒng)失效時間從而得出壽命分布與概率密度函數(shù)仿真解。該案例的退化仿真過程流程圖如圖8所示。

圖8 蒙特卡洛退化仿真流程Fig.8 Monte Carlo degradation simulation process

通過退化過程模擬程序和組件失效閾值生成足夠多故障次數(shù)，將失效時間頻率壽命直方圖與式（22）給出的解析壽命密度函數(shù)進行比較，其中模擬過程運行了5 000次，如圖9 所示。

圖9 基于兩種解的系統(tǒng)壽命概率密度對比圖Fig.9 System lifetime probability density comparison plot based on two solutions

由結(jié)果圖仿真數(shù)據(jù)和解析分布對比可以看出，所提的可靠性模型可較為精確地得到系統(tǒng)的壽命分布。同時基于仿真數(shù)據(jù)可得出系統(tǒng)可靠度的仿真解，將可靠度的解析解和仿真解進行比較，如圖10 所示，可見二者結(jié)果吻合較好。

圖10 基于兩種解的系統(tǒng)可靠度對比圖Fig.10 System reliability comparison chart based on two solutions

4.3.2 結(jié)果分析

根據(jù)式（34）可知M2 雙組件退化過程均為非線性，同時結(jié)合2.2 節(jié)的獨立性分析，可得出M2的可靠度模型為

式中：F1(t)、F2(t)為 服從式（13）的累積分布函數(shù)。

在4.3.1 節(jié)分析的基礎(chǔ)上，對比了M1 與M2下系統(tǒng)、組件1和組件2 的可靠度曲線，如圖11所示，其中M1 組件2 的可靠度曲線由式（15）求得。

圖11 M1 與M2 可靠度對比圖Fig.11 M1 and M2 reliability comparison chart

經(jīng)過M1和M2 可靠性曲線的對比分析可知：

1）對比M2 下組件2和系統(tǒng)的可靠性曲線，二者曲線幾乎重合，因此M2 的可靠性模型無法體現(xiàn)組件1 失效對系統(tǒng)可靠性的影響。

2）對比M1和M2 系統(tǒng)可靠度曲線，可以看出M1 可靠性更低，結(jié)合圖6和圖7 可以得出M1比M2 先失效，因此該差距是合理的。

3）對比M1 中組件2和系統(tǒng)可靠性曲線可發(fā)現(xiàn)并不重合，這是因為M1 可靠度模型式（21）中描述了組件1 失效對組件2 退化的影響。同時發(fā)現(xiàn)組件2 的曲線更加陡峭。分析可知，可靠性的陡峭程度反映的為該處壽命密度函數(shù)，越陡峭說明其方差越小，壽命集中于期望附近。因為系統(tǒng)可靠度有組件1 失效的影響，隨機性更強，方差更大。

4.4 剩余壽命分析

首先根據(jù)圖4 的退化數(shù)據(jù)，在除去初始退化時刻后，列出8 個觀測點，根據(jù)組件1 的失效時刻，剩余壽命建模包括：

階段1：當觀測點在組件1 失效之前時，結(jié)合式（31）可得每個觀測點處的剩余壽命的概率密度函數(shù)。

階段2：當觀測點在組件1 失效之后時，結(jié)合式（33）可得每個觀測點處的剩余壽命的概率密度函數(shù)。

根據(jù)建立的模型，分析了不同觀測點處剩余壽命的概率密度函數(shù)，并將觀測點處所預測的剩余壽命期望均值與剩余壽命真實值對比，并給出了剩余壽命期望均值95%區(qū)間估計，如圖12和圖13 所示。

圖12 不同預測時刻系統(tǒng)剩余壽命的概率密度函數(shù)Fig.12 Probability density function of remaining lifetime of the system at different prediction moments

圖13 不同預測時刻系統(tǒng)剩余壽命期望均值與區(qū)間估計Fig.13 Mean and interval estimation of system remaining life expectations at different prediction moments

從圖12 中可以看出，相比而言前幾個時刻的預測結(jié)果與真實值相差較大。從實際出發(fā)可分析到，在系統(tǒng)早期的使用中失效的概率很小，因此早期預測結(jié)果不準確是可以接受的。從整體上看，剩余壽命預測均值近似擬合其真實值，且逐步向真實值逼近，同時結(jié)合圖13 可看出95%區(qū)間估計包含了真實值。為了具體化實際值與預測值之間的差異性，采用相對誤差表述，如表2所示。說明了該模型可適用性，為后續(xù)維修決策等提供了便利。

表2 各觀測點剩余壽命相對誤差值Table 2 Relative error value of the remaining life of each observation point

5 結(jié)論

建立了基于退化相關(guān)的雙組件共載退化模型，在退化進程相關(guān)和負載分擔的情況下預測組件的退化趨勢，并進行系統(tǒng)的可靠性分析。①采用Wiener 退化過程，模擬由于未觀察到的環(huán)境因素或環(huán)境因素對退化過程的未知影響而導致的無法解釋的隨機性，同時具有良好的數(shù)學運算性質(zhì)。②模型具有實際的物理意義，退化速率相互影響模型能夠描述兩個組件退化進程之間的相關(guān)關(guān)系，且能得出退化模型的解析形式。③基于階段性退化過程，構(gòu)建了雙組件共載系統(tǒng)的可靠性模型，同時建立了不同階段下系統(tǒng)的剩余壽命模型。該模型能夠描述組件失效對于系統(tǒng)可靠度的影響。

基于二元退化相關(guān)的共載系統(tǒng)可靠性分析方法綜合考慮了退化相關(guān)性和負載分擔對于系統(tǒng)的影響，給出了基于退化模型的共載系統(tǒng)可靠性解析式。將蒙特卡羅模擬法應用于可靠性分析中，解決了計算可靠性解析解中復雜的多重積分運算情況，為后續(xù)實例驗證提供便利。

所提方法為雙組件共載系統(tǒng)可靠性分析提供了可行思路，提高系統(tǒng)可靠性預測的精度。但更常見的共載系統(tǒng)是基于k-out-of-n 的多組件系統(tǒng)；同時，針對不同類型的組件，應力變化對于退化速率的影響是不同的。因此針對多組件共載系統(tǒng)可靠性及應力與退化速率關(guān)系的進一步分析，提出更通用的退化模型以及更準確的退化速率表達形式，是后續(xù)研究的重點。