文浩, 侯保林

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

機(jī)構(gòu)動作可靠性是指機(jī)構(gòu)在規(guī)定的使用時間和規(guī)定的使用條件下,精確、及時、協(xié)調(diào)地完成規(guī)定動作的能力[1]。機(jī)構(gòu)在制造、裝配和使用階段普遍存在不確定性,如加工誤差、裝配誤差、載荷變化、零部件磨損以及外部擾動等,會導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動作輸出性能存在不確定性。如何對不確定性下的機(jī)構(gòu)動作可靠性進(jìn)行估計是機(jī)構(gòu)動作可靠性分析的重要內(nèi)容。近年來在兵器和航空航天等領(lǐng)域,專家學(xué)者們基于概率可靠性理論,考慮參數(shù)的隨機(jī)不確定性,對彈藥協(xié)調(diào)器[2]、導(dǎo)彈折疊翼[3]、飛機(jī)起落架[4]等機(jī)構(gòu)的動作可靠性進(jìn)行了估計。但是在機(jī)構(gòu)研制階段與前期使用階段,一些不確定性參數(shù)由于數(shù)據(jù)信息不足,無法獲得其概率分布,只能給定取值范圍,甚至一些不確定性參數(shù)在機(jī)構(gòu)一次動作過程中就是變化的,直接將其處理為服從概率分布的隨機(jī)變量會引起可靠性分析的不客觀與不準(zhǔn)確。

目前針對隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性可靠性的研究主要集中在結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域,所采用的方法大體可以分為2類:1)通過增加或減少不確定性變量的信息,將混合不確定性變量轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一量化模型的基礎(chǔ)上解析求解可靠度[5-6];2)采用兩步法求解可靠度區(qū)間[7-8],第1步求解區(qū)間變量空間下功能函數(shù)的極大值和極小值,第2步計算隨機(jī)變量空間下可靠度的上下界。對于復(fù)雜機(jī)構(gòu)而言,功能函數(shù)一般難以顯式表達(dá),大多通過仿真模型計算得到[2-4],因此可以采用第2類方法求解隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性下的機(jī)構(gòu)動作可靠度區(qū)間。

響應(yīng)面模型是解決可靠性分析計算量高的主要方法之一,其精度和效率取決于響應(yīng)函數(shù)的類型和試驗點的選取。響應(yīng)面建模主要有多項式法、Kriging函數(shù)法、支持向量機(jī)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等,目前尚無明確的結(jié)論表明哪種方法在所有問題中都優(yōu)于其他方法,因此在不明確實際問題的非線性特性時盡量選擇適用范圍較廣的方法進(jìn)行建模。近年來眾多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法被用于構(gòu)建響應(yīng)面模型[9-11],表現(xiàn)出了較好的適用性與準(zhǔn)確性。在可靠性分析中重點要求響應(yīng)面模型在靠近極限狀態(tài)曲面的局部具有很高的擬合精度,因此使用傳統(tǒng)的單階段抽樣方法的效率很低。為此許多學(xué)者使用基于主動學(xué)習(xí)理論的加點準(zhǔn)則進(jìn)行序列采樣,其思路是選取靠近極限狀態(tài)曲面的試驗點對響應(yīng)面模型進(jìn)行更新迭代,能夠在保證精度的前提下提高計算效率。目前針對Kriging模型已經(jīng)提出了一系列高效加點準(zhǔn)則[12-14],但均因涉及協(xié)方差計算,無法應(yīng)用于其他類型的響應(yīng)面模型。對此李國發(fā)等[15]提出了一種基于通用學(xué)習(xí)函數(shù)的加點策略,能夠適用于多種響應(yīng)面模型。

綜上所述,本文利用極值響應(yīng)面(extremum response surface, ERS)思想將隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性下的機(jī)構(gòu)動作可靠性估計問題轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量下的可靠度區(qū)間邊界問題,設(shè)計了一種自適應(yīng)極值響應(yīng)面(adaptive extremum response surface, AERS)方法進(jìn)行高效求解。將麻雀搜索算法(sparrow search algorithm, SSA)和混合核極限學(xué)習(xí)機(jī)(mixed kernel extreme learning machine, MKELM)與ERS相結(jié)合,并利用基于主動學(xué)習(xí)與反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)加點策略(adaptive infilling strategy, AIS)對ERS進(jìn)行更新,進(jìn)而通過蒙特卡羅仿真(Monte Carlo simulation, MCS)獲取機(jī)構(gòu)動作可靠度的上下界。

1 AERS-MCS方法

1.1 混合不確定性下的機(jī)構(gòu)動作可靠性問題

以實現(xiàn)動作為目的的機(jī)構(gòu)通常具有輸出參數(shù)要求。設(shè)機(jī)構(gòu)動作的輸出參數(shù)為φ,相應(yīng)的許用值范圍為[φ-,φ+],影響機(jī)構(gòu)動作的不確定性參數(shù)為ξ=[ξ1ξ2…ξr],則一般地φ為ξ的隱式函數(shù),輸出參數(shù)達(dá)到規(guī)定要求的概率為:

R=P(φ-≤φ(ξ)≤φ+)

(1)

大多情況下,機(jī)構(gòu)動作的輸出參數(shù)誤差范圍定義為±ε0,ε0為允許的最大誤差。當(dāng)系統(tǒng)不確定性參數(shù)包含隨機(jī)變量和區(qū)間變量時,滿足下列條件表示系統(tǒng)動作可靠:

z=g(X,Y)=ε0-|ε(X,Y)|≥0

(2)

式中:X=[X1X2…Xn]為n個已知概率分布的隨機(jī)變量組成的向量;Y=[Y1Y2…Ym]為m個區(qū)間變量組成的向量;z=g(X,Y)為極限狀態(tài)函數(shù)(limit state function, LSF);ε(X,Y)為不確定性變量下動作輸出參數(shù)的誤差。

由于區(qū)間變量的存在,極限狀態(tài)曲面由不確定性參數(shù)空間中的一個曲面拓展為由下邊界和上邊界構(gòu)成的一個區(qū)域[7],相應(yīng)的動作可靠度將變?yōu)橐粋€區(qū)間數(shù),其下界和上界可以表示為:

0|X∈ΦR,Y∈ΦI)

(3)

0|X∈ΦR,Y∈ΦI)

(4)

式中:Rmin和Rmax分別為動作可靠度的上界和下界;zmin(X)和zmax(X)分別為區(qū)間變量Y下的LSF極小值和極大值;ΦR為隨機(jī)變量X的變量空間;ΦI為區(qū)間變量Y的變量空間。通常動作可靠性更關(guān)注可靠度區(qū)間的下界,因此本文對Rmin的分析過程進(jìn)行闡述。

1.2 基于ERS-MCS的可靠度區(qū)間求解

ERS方法目前主要應(yīng)用于柔性機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)可靠性分析[16-17],本文利用ERS的思想處理同時存在隨機(jī)變量X和區(qū)間變量Y的機(jī)構(gòu)動作可靠性分析問題,通過建立從隨機(jī)變量X到LSF響應(yīng)極小值或極大值的ERS獲取可靠度的下界或上界。利用ERS求解動作可靠度下界Rmin的具體過程如下:

1)選取初始樣本。拉丁超立方抽樣能夠兼顧多維空間和單維尺度下樣本的分布均勻性,在選取初始樣本時使用該方法分別在隨機(jī)變量X和區(qū)間變量Y的變量空間內(nèi)選取S個初始樣本,隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)的樣本為x1i,x2i,…,xSi,區(qū)間變量Yj(j=1,2,…,m)的樣本為y1j,y2j,…,ySj。

2)構(gòu)建初始響應(yīng)面(initial response surface, IRS)。將初始樣本[xs,ys],s=1,2,…,S輸入仿真模型計算得到相應(yīng)的動作輸出參數(shù),并計算LSF響應(yīng)值g(xs,ys)?；诔跏紭颖綶xs,ys]和響應(yīng)值g(xs,ys)的數(shù)據(jù)集ψIRS,構(gòu)建IRS:z*=g*(X,Y)。

3)求取LSF響應(yīng)極值。對于初始樣本[xs,ys],保持樣本中的隨機(jī)變量xs=[xs1xs2…xsn]不變,利用優(yōu)化算法調(diào)用IRS求取在區(qū)間變量Y的變量空間ΦI內(nèi)LSF的響應(yīng)極值:

(5)

5)計算動作可靠度下界?；跇?gòu)建好的ERS,進(jìn)行MCS計算得到Rmin:

(6)

式中:NMCS為MCS抽樣數(shù)目;I(·)為指示函數(shù)。

1.3 結(jié)合主動學(xué)習(xí)與反向?qū)W習(xí)的AIS

(7)

(8)

(9)

基于上述結(jié)合主動學(xué)習(xí)和反向?qū)W習(xí)的AIS更新ERS的具體步驟如下:

z*=g*,τ(X,Y)

考慮隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性時,基于本文提出的AERS-MCS的機(jī)構(gòu)動作可靠度下界的分析過程如圖1所示。類似地可以計算機(jī)構(gòu)動作可靠度的上界,進(jìn)而得到機(jī)構(gòu)動作可靠度區(qū)間。

圖1 AERS-MCS計算流程Fig.1 Calculation process of AERS-MCS

2 基于SSA-MKELM響應(yīng)面模型

2.1 MKELM

核極限學(xué)習(xí)機(jī)是基于極限學(xué)習(xí)機(jī)理論與核函數(shù)的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),具有影響參數(shù)少,學(xué)習(xí)速度快和泛化能力強的特點,能夠用于構(gòu)造復(fù)雜的非線性替代函數(shù)[18]。設(shè)極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入層、隱含層和輸出層分別有L、H和O個節(jié)點,N個獨立樣本中第k個樣本的輸入為pk=[pk1pk2…pkL],輸出為qk=[qk1qk2…qkO];第h個隱含層節(jié)點偏置為bh,與輸入層節(jié)點的連接權(quán)值為ωh=[ωh1ωh2…ωhL],與輸出層節(jié)點的連接權(quán)值為βh=[βh1βh2…βhO]。若隱含層節(jié)點的激活函數(shù)為gh(·),則有:

Hβ=Q

(10)

式中:β=[β1β2…βH]T為隱含層與輸出層的連接權(quán)值矩陣;Q=[q1q2…qN]T為網(wǎng)絡(luò)輸出矩陣;H為隱含層輸出矩陣,H=[gh(p1)gh(p2)…gh(pN)]T;gh(pk)=[gh(ω1·pk+b1)gh(ω2·pk+b2)…gh(ωH·pk+bH)]。

根據(jù)嶺回歸原理,為了提高網(wǎng)絡(luò)的泛化性能,求解β需要同時考慮經(jīng)驗風(fēng)險最小和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小,即引入正則化系數(shù)γ:

(11)

根據(jù)卡羅需-庫恩-塔克條件求解可得:

(12)

訓(xùn)練樣本pk對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)輸出為:

(13)

為了避免隱含層隨機(jī)性的影響,基于Mercer定理,定義核矩陣為:

Ω=HHT:Ωkλ=K(pk,pλ)=g(pk)g(pλ)

k,λ=1,2,…,N

(14)

則訓(xùn)練樣本pk對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)輸出為:

(15)

式中Ωk=[K(pk,p1)K(pk,p2)…K(pk,pN)]。

由式(15)可知引入核函數(shù)后,不再需要確定隱含層節(jié)點數(shù)目,避免了隱含層節(jié)點參數(shù)隨機(jī)性的影響。核極限學(xué)習(xí)機(jī)的性能主要取決于正則化系數(shù)與核函數(shù)的類型及其參數(shù)。常用的核函數(shù)有:

KPoly(pk,pλ)=(pk·pλ+l)χ

(16)

(17)

式中:KPoly和KRBF分別為多項式核函數(shù)和高斯核函數(shù);l、χ和σ為相應(yīng)的核函數(shù)參數(shù)。

引入權(quán)重系數(shù)φ,φ∈[0,1],構(gòu)建混合核函數(shù)為:

K(pk,pλ)=φKPoly+(1-φ)KRBF

(18)

基于該混合核函數(shù)的MKELM能夠兼顧學(xué)習(xí)能力與泛化能力,有利于提高其預(yù)測精度。

2.2 SSA優(yōu)化的MKELM

本文提出的AERS-MCS方法中,需要多次利用MKELM構(gòu)建響應(yīng)面模型,手動調(diào)節(jié)MKELM的參數(shù)是不可行的,因此采用SSA對其參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)選取以自動構(gòu)建性能最優(yōu)的響應(yīng)面模型。此外計算過程中LSF響應(yīng)極值也是使用SSA求解得到的。

SSA是一種新型群智能優(yōu)化算法,通過模擬麻雀群體智慧、覓食和抗捕食行為來獲取最優(yōu)解,具有實現(xiàn)簡單、易于擴(kuò)充和自組織性等優(yōu)點[19]。麻雀覓食的過程可以理想化為發(fā)現(xiàn)者-加入者模型,發(fā)現(xiàn)者搜索能力強,負(fù)責(zé)尋找食物并引導(dǎo)種群覓食,加入者跟隨發(fā)現(xiàn)者進(jìn)行覓食,同時部分加入者會監(jiān)視發(fā)現(xiàn)者以獲得更好的覓食區(qū)域。當(dāng)種群意識到有捕食者時邊緣的麻雀會向安全區(qū)域移動。

設(shè)D維搜索空間中,種群由W只麻雀組成,其中發(fā)現(xiàn)者比例為ap,加入者比例為aJ=1-ap,警戒者比例為aA。第w(w=1,2,…,W)只麻雀位置為ow=[ow1ow2…owD],適應(yīng)度值為f(ow)。

在每次迭代過程中,發(fā)現(xiàn)者的位置更新為:

(19)

加入者的位置更新為:

(20)

意識到危險的麻雀位置表示為:

(21)

使用SSA在MKELM的參數(shù)相應(yīng)的取值空間ΦMKELM內(nèi)對進(jìn)行尋優(yōu)選取。測試集樣本預(yù)測值與真實值的均方根誤差ERMSE越接近0,決定系數(shù)R2越接近1,則MKELM的擬合優(yōu)度越好,將ERMSE與R2的比值θ定義為MKELM的評價指標(biāo),則SSA-MKELM的數(shù)學(xué)模型表示為:

(22)

其完整流程如圖2所示。

圖2 SSA-MKELM算法流程Fig.2 SSA-MKELM algorithm flow

3 算例分析

3.1 數(shù)值案例

為了驗證所提AERS-MCS方法的有效性,首先以一個三維非線性數(shù)值案例進(jìn)行說明,設(shè)LSF為:

g(x1,x2,y1)=

(23)

式中:ε0=2;隨機(jī)變量x1、x2和區(qū)間變量y1相互獨立,x1～(1,0.2),x2～(2.5,0.1),y1∈[1.4,1.6]。

使用Monte Carlo抽樣法產(chǎn)生105個隨機(jī)變量x1和x2的樣本點,然后對每個樣本點抽取100個區(qū)間變量y1的樣本點,進(jìn)而計算得到LSF的極大值與極小值,由此求得的動作可靠性上下界分別為0.954 0和0.807 5,將其作為近似精確解。

表1 數(shù)值案例中動作可靠度計算結(jié)果Table 1 Action reliability calculation results in numerical case

圖3 數(shù)值案例ERS更新過程Fig.3 ERS update process in numerical case

圖4 數(shù)值案例樣本點分布Fig.4 Sample points distribution in numerical case

圖5 數(shù)值案例LSF極值累計概率分布曲線Fig.5 Cumulative probability distribution curve of LSF extremum in numerical case

3.2 工程案例

某武器平臺內(nèi)部常采用鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)輸送裝置進(jìn)行負(fù)載的貯存與傳輸,在其設(shè)計階段需要對動作可靠性進(jìn)行估計。圖6為某鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)輸送裝置的原理樣機(jī)結(jié)構(gòu),主要包括底板、主動鏈輪、從動鏈輪、鏈條、導(dǎo)軌、負(fù)載、驅(qū)動電機(jī)和減速器等。驅(qū)動電機(jī)經(jīng)過減速器帶動主動鏈輪轉(zhuǎn)動,8個負(fù)載等間距固定在回轉(zhuǎn)鏈條上,鏈條在主動鏈輪的帶動下沿圓弧形導(dǎo)軌運動,主動鏈輪旋轉(zhuǎn)180°為一個間距的負(fù)載輸送過程;固定負(fù)載的鏈節(jié)下端安裝有帶滾輪的組合軸承,用以支撐回轉(zhuǎn)部分的主要質(zhì)量。

根據(jù)回轉(zhuǎn)鏈?zhǔn)捷斔蜋C(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),在ADAMS軟件中建立多剛體動力學(xué)模型,其中滾輪與軌道、鏈條滾子與鏈輪、導(dǎo)軌之間均為實體接觸,接觸力采用基于赫茲接觸定律的非線性等效彈簧阻尼模型計算;考慮路面不平度引起的武器平臺外部擾動,以圖7中的速度曲線作為垂直方向(圖6中x軸方向)擾動,角速度曲線作為俯仰方向(圖6中繞y軸方向)擾動。采用比例微分控制算法,在Simulink中建立包含機(jī)械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的聯(lián)合仿真模型,模型中的參數(shù)按照名義值或理論值設(shè)定,并以此為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài),進(jìn)行滿載情況下一個間距的負(fù)載輸送過程仿真,得到的主動鏈輪角位移曲線如圖8所示。

圖7 擾動曲線Fig.7 Disturbance curves

圖8 主動鏈輪角位移曲線Fig.8 Angular displacement curve of driving sprocket

表2 不確定性變量的分布Table 2 Distribution of uncertainty variables

規(guī)定回轉(zhuǎn)鏈?zhǔn)捷斔蜋C(jī)在不超過1.5 s的時間內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°,且允許的最大定位誤差ε0=1°,否則判定其動作失效。根據(jù)式(2)可將回轉(zhuǎn)鏈?zhǔn)捷斔蜋C(jī)的動作可靠性的LSF表示為:

(24)

表3 不同方法構(gòu)建的IRSTable 3 IRS constructed using different methods

圖9 工程案例ERS更新過程Fig.9 ERS update process in engineering case

圖10 工程案例樣本點分布情況Fig.10 Distribution of sample points in engineering case

圖11 工程案例LSF極值累計概率分布曲線Fig.11 Cumulative probability distribution curve of LSF extremum in engineering case

表4 動作可靠度計算結(jié)果Table 4 Action reliability calculation results

4 結(jié)論

1) 針對在研制階段與前期使用階段數(shù)據(jù)信息不足導(dǎo)致機(jī)構(gòu)存在隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性的情況,提出了一種動作可靠度估計的AERS-MCS方法。利用ERS思想將隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性下動作可靠性估計問題轉(zhuǎn)換為可靠度上下界求解問題,具有很高的計算效率。

2) 利用結(jié)合主動學(xué)習(xí)和反向?qū)W習(xí)的AIS對ERS進(jìn)行更新,能夠使ERS在極限狀態(tài)曲面附近具有較高的擬合精度;使用SSA-MKELM構(gòu)建的響應(yīng)面模型具有較高的預(yù)測精度,有利于快速得到滿足精度要求的響應(yīng)面模型。

3) 所提方法為隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性下機(jī)構(gòu)動作可靠性的估計提供了一種參考,隨著區(qū)間不確定性變量信息量的不斷增加,當(dāng)可以獲取其變化規(guī)律和概率分布時,動作可靠度區(qū)間將進(jìn)化為動作可靠度值。