朱海燕

(浙江省寧?？h城關(guān)中學(xué),浙江 寧波 315600)

三角形是初中幾何中最基本的圖形,全等三角形的判定與性質(zhì)是解決幾何問題的重要工具.本文以具體的幾何問題為例,說明剪拼構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用,以此培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,F是AD上一點(diǎn),延長BF交AC于點(diǎn)E,AE=EF,求證：BF=AC.

圖1 △ABC示意圖 圖2 倍長中線示意圖

學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)會想到倍長中線,如圖2和圖3所示.倍長中線法的本質(zhì)是構(gòu)造全等三角形,再結(jié)合生成的等腰三角形,通過等量代換證明結(jié)論.

圖3 倍長中線示意圖

2 嘗試剪拼構(gòu)造

通過學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)掌握了全等三角形的定義,即能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.若將圖2中的△BDF剪下來,會與△CDG重合.利用逆向思考方法,可以將圖2看成是將△BDF剪拼至△CDG后生成的構(gòu)造圖.類似地,圖3可以看成是將△ACD剪拼至△GBD構(gòu)造得到.由此可以看出,可以嘗試?yán)眉羝捶?gòu)造全等三角形[1].

下面嘗試對△BDF進(jìn)行剪拼.剪雖易,拼卻不易,拼到哪里去?怎么拼?再次觀察圖2,發(fā)現(xiàn)可以看成是以BD=CD為條件進(jìn)行剪拼的.

2.1 以BD=DC為條件進(jìn)行剪拼

如圖4,將△BDF剪拼至△DCG,易發(fā)現(xiàn)CG∥AD,△AOD與△COG都是等腰三角形.故添加輔助線后可進(jìn)行如下推理：過點(diǎn)C作CG∥AD,且CG=DF,連接DG.易得△BDF≌△DCG,所以∠BFD=∠G.因?yàn)锳E=EF,CG∥AD,所以∠DAO=∠ADO=∠G=∠ACG,所以△AOD與△COG都是等腰三角形,所以O(shè)G=OC,OA=OD,所以AC=DG=BF.

圖4 △BDF剪拼至△DCG示意圖

如圖5,將△BDF剪拼至△CDG,此法即為圖2中的倍長中線構(gòu)造法.

圖5 △BDF剪拼至△CDG示意圖

2.2 以DF=DF為條件進(jìn)行剪拼

如圖6,將△BDF剪拼至△GDF,生成了等腰三角形BFG和平行四邊形AFGC.由此可進(jìn)行如下推理：過點(diǎn)F作∠DFG=∠BFD,且使FG=BF,則△BFG為等腰三角形.由等腰三角形性質(zhì)可得BH=GH.又因?yàn)锽D=CD,所以DH是△BGC的中位線,所以DH∥GC.又易證AC∥FG,所以四邊形ACGF是平行四邊形,所以AC=FG=FB.

圖6 △BDF剪拼至△GDF示意圖

如圖7,將△BDF剪拼至△GFD,生成平行四邊形BDGF、等腰△AOD及等腰△COG,圖形結(jié)構(gòu)與圖4相同,證法類似,不再贅述.

圖7 △BDF剪拼至△GFD示意圖

2.3 以BF=AC為條件進(jìn)行剪拼

如圖8,將△BDF剪拼至△CGA,生成等腰△DCG.故添加適當(dāng)?shù)妮o助線后可得如下推理：過點(diǎn)C作CG=CD,交AD于點(diǎn)G,則∠FDC=∠DGC.又因?yàn)椤螰AE=∠BFD,所以∠ACG=∠FBD.因?yàn)锽D=CD,CD=CG,所以CG=BD,故可證△BDF≌△CGA,所以BF=AC.

圖8 △BDF剪拼至△CGA示意圖

如圖9,將△BDF剪拼至△AGC,生成等腰梯形ADCG.證明過程從略,請讀者自行探究.

圖9 △BDF剪拼至△AGC示意圖

如圖10,將△BDF剪拼至△CGA,生成A、D、C、G四點(diǎn)共圓的結(jié)構(gòu).推理過程如下：過點(diǎn)C作射線CG使∠ACG=∠FBD.過點(diǎn)A作射線AG使∠CAG=∠DAC,交于點(diǎn)G.通過計(jì)算法可證得∠DAG+∠DCG=180°,則點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓.由∠CAG=∠DAC,可得DC=CG,所以CG=BD.故△CGA≌△BDF,所以AC=BF.

圖10 △BDF剪拼至△CGA示意圖

由此可以看出,剪拼△BDF可以拼出7種圖形,即有7種全等三角形構(gòu)造法.這種剪拼方法可否應(yīng)用于剪拼其他三角形?剪拼法能否作為全等三角形構(gòu)造法的通法呢?為此,需對此法進(jìn)行驗(yàn)證.

3 驗(yàn)證剪拼構(gòu)造法

3.1 剪拼△ADC,驗(yàn)證構(gòu)造法

3.1.1以BF=AC為條件進(jìn)行剪拼

將剪下來的△ADC的邊AC疊合到BF,可拼出圖11、圖12兩種構(gòu)圖,其中圖11生成等腰△BDG,圖12生成等腰梯形BDFG.整理思路,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,推理驗(yàn)證易知這種構(gòu)造法成立.

圖11 等腰△BDG示意圖 圖12 等腰梯形BDFG示意圖

3.1.2以BD=CD為條件進(jìn)行剪拼

將剪下來的△ADC的邊CD疊合到BD,可拼出圖13～圖15三種構(gòu)圖,其中圖13生成等腰△BGF,圖14生成兩個(gè)等腰三角形,即△BOG和△DOF.圖15生成B、D、F、G四點(diǎn)共圓的特殊結(jié)構(gòu).整理思路,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,推理驗(yàn)證易知這種構(gòu)造法成立.

圖13 等腰△BGF示意圖 圖14 等腰△BOG和△DOF示意圖

圖15 四點(diǎn)共圓示意圖

3.2 剪拼△ABF,驗(yàn)證構(gòu)造法

將剪下來的△ABF的邊AF疊合到AF可拼出圖16,其結(jié)構(gòu)與圖6相同,證法類似,故構(gòu)法成立.

圖16 剪拼△ABF示意圖 圖17 構(gòu)造直角三角形示意圖

3.3 構(gòu)造直角三角形,再剪拼

除了剪拼已有三角形外,也可先構(gòu)造直角三角形再剪拼.過點(diǎn)C作CG⊥AD,構(gòu)造出Rt△ACG,再將它以AC=BF為條件進(jìn)行剪拼得圖17.所構(gòu)圖中,易證△BDH≌△CDG,得BH=CG,于是可證△ACG≌△FBH.故構(gòu)法成立.

由此可見,剪拼構(gòu)造法可以作為構(gòu)造全等三角形的通性通法,它可以為解題助一臂之力.

4 方法歸納

4.1 剪拼構(gòu)造法的解題步驟

剪拼構(gòu)造法的解題步驟是：將待證線段或角所在的三角形剪下;在原圖中找出與所剪三角形的邊或角相等的基本元素;以線段的相等或角的相等為基本條件進(jìn)行疊合拼圖;觀察所拼圖形是否生成特殊結(jié)構(gòu),以此作為構(gòu)法成立的基本依據(jù);整理思路,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,然后進(jìn)行推理論證[2].

4.2 剪拼構(gòu)造法的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

(1)不同的剪拼可以得到不同的拼圖.通過大量的剪拼試驗(yàn),筆者發(fā)現(xiàn)有效構(gòu)圖具備以下幾個(gè)特點(diǎn)：①拼圖后生成新的特殊結(jié)構(gòu),如等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、全等三角形、四點(diǎn)共圓等;②拼圖后能將分散的條件聚攏集中.

(2)剪拼構(gòu)造法的提煉經(jīng)歷了“觀察想象——嘗試構(gòu)造——構(gòu)法驗(yàn)證——方法歸納”的探究路徑,這可以成為解題方法探究的基本模式.

5 結(jié)束語

總之,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行各種各樣的實(shí)踐活動,增加初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.實(shí)踐性的課堂教學(xué)不僅能促進(jìn)學(xué)生對已學(xué)知識的深度理解,還能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維,提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].