唐 洵

(福建省福清第三中學(xué),福建 福清 350000)

近年來(lái),高考中的解析幾何解答題,除了常規(guī)的聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程外,還蘊(yùn)含著一些其他的方法,如平移齊次化、二次曲線系、坐標(biāo)轉(zhuǎn)化、定比點(diǎn)差法等.本文以一道質(zhì)檢試題為例,談?wù)勥@些方法的使用,并通過(guò)挖掘背景,得到一個(gè)更為普遍的結(jié)論.

1 題目呈現(xiàn)

題1(福建省2023屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)21)已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過(guò)點(diǎn)A2(1,0)且與圓A1交于點(diǎn)B,C,BC中點(diǎn)為D,過(guò)A2C中點(diǎn)E且平行于A1D的直線交A1C于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為Γ.

(1)求Γ的方程;

(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于A1,A2的對(duì)稱點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)A1,A2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為C1,C2,過(guò)點(diǎn)A1的直線l2與Γ交于M,N兩點(diǎn),直線B1M,B2N相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)從下列結(jié)論中,選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.

①△QB1C1的面積是定值;

②△QB1B2的面積是定值;

③△QC1C2的面積是定值.

2 解法探究

2.1 第(1)問(wèn)解析

解析(1)作出圖形如圖1所示,由題意,得A1(-1,0),A2(1,0).

圖1 第(1)問(wèn)圖形

因?yàn)镈為BC中點(diǎn),

所以A1D⊥BC,即A1D⊥A2C.

又PE∥A1D,所以PE⊥A2C.

又E為A2C的中點(diǎn),所以|PA2|=|PC|.

所以|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|.

所以點(diǎn)P的軌跡Γ是以A1,A2為焦點(diǎn)的橢圓(左、右頂點(diǎn)除外).

注由于第(1)問(wèn)較為簡(jiǎn)單,僅給出參考答案如上.在求解第(2)問(wèn)之前,先作圖2如下.

圖2 第(2)問(wèn)圖形

2.2 第(2)問(wèn)解析

結(jié)論③正確.下證:ΔQC1C2的面積是定值.

依題意,B1(-2,0),B2(2,0),C1(0,-1),C2(0,1).

則x0=-4.

故點(diǎn)Q在直線x=-4上[2].

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

(3m2+4)y2-6my-9=0,

Δ=36m2+36(3m2+4)=144(1+m2)>0.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1≠±2,x2≠±2,

其中-3(y1+y2)=2my1y2.

故點(diǎn)Q在直線x=-4上.

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

想法2:

解得xQ=-4.

故點(diǎn)Q在直線x=-4上.

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

解法3(平移齊次化)設(shè)Q(x0,y0),

直線MN:x+my+1=0(m≠0),

將橢圓C的方程向右平移兩個(gè)單位后得到

即3x2-12x+4y2=0.

而直線MN的方程向右平移兩個(gè)單位后得到x+my=1,則3x2-12x(x+my)+4y2=0.

故kB1M,kB1N可以看作是上述方程的兩根,則

解得x0=-4.

故點(diǎn)Q在直線x=-4上.

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4[3].

解法4(斜率雙用)設(shè)Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線B1Q的斜率

①

直線B2Q的斜率

②

x2y1-2y1=λx1y2+2λy2.

③

由橢圓的第三定義可知,

④

⑤

將①代入④,得

⑥

將②代入⑤,得

⑦

整理,得x1y2-2y2=λx2y1+2λy1.

⑧

③-⑧,得

(λ+1)(x2y1-x1y2)=(2λ-2)(y2-y1).

⑨

即x2y1-x1y2=y2-y1.

⑩

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

整理,得x1-λx2=4λ-4.

而x1+λx2=-1-λ,

兩式相除,得

解得x0=-4,故點(diǎn)Q在直線x=-4上.

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

解法6(二次曲線系)設(shè)直線B1M:k1x-y+2k1=0,直線B2N:k2x-y-2k2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my+1=0,則過(guò)M,N,B1,B2四點(diǎn)的二次曲線系方程為(k1x-y+2k1)(k2x-y-2k2)+λy(x-my+1)=0.

兩式相減,得x=-4.

故點(diǎn)Q在直線x=-4上.

所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4.

3 拓展延伸

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn),題1與題2有著異曲同工之妙,綜合兩個(gè)問(wèn)題,我們可以得到如下結(jié)論:

證明設(shè)直線AM:k1x-y+ak1=0,直線BN:k2x-y-ak2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my-t=0,則過(guò)M,N,B1,B2四點(diǎn)的二次曲線系方程為(k1x-y+ak1)(k2x-y-ak2)+λy(x-my-t)=0.

結(jié)論2,3,4的證明與結(jié)論1類似,這里不再贅述.對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線也有類似結(jié)論,有興趣的讀者可以自行歸納整理.

進(jìn)一步剖析結(jié)論的背景,可以看出兩個(gè)問(wèn)題出自“極點(diǎn)極線定理”:

4 結(jié)束語(yǔ)

因此,在求解解析幾何的問(wèn)題時(shí),若是能夠洞悉試題的背景,在解題的過(guò)程中必能高瞻遠(yuǎn)矚,在教學(xué)的過(guò)程中必能游刃有余.教師要善于挖掘試題背后的結(jié)論,進(jìn)而深入淺出.