董同明

(江蘇省東海高級中學(xué),江蘇 連云港 222300)

1 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性

深化基礎(chǔ)考查是高考數(shù)學(xué)命題的根本,雖然高考數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化,但不變的是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法.

A.-i B.i C.0 D.1

試題分析本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識和基本方法.由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值,然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.

故選A.

2 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要突出綜合性

作為選拔性考試的高考,綜合性就成為高考數(shù)學(xué)命題的重要特征.高考數(shù)學(xué)命題依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),落實(shí)“綜合性”考查要求,彰顯學(xué)科核心素養(yǎng),突出對主干、重點(diǎn)知識、內(nèi)容及關(guān)鍵能力的考查,考查綜合應(yīng)用知識的能力.高考復(fù)習(xí)備考要重視知識點(diǎn)的交叉,學(xué)會從一個知識點(diǎn)向另一個知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化的方法,即轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論.學(xué)會在不同的知識點(diǎn)之間建立起橋梁,學(xué)會對各個知識點(diǎn)進(jìn)行挖掘、擴(kuò)展,既深入思考又廣開思路,這是復(fù)習(xí)備考的核心問題.

(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(3)若f(x)在(0,+∞)上存在極值,求a的取值范圍.

據(jù)此可得f(1)=0,f′(1)=-ln2.

函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程為

y-0=-ln2(x-1).

即xln2+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得

由對稱性可知

(3)由函數(shù)的解析式可得

由f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在極值點(diǎn),則f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點(diǎn).

-(x+1)ln(x+1)+(x+ax2)=0.

令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),

f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點(diǎn),等價于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點(diǎn),

當(dāng)a≤0時,g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時g(x)

令m(x)=1-x+lnx(0

所以函數(shù)m(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.所以m(x)

令h(x)=lnx-x2+x(x>0),則

當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,故h(x)≤h(1)=0.

即lnx≤x2-x(取等條件為x=1).

所以g′(x)=2ax-ln(x+1)>2ax-[(x+1)2-(x+1)]=2ax-(x2+x),

g′(2a-1)>2a(2a-1)-[(2a-1)2+(2a-1)]=0,且注意到g′(0)=0.

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0.

當(dāng)x∈(0,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x0)

所以g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點(diǎn),符合題意.

3 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要關(guān)注應(yīng)用性

數(shù)學(xué)應(yīng)用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€方面,而應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題是學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.因此,高考命題重視應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,強(qiáng)化對“應(yīng)用意識”的考查,既體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,也是考查學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要手段.

例3(新高考Ⅱ卷第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如圖1所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

圖1 頻率分布直方圖

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

試題分析(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出f(c)的解析式,再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

解析(1)根據(jù)題意可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%,所以95

q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)c∈[95,100]時,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

當(dāng)c∈(100,105]時,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.

故f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.

4 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要重視創(chuàng)新性

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是高中數(shù)學(xué)新課程的重要任務(wù),而在數(shù)學(xué)探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想方法分析問題和解決問題是這種創(chuàng)新性的最好表現(xiàn).高考命題重視對情境創(chuàng)新性的考查,這就要求我們在高考復(fù)習(xí)備考中重視和加強(qiáng)對數(shù)學(xué)創(chuàng)新型問題的研究,并引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對創(chuàng)新問題的訓(xùn)練,以適應(yīng)高考命題的要求.

試題分析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,求出弦長|AB|,以及點(diǎn)C到直線AB的距離,結(jié)合面積公式即可解出.

5 結(jié)束語

教育部考試中心發(fā)布的高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成,其中:“四翼”即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性為考查要求[1].高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考要強(qiáng)化對實(shí)現(xiàn)“四翼”考查要求策略的研究,把復(fù)習(xí)備考的著眼點(diǎn)放在數(shù)學(xué)的“問題本質(zhì)”和能力培養(yǎng)上,將本質(zhì)性的東西弄熟吃透了,閱讀理解能力及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高了,相應(yīng)的問題便迎刃而解.