王樹峰，孟新宇，杜毅龍

(沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽 110870)

0 前言

加減速控制算法是實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)控制功能的關(guān)鍵技術(shù)之一，它不僅能夠影響數(shù)控機(jī)床的加工精度，還會(huì)對加工效率產(chǎn)生重要影響，因此在數(shù)控加工領(lǐng)域，加減速控制技術(shù)顯得尤為重要。

作為數(shù)控機(jī)床的重要組成部分，未進(jìn)行路徑規(guī)劃之前，通過CAD/CAM等制圖軟件生成原始的路徑數(shù)據(jù)，此時(shí)的路徑為連續(xù)微小線段[1]，而目前應(yīng)用較多的指數(shù)、梯形加減速算法在加工微小線段時(shí)加速度會(huì)產(chǎn)生突變，從而影響加工的穩(wěn)定性。傳統(tǒng)7段S形曲線算法的加加速度存在突變，因此會(huì)引起較大的振動(dòng)[2-4]，影響加工的精度與平穩(wěn)性。盡管多項(xiàng)式加減速算法可以確保加速度持續(xù)變化，但其計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣[5-7]。游達(dá)章等[8]提出一種改進(jìn)的四次S曲線加減速算法，該算法雖然能降低加工過程中的柔性沖擊，延長電機(jī)的壽命，但程序復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)。潘海鴻等[9]基于S形曲線規(guī)劃出17種速度曲線類型，但設(shè)計(jì)過程過于復(fù)雜。王旭浩、張華[10]提出一種非對稱S形加減速算法，該算法計(jì)算簡單，但加加速度曲線依然無法實(shí)現(xiàn)連續(xù)平滑。高偉強(qiáng)等[11]簡化了傳統(tǒng)7段S曲線算法，提出了以五次多項(xiàng)式為基礎(chǔ)的3段S形曲線控制算法，提高了運(yùn)行效率，但加加速度不平滑，形成軟沖擊。葉蔭民[12]以三角函數(shù)為基礎(chǔ)提出的7段S曲線算法確保加加速度的連續(xù)變化，但參數(shù)較多，算法程序復(fù)雜[13-15]，無法保證系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

綜上，本文作者提出一種新型具有連續(xù)平滑加加速度的柔性加減速算法。該算法需要滿足數(shù)控加工過程中的穩(wěn)定性要求，其優(yōu)勢通過仿真和實(shí)驗(yàn)測試進(jìn)行證實(shí)。

1 新型柔性加減速算法的構(gòu)建

傳統(tǒng)7段S形加減速算法分段多、計(jì)算復(fù)雜、加加速度突變。為解決這些問題，文中考慮用一段正弦函數(shù)擬合加速/減速區(qū)間的加加速度函數(shù)，而加速度、速度、位移等函數(shù)方程通過簡單的積分即可以實(shí)現(xiàn)。

圖1所示為構(gòu)建的運(yùn)動(dòng)控制曲線，由加加速區(qū)間(0,t1)、減加速區(qū)間(t1,t2)、勻速區(qū)間(t2,t3)、加減速區(qū)間(t3,t4)和減減速區(qū)間(t4,t5)組成，各區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間滿足Tk=tk-tk-1(k=1,2,3,4,5)。

圖1 新型柔性加減速算法運(yùn)動(dòng)曲線

為滿足數(shù)控機(jī)床的工作要求，應(yīng)使運(yùn)動(dòng)在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的加速度都為零，以實(shí)現(xiàn)加工的平穩(wěn)性，因此加加速區(qū)間和減加速區(qū)間時(shí)間須相等，即T1=T2，同理可得T4=T5。

根據(jù)圖1可以推導(dǎo)出新型柔性加減速算法的加加速度函數(shù)j(t)的表達(dá)式如下：

(1)

式中：jmax為最大加加速度；k1、k2為比例系數(shù)。

對式(1)積分可得到加速度a(t)表達(dá)式，如式(2)所示：

(2)

根據(jù)式(2)的積分，可以得出速度v(t)的表達(dá)式，如式(3)所示：

v(t)=

(3)

式中：vs、vmax分別為初速度、最大速度。

根據(jù)式(3)的積分可以得出位移s(t)表達(dá)式，如式(4)所示：

s(t)=

(4)

式中：s1表示加速段位移。

根據(jù)圖1可以確定加加速度j(t)在t=t1和t=t4時(shí)為0，因此，加加速段時(shí)間T1和加減速段時(shí)間T4應(yīng)滿足以下公式：

(5)

設(shè)加速段時(shí)間為Ta，減速段時(shí)間為Td，可得：

(6)

以上為構(gòu)造的新型柔性加減速控制曲線，只要確定了T1、T3及T4這3個(gè)時(shí)間參數(shù)就可以求解整個(gè)加減速控制曲線。顯而易見，與傳統(tǒng)的7段S形加減速算法相比，該算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)加加速度曲線的連續(xù)平滑，而且實(shí)現(xiàn)過程更加簡單。

2 速度規(guī)劃

數(shù)控機(jī)床實(shí)際加工過程中線段長度及初末速度是否相等是加減速控制算法中的關(guān)鍵因素。若線段長度較長，機(jī)床可達(dá)到最大速度vmax；若初末速度相等，則加速區(qū)間曲線和減速區(qū)間曲線對稱。新型柔性加減速算法根據(jù)初末速度是否相等以及加工的線段長度求出T1、T3、T4，然后利用上述公式進(jìn)行速度規(guī)劃。

2.1 線段長度較長的情況

設(shè)線段長度為L，當(dāng)L較長時(shí)，機(jī)床可達(dá)到最大速度vmax，根據(jù)初末速度是否相等可分為以下2種情況。

(1)初末速度相等

由于加速區(qū)間和減速區(qū)間的運(yùn)動(dòng)控制曲線對稱，加速段時(shí)間和減速段時(shí)間相等，即Ta=Td。由式(6)可得T1=T2=T4=T5=Ta/2。由式(3)可以得到：

(7)

由式(4)可求得加速段位移sa，而減速段位移sd=sa，即：

sa=sd=(vmax+vs)Ta/2

(8)

如果L≥sa+sd，即存在勻速段，其時(shí)間根據(jù)式(9)確定：

T3=(L-2sa)/vmax

(9)

由式(7)—(9)求得T1、T3、T4后，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖2所示。

圖2 初末速度相等時(shí)規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較長線段)

(2)初末速度不相等

當(dāng)初末速度不相等，即vs≠ve時(shí)，由式(7)可知，sa≠sd，同時(shí)比例系數(shù)k1≠k2，由式(3)可以得到：

(10)

由式(4)可求出加速段位移sa、減速段位移sd分別為

(11)

如果L≥sa+sd，則存在勻速段，其時(shí)間根據(jù)式(9)確定：

T3=[L-(sa+sd)]/vmax

(12)

由式(10)—(12)求得T1、T3、T4后，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖3所示。

圖3 初末速度不相等時(shí)規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較長線段)

2.2 線段長度較短的情況

當(dāng)L

(1)初末速度相等

此時(shí)各區(qū)間的時(shí)間相等，即T1=T2=T3=T4。由于加速段和減速段的位移各為L的一半，根據(jù)式(7)(8)可得：

(13)

將式(7)中的T1代入式(13)中可得：

(14)

式中：v′max為實(shí)際最大速度。

由于式(14)只存在一個(gè)未知數(shù)v′max(其余參數(shù)均已知)，可采用牛頓迭代法求解v′max，規(guī)劃的速度及加速度曲線如圖4所示。

圖4 初末速度相等時(shí)規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較短線段)

(2)初末速度不相等

由于不存在勻速段，令L=s′a+s′d(s′a、s′d分別為重新規(guī)劃后加速段和減速段的位移)。s′a、s′d計(jì)算公式如下：

(15)

從而有：

(v′max+vs)T1+(v′max+ve)T4=L

(16)

將式(10)中的T1、T4代入式(16)中得：

(17)

式(17)中，由于vs、ve、jmax、L已知，根據(jù)牛頓迭代法得到實(shí)際最大速度v′max后即可規(guī)劃出速度及加速度曲線，如圖5所示。

圖5 初末速度不相等時(shí)規(guī)劃的速度(a)及加速度(b)曲線(較短線段)

3 仿真與測試

文中提出的算法能否實(shí)現(xiàn)加加速度的連續(xù)平滑以及提高機(jī)床加工效率，在MATLAB軟件上進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的S形算法進(jìn)行對比，算法流程如圖6所示。

圖6 算法流程

設(shè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：vs=ve=0、vmax=400 mm/s、L=200 mm，最大加速度等于最大減速度，即amax=dmax=5 000 mm/s2，jmax=5×104mm/s3。2種算法的運(yùn)動(dòng)曲線仿真結(jié)果對比如圖7所示。

圖7 兩種算法的運(yùn)動(dòng)曲線對比

由圖7可知：相比傳統(tǒng)的S形算法，文中提出的算法加加速度曲線連續(xù)平滑，能夠減小機(jī)床加工過程中的振動(dòng)，提高穩(wěn)定性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證文中提出算法的可行性和有效性，采用圖8所示的基于兩正交軸的HIWIN運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、計(jì)算機(jī)、驅(qū)動(dòng)器、電壓轉(zhuǎn)換器等組成，在計(jì)算機(jī)上利用C++編程實(shí)現(xiàn)控制算法。

圖8 HIWIN運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

對長度在100～200 mm之間的微小線段進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從運(yùn)行時(shí)間上對2種算法進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。

表1 運(yùn)行時(shí)間對比

由表1可知：文中提出的算法相比傳統(tǒng)S形算法效率提升了6%以上，因此文中算法更適用于數(shù)控機(jī)床的連續(xù)微小線段加工。

4 結(jié)論

針對數(shù)控機(jī)床加工微小線段時(shí)由于加加速度突變引起的振動(dòng)所帶來的穩(wěn)定性和效率降低等問題，文中提出了一種新型柔性加減速控制算法，推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)曲線方程，該算法分為3個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段，簡化了參數(shù)，提高了計(jì)算效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該算法不僅能夠滿足數(shù)控機(jī)床加工過程中柔性加減速控制的要求，而且實(shí)現(xiàn)了加加速度的連續(xù)平滑，有效降低了機(jī)床的振動(dòng)沖擊，與傳統(tǒng)S形加減速算法相比，能夠顯著提升數(shù)控機(jī)床加工過程的穩(wěn)定性和加工效率。