戴鋒　劉靜銳

新課程改革要求高中數(shù)學(xué)課程注重對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.學(xué)歷案較以往的教案、學(xué)案、導(dǎo)學(xué)案等教學(xué)方式，更加注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中知識(shí)的理解、能力的提升與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重“需求、目標(biāo)、內(nèi)容、實(shí)話、評(píng)價(jià)、反思”等要素一致，優(yōu)化了教育教學(xué)理念，拓展了學(xué)習(xí)思維與能力.下面以筆者“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課為例，對(duì)這一單元的學(xué)歷案的教學(xué) 過程和評(píng)價(jià)過程設(shè)計(jì)加以展示與剖析.

1 合理問題驅(qū)動(dòng)，設(shè)計(jì)教學(xué)過程

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1 教材（人教A版）在“2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”中提出：我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).一元二次方程ax2+bx+c=0的根，就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)，也就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).那么更一般情況，又是怎樣的？

（1）概念引入

對(duì)于一般函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

（2）概念理解

探究1 方程視角.對(duì)于不能用公式求解的方程f（x）=0，可以通過分析函數(shù)y=f（x）的圖象和性質(zhì)得到零點(diǎn)的信息，進(jìn)而得到方程的解.

方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的聯(lián)系如圖1所示：

探究2 圖象視角.如圖2，觀察函數(shù)y=f（x）的圖象，y=f（x）有幾個(gè)零點(diǎn)？零點(diǎn)分別在哪個(gè)區(qū)間？零點(diǎn)附近，圖象特征如何？

探究3 函數(shù)值視角.圖2中函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)附近函數(shù)值有何規(guī)律？

師生活動(dòng)：學(xué)生認(rèn)真思考、觀察，得到函數(shù)f（x）的圖象與x軸不僅僅是有公共點(diǎn)，更重要的是穿過了x軸；教師利用幾何畫板展示動(dòng)態(tài)圖象，凸顯函數(shù)的取值規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生把“圖象穿過x軸”這種形狀特征用“f（a）·f（b）<0”這種數(shù)值規(guī)律表達(dá)出來.

設(shè)計(jì)意圖：探究1類比一元二次函數(shù)的零點(diǎn)得出一般函數(shù)的零點(diǎn)及其相關(guān)結(jié)論，從具體到抽象的過程學(xué)生是容易接受的，沒有必要作特別的解釋；探究2給出了一個(gè)學(xué)生相對(duì)陌生且復(fù)雜的圖象，突出考查學(xué)生對(duì)零點(diǎn)的理解，圖象三次穿過x軸更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象的本質(zhì)特征，拓寬了學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)自主畫出各類函數(shù)圖象并進(jìn)行研究作鋪墊；探究3有一定的難度，實(shí)際上這是一個(gè)數(shù)形結(jié)合、將形轉(zhuǎn)化成數(shù)的過程，因此教師給出的動(dòng)態(tài)圖象有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與探索.

1.2 抽象概念，內(nèi)涵辨析

根據(jù)上述探究，抽象出函數(shù)零點(diǎn)存在定理，如表1.

（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.

（2）滿足f（a）·f（b）＜0.

結(jié)論/

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

問題2 （1）你能通過作圖直觀說明零點(diǎn)存在定理嗎？為什么結(jié)論是“至少有一個(gè)零點(diǎn)”？

（2）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理證明方程x3+x－3=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有解.

（3）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理說明方程ln x+2x－6=0有解，并給出解的一個(gè)存在區(qū)間.

（4）小結(jié)：如何利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理證明方程有解？

師生活動(dòng)：在問題1的基礎(chǔ)上，教師直接給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理，沒有嚴(yán)格證明，僅要求學(xué)生作直觀上的認(rèn)同即可.問題2（2）（3），學(xué)生獨(dú)立完成并展示，教師點(diǎn)評(píng)指出不足，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)定理的使用方法.

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生自主作出函數(shù)圖象，理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即函數(shù)圖象穿過x軸，由于穿過x軸的次數(shù)是不確定的，因此零點(diǎn)的個(gè)數(shù)也不確定.問題（2）屬于定理的直接應(yīng)用；問題（3）則要求學(xué)生自主取點(diǎn)求值，找到兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)的點(diǎn)才能應(yīng)用定理；問題（4）進(jìn)一步明確利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷方程有解的步驟.

問題3 （教材第155頁習(xí)題4.5第2題）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)數(shù)表（表2）：

問：函數(shù)y=f（x）在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？為什么？

探究1 因?yàn)閒（1）f（4）>0，f（1）f（2）>0，那么是否可以說函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，4），（1，2）內(nèi)沒有零點(diǎn)？你能畫出y= f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)的圖象并作出直觀解釋嗎？

探究2 根據(jù)上面的分析，“f（a）f（b）<0”是“y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)”的什么條件？

探究3 能確定函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，6]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)嗎？若要確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還需要知道什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并板書展示，教師結(jié)合學(xué)生作答補(bǔ)充完善.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步挖掘教材習(xí)題的價(jià)值，在學(xué)生自主分析、作圖、判斷的前提下，提醒學(xué)生注意，函數(shù)零點(diǎn)存在定理只是給出了函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理可以證明函數(shù)有零點(diǎn)，但不能判定函數(shù)無零點(diǎn)或零點(diǎn)的個(gè)數(shù).如果要判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還要與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，為問題4的解決做鋪墊.

1.3 例題練習(xí)，鞏固理解

問題4 （教材第143頁例1）求方程ln x+2x－6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

追問：討論方程ln x=6－2x解的個(gè)數(shù)與分布情況.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，教師展示學(xué)生答案并引導(dǎo)學(xué)生得出判斷簡(jiǎn)單函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般方法，并得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理在單調(diào)基礎(chǔ)上的推論——如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：追問中，學(xué)生容易將方程ln x=6－2x的解轉(zhuǎn)化為方程ln x+2x－6=0解，即和問題4一致.除此之外，教師也可引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度分析，y=ln x，y=6－2x都是基本初等函數(shù)，其圖象學(xué)生已經(jīng)掌握，方程ln x=6－2x的解也是函數(shù)y=ln x與y=6－2x圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過畫圖，很直觀就能觀察得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和橫坐標(biāo)的范圍，進(jìn)一步拓展數(shù)形結(jié)合思想.

2 檢測(cè)學(xué)習(xí)成果，落實(shí)評(píng)價(jià)任務(wù)

問題5 總結(jié)：談?wù)勀銓?duì)解方程方法的認(rèn)識(shí)和對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解.

學(xué)生一起歸納總結(jié)，形成知識(shí)體系（如圖3）.

練習(xí) （1）（教材第155頁習(xí)題4.5第3題）略.

（2）求方程x3+x－3= 0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，形成知識(shí)的應(yīng)用遷移.

3 學(xué)后反思，發(fā)展核心素養(yǎng)

3.1 過程展示，暴露思維

通過一系列問題的巧妙設(shè)置，借助學(xué)歷案的合理設(shè)計(jì)，從概念的引入到定理的給出、理解與應(yīng)用等展示這節(jié)課的整個(gè)過程，充分暴露學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的一些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，克服難點(diǎn)，進(jìn)一步有效理解定理.其實(shí)，函數(shù)零點(diǎn)存在定理只是給出了函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件，“連續(xù)不異號(hào)”不能判定該函數(shù)是否有零點(diǎn)，另外零點(diǎn)存在定理也不能判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這些都是學(xué)生容易混淆的地方.

3.2 思想引領(lǐng)，關(guān)注主體

基于學(xué)歷案的教學(xué)設(shè)計(jì)，是通過數(shù)學(xué)思想方法與任務(wù)驅(qū)動(dòng)引領(lǐng)課堂.在實(shí)際課堂教學(xué)中，以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，通過合理的設(shè)問、追問等方式，問題設(shè)置層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，清晰、準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維狀態(tài)，把課堂還給學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的主體地位，真正做到了將以學(xué)生為本、問題引導(dǎo)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)的理念貫穿堂課始末.

課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題“基于學(xué)歷案的高中數(shù)學(xué)主題單元教學(xué)模式建構(gòu)與實(shí)踐探究”，課題批準(zhǔn)號(hào)為B/2021/02/152.