曹華平

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強調(diào)落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師應(yīng)該整體把握數(shù)學(xué)課程，努力提升教學(xué)設(shè)計和實施能力，在教學(xué)活動中應(yīng)把握好數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過創(chuàng)設(shè)合適的問題情景、提出合適的數(shù)學(xué)問題去引發(fā)學(xué)生思考與交流.“問題鏈”教學(xué)倡導(dǎo)教師緊密圍繞教學(xué)內(nèi)容，深度挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價值，按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)設(shè)計一組環(huán)環(huán)相扣的問題串，并通過這一個個問題鏈將教材內(nèi)容融入到探究活動中，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識主線到問題主線、從問題主線到思維主線的轉(zhuǎn)變，從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí).“問題鏈”是以問題的梯度優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，搭建學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗和未知問題探究之間的橋梁，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強遷移，從而促進深度學(xué)習(xí)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達成提供路徑.

1 “問題鏈”的設(shè)計要架構(gòu)問題情境，厘清知識發(fā)展脈絡(luò)，促進有效生成，使本質(zhì)更突出

問題引領(lǐng)師生交流對話是課堂教學(xué)中最常見的思考組織形式，是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)賴以發(fā)生的孵化器，更是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)得以維持的助推器.有效“問題鏈”的設(shè)計則把問題情境與教學(xué)目標(biāo)緊密連接到一起，在為學(xué)生提供高質(zhì)量的數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，更是師生問答境域中的“再次對話”，是問題引領(lǐng)課堂的深度表現(xiàn)，是對問題本質(zhì)的再接近，是對知識意藴的再挖掘.兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)的定義與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的延伸，也是平面向量知識的實際應(yīng)用.對于“兩角和與差的余弦公式”的教學(xué)，可以從學(xué)生的認知與思維構(gòu)建的角度設(shè)計問題鏈（圖1）.

“兩角和與差的余弦公式”的問題鏈教學(xué)設(shè)計，探究角α-β的三角函數(shù)與角α，β的三角函數(shù)之間的等量關(guān)系，讓各個主干問題作為“學(xué)習(xí)入口”，很好地銜接了學(xué)生的已有經(jīng)驗，促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成發(fā)展的全過程，概覽“兩角和與差的余弦公式”推導(dǎo)的整體圖景，形成了學(xué)科的“大觀念”，有效厘清了“兩角和與差的余弦公式”的基本結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系，達到對數(shù)學(xué)核心觀念的本質(zhì)理解和運用，實現(xiàn)形數(shù)思維的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建出了“問題引領(lǐng)-活動探究-達成目標(biāo)”學(xué)習(xí)活動體驗，使得學(xué)科知識生成自然、本質(zhì)突出.

2 “問題鏈”的設(shè)計要搭建思維階梯，導(dǎo)引思維過程，消除認知障礙，使推理更自然

“問題鏈”教學(xué)的本質(zhì)就是圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實，教師通過從整體視角對教學(xué)內(nèi)容進行解構(gòu)與設(shè)計，確定高質(zhì)量的主干問題及鋪設(shè)序列化子問題，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地建構(gòu)知識骨架體系，進行層次化、遞進化和高效化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并通過臺階搭建，引發(fā)新的思維，獲得持續(xù)向前發(fā)展的動力，逐步達到深度學(xué)習(xí)的目的，從而消除認知障礙.

例如，在“基本不等式”新授課中，問題鏈的情境創(chuàng)設(shè)借助第24屆國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)（圖2）——趙爽的弦圖談開去.

問題1 三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”中的面積相等關(guān)系巧妙地證明了勾股定理，你還能在“弦圖”中根據(jù)邊長或面積找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系，從而得出一些等式或不等式嗎？

教師用幾何畫板展示圖3，幫助學(xué)生尋找“弦圖”中的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

師生活動：如圖4，AB是圓O的直徑，C是AB上一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

基于“基本不等式”問題鏈的教學(xué)設(shè)計，以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)直觀情境加深了對基本不等式的直觀感受，強化了“基本不等式”的三種表達形式，通過“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷定值與最值的探索活動過程，進而深層次挖掘應(yīng)用“基本不等式”求最值的本質(zhì)，實現(xiàn)教法和學(xué)法的最優(yōu)秀組合.

3 “問題鏈”的設(shè)計要探尋知識燃點，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，加深認知體驗，使理解更高效

數(shù)學(xué)教材中的知識本質(zhì)多是寓于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系之中，教師以問題鏈為教學(xué)支架，圍繞教學(xué)目標(biāo)在知識體系的整體框架上進行“問題鏈”的設(shè)計，將問題的解決與目標(biāo)的指向相對應(yīng)，分析已知與未知的關(guān)系，探尋知識燃點，實現(xiàn)多元表征的轉(zhuǎn)化，從而將復(fù)雜的總目標(biāo)一層一層分解為簡單的次目標(biāo).同時，合理把握目標(biāo)間的難度、跨度、梯度及開放度，再集中力量逐步攻克次目標(biāo)，做到在內(nèi)容上環(huán)環(huán)相扣，在目標(biāo)上步步深入，促進學(xué)生的思維走向縱深，從而加深認知，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

在“正方體截面的探究”的活動中，教師借助實物模型的直觀和信息技術(shù)的運用，面對生活中隨處可見裝液體的容器，引導(dǎo)學(xué)生觀察不同擺放位置、不同液體量時液體表面的形狀.結(jié)合探究活動，通過設(shè)置問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關(guān)系，歸納截面圖形特征，總結(jié)分類原則，探索圖形的變化規(guī)律，加深對截面實質(zhì)的理解，形成解決數(shù)學(xué)實際問題的科學(xué)思維，學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和常規(guī)思路，提升學(xué)生的理性思維，實現(xiàn)學(xué)科育人的目的.

問題1 展示將有顏色的液體注入透明正方體容器，把水面當(dāng)成正方體的截面，引導(dǎo)學(xué)生觀察液體量不同時，液面會發(fā)生怎樣的形狀變化呢？

追問1：在液體量一定的情況下，對于正方體不同的擺放方式，觀察平靜液面的形狀變化，能畫出這些截面的示意圖嗎？

追問2：觀察這些截面示意圖，說一說這些截面有幾類不同的形狀？

追問3：在裝有顏色的液體的正方體中，觀察旋轉(zhuǎn)到不同方位的正方體內(nèi)液面的變化情況，試問平靜液面的形狀存在多于六邊形的截面嗎？

問題2 通過正方體液面的形狀變化，說說截得這些形狀截面的方法.如果按照邊數(shù)進行分類，這些截面圖形可以歸納為幾類？（如表1.）

追問4：如果正方體截面的形狀是三角形，能截出幾類不同形狀的三角形（分別按邊、角分類）？如何截?。?/p>

追問5：截出的三角形一定是銳角三角形嗎？試證明.

追問6：指出截出最大面積的三角形截面，說一說如何截??？

追問7：如果截面的形狀是四邊形，能截出幾類不同形狀的四邊形（分別按邊、角分類）？如何截取？

追問8：截出的四邊形可以是直角梯形嗎？試證明.

追問9：還能截出哪些多邊形？能截出正五邊形嗎？試證明.

追問10：是否存在正六邊形的截面？為什么？

結(jié)合“幾何畫板”的演示，進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、驗證自己的猜想，歸納截面圖形特征，總結(jié)圖形分類原則，體驗知識發(fā)生發(fā)展過程，積累圖形變化活動經(jīng)驗，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及邏輯性、層次性和整體性.

問題3 已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

通過問題鏈的設(shè)置，啟發(fā)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關(guān)系來研究截面的性質(zhì)，直觀感受正方體截面的形狀大小變化（圖5），經(jīng)歷“確定對象—探究性質(zhì)—論證判斷”的研究過程，學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和常規(guī)思路，加深對截面實質(zhì)的理解，實現(xiàn)“直觀”在認知結(jié)構(gòu)中的重構(gòu)，從而實現(xiàn)思維的可視化.積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗，增強正方體模型意識，初步了解如何通過運算定量描述位置特征關(guān)系，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

總之，問題是驅(qū)動學(xué)生思考、引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要載體，是思維的起爆器.問題鏈因其強調(diào)為學(xué)生提供思維脈絡(luò)而成為促進學(xué)生思維進階的重要途徑.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實施中，如何架構(gòu)與應(yīng)用問題鏈，使之能有效促進學(xué)生的思維進階，讓學(xué)生自覺成為學(xué)習(xí)的主體，較好地起到啟學(xué)引思、導(dǎo)學(xué)導(dǎo)教的作用？這就需要在問題鏈的教學(xué)設(shè)計中從目標(biāo)問題出發(fā)，設(shè)置探尋導(dǎo)向目標(biāo)問題的問題序列，解決目標(biāo)間的邏輯盲區(qū)，處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，將大問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€個層次遞進的小問題，引導(dǎo)學(xué)生在已有的認知基礎(chǔ)上依次突破小目標(biāo)，建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)，最終實現(xiàn)教學(xué)大目標(biāo)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

課題信息：海南省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“‘問題鏈在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實踐研究”，課題編號為QJY20221029.