王克軍

摘要：新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)將發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)放在首位.本文中分別從“借助反例夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)、揭露問題癥結(jié)、提高解題效率、實(shí)施深入探究”四個(gè)方面，結(jié)合實(shí)例對(duì)基于核心素養(yǎng)背景應(yīng)用好反例進(jìn)行教學(xué)展開闡述與分析.

關(guān)鍵詞：反例；基礎(chǔ)知識(shí)；解題

反例是指想要說明一個(gè)數(shù)學(xué)命題為假命題時(shí)，通過舉出一個(gè)例子讓它具備命題的條件，卻與命題結(jié)論不相符，這個(gè)例子則稱為反例.反例是相對(duì)于全稱命題的一個(gè)概念，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，尤其對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，反例可為學(xué)生提供新的思維視角.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生的思維遇到障礙是常有的事，靈活應(yīng)用反例可幫助學(xué)生換個(gè)視角觀察與思考問題，提升學(xué)習(xí)效率.

1 借助反例夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“四基”與“四能”的培養(yǎng)，基礎(chǔ)知識(shí)屬于“四基”最重要的內(nèi)容，任何教學(xué)活動(dòng)都是緊緊圍繞基礎(chǔ)知識(shí)而展開的，夯實(shí)基礎(chǔ)是實(shí)現(xiàn)解題的關(guān)鍵.因此，每一位教育工作者都要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，只有不斷強(qiáng)化對(duì)知識(shí)基礎(chǔ)的理解，學(xué)生才能基于此基礎(chǔ)更上一層樓.為此，筆者在這方面做了大量嘗試與探索，發(fā)現(xiàn)借助反例進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，效果異常顯著.

案例1 “直線與平面垂直的判定定理”的教學(xué)

為了深化學(xué)生對(duì)“直線與平面垂直的判定定理”的理解，強(qiáng)化“平面內(nèi)兩條直線相交”這個(gè)基本條件，教學(xué)時(shí)筆者尤其關(guān)注“相交”二字，呈現(xiàn)出如下教學(xué)過程：

問題 如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1中AB1⊥BC，AB1⊥B1C1，但AB1⊥平面BCC1B1并不成立.

師：請(qǐng)大家分析這個(gè)命題結(jié)論正確的原因.

生1：因?yàn)锽C和B1C1雖同在平面BCC1B1內(nèi)，但BC與B1C1并非為相交的關(guān)系.

這個(gè)簡(jiǎn)單易理解的反例讓學(xué)生清晰地明確了“相交”這個(gè)詞在此定理中所占的分量.

該反例的應(yīng)用成功展示了定理中核心詞的重要性，夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ).若再次遇到這一類題型時(shí)，可通過對(duì)這個(gè)反例信息的提取，避免錯(cuò)誤的發(fā)生.這個(gè)反例也從側(cè)面提醒我們?cè)诶斫饣A(chǔ)知識(shí)時(shí)，可從正反兩個(gè)角度去分析，這也是避免思維定式的重要方法.

2 通過反例揭露問題癥結(jié)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要關(guān)注學(xué)生在解題中的錯(cuò)誤，將一些錯(cuò)誤作為教學(xué)資源，可有效激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力，避免類似問題的再次發(fā)生.實(shí)踐證明，正確對(duì)待教學(xué)過程中學(xué)生暴露出來的錯(cuò)誤是不可忽略的環(huán)節(jié).因此，探尋高效教學(xué)的同時(shí)要常停下腳步，回過頭來及時(shí)復(fù)盤、反思，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，這也是發(fā)展“四能”的關(guān)鍵步驟.實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，反例的應(yīng)用常能將問題的癥結(jié)暴露出來，讓學(xué)生正視自己的問題.

案例2 “一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)

學(xué)生在解決有關(guān)一元二次方程根的問題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)遺漏條件的情況，為了讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)所在，筆者設(shè)計(jì)了如下問題：

問題 若方程x2+（k－3）x+k=0的兩根都小于－2，求k的取值范圍.

學(xué)生這么解題，主要源于初中階段接觸過一元二次方程兩根均大于0的情況，受思維定式的影響，出現(xiàn)了這種錯(cuò)誤解法.大部分學(xué)生在復(fù)看時(shí)，都不會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.為了從源頭上扭轉(zhuǎn)學(xué)生的思維，筆者決定借助如下反例來解決這個(gè)問題：若兩個(gè)根分別為－4與－3/2，這個(gè)條件滿足所列的不等式，卻與題目不符.

這種解法沒有關(guān)注到對(duì)稱軸，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生.為了讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)，筆者移動(dòng)了一下對(duì)稱軸，學(xué)生瞬間就明白了.

這種解法的錯(cuò)因在于忽略了“端點(diǎn)”，只要據(jù)此舉出相應(yīng)的反例，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)大根可以大于－2，也能小于－2.

用反例來說明以上三種典型錯(cuò)誤，不僅讓學(xué)生明確每一類錯(cuò)誤的原因，還讓學(xué)生進(jìn)一步回顧基礎(chǔ)知識(shí)，感知遇到這一類問題時(shí)必須考慮周全，其中判別式、對(duì)稱軸與端點(diǎn)是三個(gè)不可或缺的因素.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生很快自主求得本題的解為k∈［9，10）（過程略）.

反例的應(yīng)用，顯著提高了教學(xué)效率，無需教師過多的闡釋，學(xué)生就從這幾個(gè)典型錯(cuò)誤中夯實(shí)了基礎(chǔ)，發(fā)展了“四能”.

3 巧用反例提高解題效率

反例是提高解題效率的法寶.當(dāng)遇到一些靈活多變的問題時(shí)，如果學(xué)生僅單純地從正面思考，常常會(huì)因?yàn)榭紤]不夠周全而發(fā)生失誤，若能轉(zhuǎn)換解題思路，適時(shí)應(yīng)用反例，則能從問題的另一個(gè)角度切入，實(shí)現(xiàn)解題的突破.

案例3 “立體幾何”的教學(xué)

問題 如圖2，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB，AD，AA1的長(zhǎng)度分別為5，4，3，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面活動(dòng)到點(diǎn)C1處，求該動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑.

不少學(xué)生解這道題時(shí)，直接將AB，BC，CC1三條線段的長(zhǎng)度相加，獲得“最短路徑長(zhǎng)為12”這個(gè)結(jié)論.顯然，這種做法是錯(cuò)誤的.為了讓學(xué)生明白這種解法的錯(cuò)誤（思維過于“簡(jiǎn)單粗暴”），筆者提出如下反例：若動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB—BC1到達(dá)點(diǎn)C1，那么運(yùn)動(dòng)的距離為10，顯然小于12.

這個(gè)反例成功激活了學(xué)生的思維，他們立刻意識(shí)到此類最短路線問題，可從長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖的角度去分析，如圖3，學(xué)生自主畫圖，很快就獲得了準(zhǔn)確答案.

這個(gè)案例告訴我們，反例是激活學(xué)生思維、提高解題效率的重要方法.反例的應(yīng)用還能有效避免思維漏洞，這對(duì)提升解題效率具有重要價(jià)值.

4 應(yīng)用反例實(shí)施深入探究

課本內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到新課標(biāo)提出的要求，核心素養(yǎng)背景下，學(xué)生不僅要掌握“四基與四能”，還要具備良好的探究與創(chuàng)新能力.因此，我們應(yīng)關(guān)注課本知識(shí)的延伸與拓展，以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，為完善知識(shí)體系、建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)服務(wù).帶領(lǐng)學(xué)生借助各種教學(xué)手段探索靈活多變的教學(xué)內(nèi)容是當(dāng)下教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)，也是發(fā)展學(xué)生探究能力的重要渠道.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用反例教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入靈活的探索階段，促進(jìn)思維深刻性、發(fā)散性與靈敏性的發(fā)展.

案例4 “函數(shù)”的教學(xué)

問題 已知f（x）=x3－ax2+3x在［1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

不少學(xué)生拿到該題，首先想到自己熟悉的知識(shí)：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某個(gè)區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).因此，看到本題時(shí)，就思維定式地求出f′（x）=3x2－2ax+3，然后根據(jù)f′（x）＞0，即a＜3/21/x+x在［1，+∞）上恒成立，解得a＜3.

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，筆者舉了這樣一個(gè)反例：已知函數(shù)f（x）=x3在[WTHZ]R上單調(diào)遞增，而f′（x）=3x2≥0恒成立，由此不難看出y=f（x）在區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，據(jù)此可發(fā)現(xiàn)f′（x）＞0并非f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增的充要條件.

在這個(gè)反例的引導(dǎo)下，學(xué)生瞬間就發(fā)現(xiàn)了問題出在哪里，并及時(shí)修正獲得a≤3的結(jié)論.這個(gè)案例告訴我們，反例的應(yīng)用不僅能促使學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問題，還能有效點(diǎn)燃學(xué)生的探索欲，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究行為，為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

總之，靈活應(yīng)用反例，將反例恰到好處地應(yīng)用在刀刃上，不僅能快速檢驗(yàn)教學(xué)成效，還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，推動(dòng)學(xué)生的深度探究.因此，每位教師都應(yīng)關(guān)注反例在教學(xué)中的實(shí)用價(jià)值，將它作為提高教學(xué)成效、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的利器.

課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“觀念建構(gòu)視角下指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究”，立項(xiàng)編號(hào)為D/2021/02/513.