尹圓圓，江登英,2

（1.武漢理工大學理學院，武漢 430070；2.華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206）

0 引言

決策問題通常涉及多個目標和多個變量，因此，決策者在處理問題時通常會用多個值來表達觀點，而不僅僅是一個確定的值，表現(xiàn)出一定的猶豫性。因此，西班牙學者Torra 提出了猶豫模糊集（hesitation fuzzy set，HFS）[1]的概念，指出一個元素屬于一個集合的隸屬度可以是幾個不同的值。隨后，Xu和Xia（2011）[2,3]給出了HFS的數(shù)學表達形式，提出了猶豫模糊數(shù)（hesitation fuzzy number，HFN）的概念，并給出了猶豫模糊距離及相似度的測度方法，為HFN在多屬性決策領(lǐng)域的應用奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。

在猶豫模糊多屬性決策問題中，學者們常常用熵測度來確定屬性權(quán)重，其中的交叉熵測度主要是測量兩個集合之間的差異程度。文獻[4]提出直覺模糊條件下的交叉熵和直覺模糊熵的公式，并將其應用于群決策。文獻[5—8]提出熵、交叉熵、距離測度及相似度測度之間的聯(lián)系和公理化定義，并將其應用到區(qū)間模糊集環(huán)境中。文獻[9]將模糊集（fuzzy set，F(xiàn)S）的熵、交叉熵推廣到了HFS 并提出了HFS的交叉熵測度和熵的公理化定義。文獻[10]定義了一個新的交叉熵公式，并將其與其他距離公式進行對比分析，驗證了該交叉熵具有更高的區(qū)分度。

灰關(guān)聯(lián)投影法將灰關(guān)聯(lián)分析與投影法有機結(jié)合，能夠全面分析所有屬性之間的關(guān)聯(lián)，是一種有效的多屬性決策方法[11,12]。學者們將其拓展到FS、D 數(shù)集、直覺FS、中智FS、區(qū)間對偶HFS等。之后又有學者提出將灰關(guān)聯(lián)與雙向投影法相結(jié)合，既能討論全部屬性之間的關(guān)聯(lián)性，又能避免單方面投影的偏差。目前該方法主要被應用于畢達哥拉斯HFS[13]、Trapezoidal Type-2直覺模糊集[14]、猶豫直覺模糊語言集[15]等環(huán)境中，但較少有文獻在一般HFS中討論其用法。因此，本文將灰關(guān)聯(lián)雙向投影法拓展到一般HFS中解決多屬性決策問題。首先，根據(jù)熵的公理化定義新的交叉熵公式，并將其作為距離測度。然后，將畢達哥拉斯HFS的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法推廣到一般HFS上，擴大灰關(guān)聯(lián)雙向投影法在HFS上的適用范圍，提出一種基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影多屬性決策方法，解決屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題。最后，通過一個算例驗證了所提方法的合理性和有效性。

1 預備知識

1.1 猶豫模糊集

定義1[9]：設(shè)X是給定的非空集合，定義在集合X上的HFSH是X→[0 ,1] 上的一個子集的映射函數(shù)。為便于理解，Xu與Xia（2011）[2,3]給出了HFS的數(shù)學形式：

其中，hH(x)是區(qū)間[0 ，1] 上若干個不同的數(shù)值的集合，表示x∈X屬于HFSH的幾種可能的程度，它是HFS的基本元素，稱為HFN，簡記為h，可更詳細地表示為：

其中，#h代表HFNh中元素的個數(shù)。特別地，當#h=1時，HFS就退化為FS，不再對x∈X屬于HFSH的可能性存在猶豫。即HFS 是FS 的擴展，其擴展的部分就是對于x∈X屬于HFSH的可能性由一個確定的數(shù)值變?yōu)槿舾蓚€數(shù)值，F(xiàn)S 是HFS 的一種特殊形式，稱為單值HFS。由于各個HFN中元素個數(shù)可能不一樣，且元素排序紊亂，因此為方便運算與比較，需要對HFN進行規(guī)范化處理[3]。

1.2 交叉熵

為度量不同HFS之間的關(guān)系，文獻[9]引入交叉熵的概念，并給出交叉熵的公理化定義，如定理1所示。

定理1[9]：設(shè)?α、β為HFN，則他們的交叉熵C(α，β)滿足以下兩個公理化條件：

（1）C(α，β)≥0；

（2）C(α，β)=0 ?α=β。

基于定理1 的兩個公理化條件，文獻[10]構(gòu)造了新的交叉熵公式，如定義2所示。

定義2[10]：設(shè)hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，?xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，則有：

式（3）為HFNhH1和hH2的交叉熵，記為C1(hH1(xi)，hH2(xi)),其中l(wèi)=#h，i=1，2，…，n,j=1，2，…，l。

2 猶豫模糊環(huán)境下基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影決策方法

2.1 新的交叉熵公式

對于定義2，通過分析發(fā)現(xiàn)，該交叉熵僅在自變量范圍很小時滿足熵的公理化定義，這與熵的公理化條件（2）的范圍不符。具體證明過程如下：

式（3）滿足公理化條件（1），其詳細證明過程參見文獻[10]，此處不再贅述。對于公理化條件（2），在證明（1）的過程中，有Jensen不等式成立：

設(shè)f(x)=xp時，有：

當且僅當x1=x2=x3=x4時，式（5）成立。

例1：設(shè)三個模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（3）分別計算可得：C1(h1，h1)=0.4，C1(h2，h2)=0，C1(h3，h3) =0.0667，不難發(fā)現(xiàn)只有C1(h2，h2)為零，即，且時公式（3）并不滿足定理1的公理化條件（2）：C(α，β)=0 ?α=β。

由上面的證明過程可知，定義2的交叉熵不滿足熵的公理化定義，但其為距離測度時具有較高的區(qū)分度[10]。因此，在滿足定理1 公理化定義的前提下，本文提出了一種新的交叉熵公式，使其不僅具有分辨能力強的優(yōu)點，而且還能避免HFN 交叉熵取零的范圍縮小的問題，具體如定義3所示。

定義3：設(shè)hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，?xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，則有：

式（6）為HFNhH1和hH2的交叉熵，記為C2(hH1(xi)，hH2(xi)),其中p＞1，l=#h，i=1，2，…，n，j=1，2，…，l。

可以證明，該交叉熵公式滿足定理1 熵的公理化定義，即定理2。

定理2：定義3 中的交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))滿足以下條件：

（1）C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0；

（2）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0 ?hH1(xi)=hH2(xi)；

（3）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=C2(hH2(xi)，hH1(xi))。

證明：（1）為證明C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0，根據(jù)式（6）的結(jié)構(gòu)，設(shè)定函數(shù)，限定p＞1，接下來討論f(x，y)在x、y≥0 時的取值范圍。

函數(shù)f(x，y) 分別對x，y求偏導，并令偏導等于零：

由x、y＞0 時，求得函數(shù)f(x，y)的Hessian Matrix 值大于0，得函數(shù)f(x，y)在x=y時取極小值，又因為x=y時f(x，y)=0 ，且f( 0，0 )=0 ，所以在x、y≥0 ，f(x，y)≥0，當且僅當x=y時，等號成立。

（2）由（1）的證明過程可知，要使C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0，當且僅當，即時滿足公理化條件（2）。

（3）由定義3中的式（6）可知，此條件顯然成立。

為更好地驗證新交叉熵公式的有效性與合理性，下面用例1 的HFN 驗證定義3 中新交叉熵公式的適用范圍。

例2：對于模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（6）分別計算可得C2(h1，h1)=0，C2(h2，h2)=0，C2(h3，h3) =0，顯然這說明定義3 滿足定理1的公理化條件（2）：C(α，β)=0 ?α=β。

由定理2的證明過程發(fā)現(xiàn)，新的交叉熵公式符合距離的條件，因此可以把交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))作為距離。若C2(hH1(xi)，hH2(xi))的值越大，則hH1(xi)和hH2(xi)的差別越大，反之表示更為接近。

文獻[10]將定義2的交叉熵公式與文獻[3]中的各種距離公式進行比較，發(fā)現(xiàn)利用定義2的交叉熵公式計算距離較近的HFN具有更高的區(qū)分度。通過計算更為接近的幾個HFN，下面進一步比較分析定義3中新交叉熵公式與定義2中公式之間的差別。

例3：設(shè)方案集X={x1，x2} ，在非空集合X上的HFSH1、H2、H3為：

利用定義2和定義3分別計算不同參數(shù)下的交叉熵距離，具體結(jié)果分別如表1和表2所示。

表2 不同參數(shù)下新的C2 交叉熵距離

由于H1與H2之間有2 個數(shù)相差0.1，H1與H3之間有3 個數(shù)相差0.1，H2與H3之間有1 個數(shù)相差0.1，因此C(H1，H3)的值應最大而C(H2，H3) 的值應最小。但從表1的結(jié)果可知，C1(H1，H2)的取值均最大，這與推測不符，而表2 中新交叉熵的計算結(jié)果與推測相符。這表明用新交叉熵表示距離來辨別兩個較為接近的HFN 效果更好，能分辨出細小的差別，靈敏性更高，因此本文對交叉熵公式的定義是合理的。

2.2 基于新交叉熵的屬性權(quán)重確定方法

在多屬性決策中，屬性權(quán)重的確定至關(guān)重要，常用方法主要有主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法，這里選取客觀賦權(quán)法。根據(jù)2.1節(jié)的分析，用新交叉熵表示不同HFN之間的偏差，應用離差最大化方法[16]來確定屬性的權(quán)重，即對所有方案中偏差越大的屬性賦予越大的權(quán)重。用猶豫模糊交叉熵距離測度來度量方案xi在屬性aj∈A下與其他所有方案的偏差：

其中，方案xi在屬性aj∈A下的屬性值aj(xi)簡記為hij，dE(hij，hkj)=C2(hij，hkj) (i，k=1，2，…，n；j=1，2，…，m)為HFNhij與hkj之間的交叉熵距離。

方案在屬性aj∈A下與其他所有方案的總偏差是：

基于離差最大化方法，權(quán)重w=(w1，w2，…，wm)的選擇應該使總偏差Dj(w)最大，由此構(gòu)建優(yōu)化模型如下：

為求解上述模型，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

其中，η表示Lagrange函數(shù)中的乘子變量。

對L(w，η)分別求wj、η的偏導，并令偏導為零，得：

求解式（11）可得：

由此可知，在屬性aj下各方案間的總偏差越大，該屬性的權(quán)重就越大，反之該屬性的權(quán)重就越小。

2.3 基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法

文獻[13]討論了畢達哥拉斯模糊集與HFS結(jié)合的畢達哥拉斯HFS 灰關(guān)聯(lián)雙向投影法。為擴大灰關(guān)聯(lián)雙向投影法在HFS上的適用范圍，在此基礎(chǔ)上提出一般猶豫模糊環(huán)境下基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法。

（1）基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)

各方案與正負理想解的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)為：

其中，表示方案xi在屬性aj方面與正理想解x+之間的距離，表示方案xi在屬性aj方面與負理想解x-之間的距離，

建立灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣：

由此可知關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣中正理想解與正理想解的關(guān)聯(lián)系數(shù)、負理想解與負理想解的關(guān)聯(lián)系數(shù)如下：

為反映不同屬性的不同重要程度，對關(guān)聯(lián)系數(shù)加上權(quán)重，構(gòu)成加權(quán)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，則加權(quán)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣為：

計算加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)的正理想解和負理想解：

（2）基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影值

對于備選方案xi，越大，則xi離正理想點就越近；越小，則xi越接近負理想點。為全面集結(jié)灰關(guān)聯(lián)雙向投影值選出最優(yōu)方案，構(gòu)造相對貼近度如下：

可見，Ci越大則xi越優(yōu)，Ci越小則xi越劣。

猶豫模糊灰關(guān)聯(lián)投影法實質(zhì)上是一種單向投影，當兩個向量在正負理想解上投影值相同時，該方法無法區(qū)分兩個方案的好壞。而本文提出的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法可計算在另一方向上的投影值，雙向投影結(jié)合分析會使信息更為全面，并且基于新交叉熵作為距離測度的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法具有更高的區(qū)分度。

2.4 基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影決策步驟

對一般HFS 多屬性決策問題，設(shè)方案集X={x1，x2，…，xn}，屬性集A={a1，a2，…，am} ，基于新交叉熵為距離應用于離差最大化法求得屬性權(quán)重為屬性值aj(xi)簡記為hij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），決策者按所有方案的屬性進行評價得猶豫模糊決策矩陣D=(hij)n×m，按上述分析得灰關(guān)聯(lián)雙向投影決策方法的具體步驟如下。

步驟1：根據(jù)1.1節(jié)方法對D=(hij)n×m規(guī)范化處理，得規(guī)范化猶豫模糊決策矩陣；

步驟2：對規(guī)范化決策矩陣，基于2.2節(jié)提出的以新交叉熵為距離的離差最大化方法，按式（12）求得屬性權(quán)重w*；

步驟3：根據(jù)文獻[17]的方法，確定猶豫模糊正理想解x+和負理想解x-；

步驟4：根據(jù)式（6）分別計算方案xi與x+、x-的交叉熵距離D+、D-；

步驟5：根據(jù)式（13）和式（14）分別計算各備選方案與猶豫模糊正、負理想解的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)r+、r-，并令λ=0.5，通過式（16）和式（17）求出正理想解與正理想解的關(guān)聯(lián)系數(shù)、負理想解與負理想解的關(guān)聯(lián)系數(shù)；

步驟6 ：根據(jù)式（18）求出加權(quán)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣R+、R-，由式（19）和式（20）求出加權(quán)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)的正、負理想解；

步驟8 ：根據(jù)式（23）求出各備選方案的相對貼近度Ci，并據(jù)此對各方案進行排序。

3 實例分析

3.1 算例應用

為驗證本文提出的上述決策方法的可行性與有效性，下面通過文獻[17]中的能源問題進行實證分析。假設(shè)政府部門要從備選的5個方案中選出最為合適的方案，一組專家（決策組織）被邀請來對這5個方案進行評價，假設(shè)該決策組織用HFN 表示對各方案的評價，猶豫模糊決策矩陣具體見文獻[17]。利用2.4 節(jié)所提灰關(guān)聯(lián)雙向投影決策方法的步驟1至步驟8選擇最優(yōu)方案。

步驟1：對猶豫模糊矩陣進行規(guī)范化處理，為使風險最小，擴充原則采用風險規(guī)避型，由于所有的屬性均為效益型屬性，故可得規(guī)范化的猶豫模糊矩陣。新交叉熵利用離差最大化方法(p=2) ，根據(jù)式（12）求得屬性權(quán)重為w*=(0.2075，0.2286，0.4090，0.1549) ；根據(jù)式（21）和式（22）求出灰關(guān)聯(lián)雙向投影值，如表3所示。

表3 灰關(guān)聯(lián)雙向投影值

由此，得各備選方案的相對貼近度大小順序為C5＞C3＞C2＞C4＞C1，故最優(yōu)方案是x5。

3.2 算例結(jié)果的對比分析

為進一步驗證本文方法的有效性與合理性，下面將本文結(jié)果與灰關(guān)聯(lián)投影法結(jié)果進行對比分析，兩種方法所得相對貼近度，如表4所示。

表4 相對貼近度

由表4 可知，這兩種方法所得最優(yōu)方案都是x5，但相對貼近度排序結(jié)果不完全一致，其中，通過灰關(guān)聯(lián)投影法所得排序結(jié)果為C5＞C3＞C2＞C1＞C4，其差別主要在于方案x1和x4的相對貼近度排序不同。為分析其原因，列出灰關(guān)聯(lián)投影法的投影值，如表5所示。

表5 灰關(guān)聯(lián)投影值

根據(jù)表3 和表5 可知，導致表4 相對貼近度排序不同的原因是方案x1、x4單向正投影值排序與雙向正投影值排序相反。由文獻[18]可知，雙向投影較單向投影具更高可信度，故相較于灰關(guān)聯(lián)投影法，灰關(guān)聯(lián)雙向投影法更為可信。而HFS 中的灰關(guān)聯(lián)投影法只考慮了單方向上的投影，但本文所提HFS中的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法卻能夠全面分析屬性間的關(guān)系，反映整個屬性空間的影響，相較于單向投影法考慮得更為全面，避免了單方面的偏差，故所得決策結(jié)果更為合理有效。

3.3 靈敏度分析

為討論本文所提方法的靈敏度，分別計算出在不同參數(shù)下基于不同交叉熵為距離時的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法結(jié)果，如表6至表8所示。

表6 基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法結(jié)果

由此可見，表7 中各方案的相對貼近度值區(qū)分度較小，而表6和表8中相應區(qū)分度較大，即本文所提基于新交叉熵的決策方法具有較好的區(qū)分度。同時，比較表6至表8 不難發(fā)現(xiàn)，參數(shù)p的取值均會影響方案排序，當p=2，3，6，10 時，表6中最優(yōu)方案為x5；當p=20 時，最優(yōu)方案為x1，但表8中最優(yōu)方案始終都是x5。然而，隨著參數(shù)p的增大，方案x1的相對貼近度都呈逐漸增大趨勢，因此表6方法對x1的變化更靈敏。這表明相較于上述兩種方法，本文所提基于新交叉熵的決策方法具有更高靈敏度。

表7 基于定義2交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法結(jié)果

表8 基于文獻[9]交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法結(jié)果

4 結(jié)束語

本文對屬性值為猶豫模糊形式的多屬性決策問題進行研究，提出了新的交叉熵公式，并以其為距離測度，應用離差最大化方法求得屬性權(quán)重，并將灰關(guān)聯(lián)雙向投影法推廣到一般猶豫模糊決策中。對比已有的交叉熵公式，新的交叉熵解決了數(shù)值差異較小帶來的問題，提高了兩個相近的HFS之間的區(qū)分度；此外，基于新交叉熵的灰關(guān)聯(lián)雙向投影法通過理論證明和實證分析表明，該方法具有較高的區(qū)分度和靈敏度，且擴大了灰關(guān)聯(lián)雙向投影法在HFS上的適用范圍，提高了決策的可信度。