曹偉長，單文桃，呂冬喜，林奇，池云飛

(江蘇理工學院機械工程學院，江蘇常州 213001)

0 前言

高速數(shù)控機床是裝備制造的主要發(fā)展方向之一，研究表明：在超高速的切削條件下，材料所需的切削力會下降，表面質(zhì)量和加工效率得到提高[1-2]。電主軸的性能對機床高速化和高精度化起關(guān)鍵作用，永磁同步電主軸擁有功率大、集成度高等優(yōu)點，相較于異步電主軸，永磁體的使用有效地緩解了轉(zhuǎn)子發(fā)熱嚴重的問題，因此對永磁同步電主軸技術(shù)研究具有重要意義。

矢量控制是目前主要的永磁同步電主軸控制策略之一，對其進行精確地控制需要轉(zhuǎn)子的速度和位置信息。由于光電編碼器、靜磁柵絕對編碼器等傳感器的安裝增加了永磁同步電主軸的體積和成本，為了增強電主軸在特殊場合和限制下的穩(wěn)定性，采用無傳感器控制方式的永磁同步電主軸驅(qū)動系統(tǒng)近年來成為國內(nèi)外的研究熱點[3-4]。一些學者提出如高頻信號注入法[5-9]、滑模觀測器法[10]、自適應(yīng)觀測器法[11]、擴展卡爾曼濾波器法[12]、龍貝格觀測器法[13]等方法實現(xiàn)電主軸速度及位置信息的獲取。

滑模觀測器(Sliding Mode Observer，SMO)基于反電動勢預估轉(zhuǎn)速、位置信息，具有低復雜度、高魯棒性等優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)。然而，滑模觀測器具有開關(guān)控制特性，由于開關(guān)時間和空間滯后等問題，滑模觀測器觀測數(shù)據(jù)會出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，各種延遲效應(yīng)會降低觀測數(shù)據(jù)的精度[14]。

張立偉等[15]為了削弱滑模觀測器抖振現(xiàn)象，提出指數(shù)型滑模函數(shù)作為控制函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)開關(guān)函數(shù)，但指數(shù)型滑模函數(shù)的特性使其易出現(xiàn)短暫的鉗位現(xiàn)象，正弦度不高。王雙鑫等[16]提出利用雙曲正切函數(shù)替代符號函數(shù)，并省略低通濾波器，改善SMO存在的抖振和相位滯后問題。劉軍等人[17]為使觀測器測量的反電動勢波形更加平滑和準確，通過引入卡爾曼濾波器來削弱滑模觀測器的抖動，以此增強觀測數(shù)據(jù)的準確性。陳珂、宋保業(yè)[18]為減弱高頻抖振和系統(tǒng)誤差，提出了一種改進的分數(shù)階滑模觀測器，利用光滑連續(xù)的雙曲正切函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)開關(guān)函數(shù)，通過分數(shù)階的指數(shù)趨近律建立觀測器。彭思齊等[19]為了削弱抖振現(xiàn)象，提出一種新型指數(shù)型滑模函數(shù)，它具有更高的轉(zhuǎn)子位置觀測精度，并且觀測器觀測的反電動勢正弦度更高。呂德剛、李子豪[20]選取零點處連續(xù)的切換函數(shù)和指數(shù)趨近律結(jié)合的控制方法，以此來抑制傳統(tǒng)開關(guān)函數(shù)滑模觀測器所有系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

本文作者通過標幺化處理MTPA四階方程，提高MTPA控制的魯棒性；并將Sigmoid函數(shù)引進傳統(tǒng)滑模觀測器中，有效地緩解高頻抖振和系統(tǒng)誤差。

1 永磁同步電主軸數(shù)學模型

電主軸轉(zhuǎn)子和定子間具有非線性、強耦合性以及時變性等復雜的電磁關(guān)系，在建立數(shù)學模型之前假設(shè)：

(1)忽略鐵芯磁阻，永磁材料的電導率為零；

(2)不計渦流和磁滯損耗，永磁體內(nèi)部的磁導率與空氣相同；

(3)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組；

(4)永磁體產(chǎn)生的勵磁磁場和三相繞組產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場在氣隙中均為正弦分布；

(5)穩(wěn)態(tài)運行時相繞組中感應(yīng)電動勢波形為正弦波。

由a、b、c坐標系的三相電壓到d、q同步旋轉(zhuǎn)坐標系的變換為

(1)

建立d-q坐標軸下插入式三相永磁同步電主軸數(shù)學模型。

定子電壓方程：

(2)

(3)

式中：ud為電主軸定子d軸電壓；uq為q軸電壓；Ld為電主軸定子d軸電感；Lq為q軸電感；id為電主軸定子d軸電流；iq為q軸電流；ωr為電主軸電角速度；Rs為電主軸定子電樞相電阻；ψf為電主軸轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈。

定子磁鏈方程：

ψd=Ldid+ψf

(4)

ψq=Lqiq

(5)

式中：ψd、ψq分別為電主軸d、q軸磁鏈。

三相凸極永磁同步電主軸的電磁轉(zhuǎn)矩為

(6)

式中：pn為電主軸極對數(shù)；Te為電主軸電磁轉(zhuǎn)矩；β為電主軸轉(zhuǎn)矩角；is為電主軸定子電流。

在d-q軸系中有：

id=iscosβ

(7)

iq=issinβ

(8)

將式(7)(8)代入式(6)中得到：

(9)

機械運動方程：

(10)

式中：TL為電主軸負載轉(zhuǎn)矩；J為總轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦因數(shù)。

2 弱磁控制

2.1 弱磁區(qū)域的確定

MTPA(Maximum Torque Per Ampere)控制：基速(空載電動勢達到逆變器輸出最大電壓值時的轉(zhuǎn)速)以下，采用MTPA控制如圖1中OA所示。

弱磁區(qū)域Ⅰ：永磁同步電主軸將運行在圖1中OA和BC之間的區(qū)域。

弱磁區(qū)域Ⅱ：主軸沿著最大轉(zhuǎn)矩電壓比(Maximum Torque Per Voltage，MTPV)即弱磁區(qū)域Ⅱ運行。

2.2 弱磁區(qū)域Ⅰ的運行分析

根據(jù)MTPA原理，可將MTPA控制問題轉(zhuǎn)換成求定子電流最小值的問題。

(11)

由拉格朗日極值定理得到：

(12)

式中：λ為拉格朗日乘子。

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，對拉格朗日函數(shù)求偏導，即分別對id、iq、λ求偏導，并令等式為0得：

(13)

求解式(13)得到id的表達式：

(14)

將式(14)代入式(11)并進行化簡之后得到：

(15)

通過反解d、q軸電流與電磁轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系方程可得：

id=f1(Te)

(16)

iq=f2(Te)

(17)

在電主軸的實際應(yīng)用中，主軸的參數(shù)會受到溫度、磁路飽和等因素的影響而產(chǎn)生變化，為了適應(yīng)參數(shù)改變帶來的影響，需要對方程式進行標幺值化處理。對式(9)進行標幺值化處理：

令Teb=pnψfib

(18)

式中：Teb為電主軸轉(zhuǎn)矩基值；ib為電主軸電流基值。

(19)

(20)

式中：Ten為電主軸轉(zhuǎn)矩標幺值。

(21)

(22)

式中：idn為電主軸d軸電流標幺值；iqn為電主軸q軸電流標幺值。

(23)

根據(jù)式(9)(23)可得：

(24)

(25)

通過標幺值化得到的最大轉(zhuǎn)矩、電流關(guān)系將不再與主軸的參數(shù)有關(guān)，即Ten和idn、iqn之間的關(guān)系將不受參數(shù)變換影響。

高速永磁同步電主軸的參數(shù)如表1所示。

表1 高速磨削電主軸參數(shù)

為了減小計算量，利用MATLAB的工具箱從圖像中選取數(shù)據(jù)，通過多項式對式(24)(25)進行曲線擬合得到：

(26)

(27)

根據(jù)式(26)(27)進行電流分配，從而實現(xiàn)MTPA控制。

2.3 弱磁區(qū)域Ⅱ的運行分析

恒轉(zhuǎn)矩方向：

(28)

設(shè)輸出電壓的代價函數(shù)為

(29)

當主軸高速運行時，定子側(cè)的壓降影響較小，可以忽略，電壓極限圓遞減方向表達式：

(30)

根據(jù)電壓極限橢圓中電壓下降方向的表達式(30)，令：

(31)

當θ<90°時，為弱磁區(qū)域Ⅰ；當θ=90°時，永磁同步電主軸沿著MTPV曲線運行進入弱磁區(qū)域Ⅱ；當θ≥90°時，進入弱磁區(qū)域Ⅱ。

2.4 電流參考值的修正

在弱磁區(qū)域Ⅱ，電流參考值沿MTPV進行修正，由轉(zhuǎn)矩雙曲線切點和電壓極限橢圓的連線，可以表示出MTPV的軌跡方程：

(32)

由式(32)可得MTPV切線方向：

(33)

在弱磁Ⅰ區(qū)，電流將會沿(Td,Tq)T方向修正；在弱磁區(qū)Ⅱ區(qū)，電流將會沿MTPV方向修正。以此求解電流修正值為

(34)

(35)

式中：α、β為增益系數(shù)。

經(jīng)MTPA控制和弱磁電流修正后電流可以表示為

(36)

(37)

3 滑模觀測器

3.1 滑模觀測器原理

建立α-β坐標軸下插入式三相永磁同步電主軸數(shù)學模型：

(38)

式中：uα、uβ分別為電主軸定子繞組的α、β軸電壓；iα、iβ分別為電主軸定子繞組的α、β軸電流；Eα、Eβ為電主軸擴展反電動勢。

其中[EαEβ]T滿足：

(39)

對于插入式永磁同步電主軸，要得到電主軸的位置信息和轉(zhuǎn)速信息，必須獲得準確的Eα、Eβ的值，將電壓方程(38)改寫成電流狀態(tài)方程形式：

(40)

為了得到Eα、Eβ的估計值，設(shè)計的傳統(tǒng)SMO如下：

(41)

將式(40)(41)做差可得到永磁同步電主軸定子觀測電流與實際電流的誤差方程為

(42)

(43)

(44)

設(shè)計滑?？刂坡蕿?/p>

(45)

當滑模觀測器的狀態(tài)變量達到滑模面、電流觀測誤差值等于零時，觀測器的狀態(tài)將一直保持在滑模面上：

(46)

(47)

由滑?？刂频牡刃Э刂圃砜芍捍藭r的控制量可看作等效控制量。

(48)

(49)

3.2 改進型滑模觀測器算法

為改善傳統(tǒng)滑模觀測器由于不連續(xù)開關(guān)函數(shù)控制特性所導致的觀測器系統(tǒng)抖振問題，選取零點處連續(xù)的開關(guān)控制函數(shù)sigmoid(x)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的開關(guān)函數(shù)。

(50)

根據(jù)永磁同步電主軸數(shù)學模型，構(gòu)建自適應(yīng)模糊滑模觀測器如下：

(51)

滑?？蛇_性條件由李亞普諾夫函數(shù)表示：

V=1/2ST(x)S(x)

(52)

滑模觀測器穩(wěn)定性條件為

(53)

(54)

(55)

(56)

可以得到：

h>max(|Eα|,|Eβ|)

(57)

由上述推導可知：在指數(shù)趨近律中，當趨近速度h?max(Eα,Eβ)時，滑模系統(tǒng)的抖振區(qū)間會縮小。

4 實驗分析

文中對實驗室FL170-20-15型高速磨削電主軸(如圖2所示)進行Simulink建模仿真，仿真模型如圖3所示。

圖2 FL170-20-15型高速磨削電主軸

圖3 滑模觀測器弱磁控制模型

在使用MATLAB仿真中，設(shè)定電主軸的轉(zhuǎn)速為21 000 r/min，轉(zhuǎn)速時間關(guān)系曲線如圖4所示，主軸轉(zhuǎn)速上升時間為2.8 s。從圖5可以看出：主軸轉(zhuǎn)速超調(diào)量約為88 r/min，在3.4 s時由于階躍負載，此時轉(zhuǎn)速下降約43 r/min并在0.17 s內(nèi)恢復到設(shè)定轉(zhuǎn)速。由圖6可以看出：滑模觀測器在主軸低速階段觀測數(shù)據(jù)誤差較大，隨著轉(zhuǎn)速升高，誤差逐漸減?。辉?.65 s左右注入弱磁調(diào)節(jié)信號，轉(zhuǎn)子位置誤差波動范圍變大。由圖7可以看出：當轉(zhuǎn)速達到設(shè)定轉(zhuǎn)速時，電流快速減小，符合系統(tǒng)過程分析。從圖8可以看出：在3.4 s時對永磁同步電主軸施加一個1 N·m的階躍負載，相對應(yīng)主軸電流增加。

圖4 轉(zhuǎn)速時間關(guān)系

圖6 轉(zhuǎn)子位置誤差曲線

圖7 電流-時間關(guān)系

綜上可得：通過將sigmoid函數(shù)引進傳統(tǒng)滑模觀測器中，使得該觀測器估計出的轉(zhuǎn)子電角度信息和轉(zhuǎn)速值更接近實際數(shù)值，并且誤差抖動更小。

5 結(jié)論

通過構(gòu)建滑模觀測器得到位置和轉(zhuǎn)速信息，對高速磨削電主軸FL170-20-15進行Simulink仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)通過對id、iq與Te的關(guān)系表達式進行標幺化處理，使MTPA控制的求解方程與電主軸參數(shù)無關(guān)，提高了電主軸控制的魯棒性。

(2)通過把Sigmoid函數(shù)引進滑模觀測器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的開關(guān)函數(shù)，有效減小了滑模觀測器的觀測誤差，并且改善了觀測系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

(3)由于弱磁信號的注入，轉(zhuǎn)子位置誤差波動范圍明顯增大，抖振現(xiàn)象明顯增強。如何削弱弱磁控制帶來的滑模觀測器抖振，需要進一步研究。