《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出以素養(yǎng)為導(dǎo)向，落實“立德樹人”的根本任務(wù).波利亞在《怎樣解題》中提出“中學(xué)數(shù)學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”，因此培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

目標(biāo)意識是指對目標(biāo)重要性的認(rèn)識，解題活動就是在目標(biāo)意識的監(jiān)控下進(jìn)行的有目的的思維過程.但在應(yīng)試教育的影響下，許多教師不能將解題的重點放在分析目標(biāo)上，而是將大量時間花費在技巧歸類、總結(jié)題型的套路上，導(dǎo)致學(xué)生解題能力得不到有效提升.下面以一道幾何題為例，分析目標(biāo)意識在解題中的應(yīng)用.希望能引起教師對學(xué)生目標(biāo)意識培養(yǎng)的重視.

1 例析目標(biāo)意識在解題過程中的應(yīng)用

俗話說“解題不在于多，而在于精”.解題教學(xué)中，若選用過多類型的例題來剖析，學(xué)生一方面要多解題，另一方面要體會目標(biāo)意識的作用，則會手忙腳亂.筆者認(rèn)為一題多解類題目更能幫助學(xué)生從整體直觀地體會解題過程中目標(biāo)意識所發(fā)揮的作用.同時，一題多解類題目也可培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的能力，是最能鍛煉學(xué)生思維能力的題目類型.

“圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)的重要模塊之一.然而對學(xué)生來講，平面幾何的學(xué)習(xí)是一個挑戰(zhàn).首先，幾何概念的抽象加大了理解難度；其次，幾何語言的表達(dá)難以規(guī)范；最后，復(fù)雜圖形分析難度高.因此，平面幾何可以很好地考查學(xué)生的綜合解題能力.基于此，本文中將通過一道幾何題的一題多解來分析目標(biāo)意識是如何幫助我們解題的.

1.1 例題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=120°，點D在AB邊上，∠EDF=60°，當(dāng)D為AB的中點且∠EDF的兩邊分別交線段AC，BC于點E，F(xiàn)時，求證：DE=DF.

1.2 例題分析及解答

思路1：要證DE=DF，即證兩條線段相等，根據(jù)已有經(jīng)驗要證明線段相等，可以通過證明三角形全等來實現(xiàn).圖1中DF與DE所在的三角形只有△ADE和△DFB，根據(jù)所給條件無法證明這兩個三角形全等.此時可以通過添加輔助線來構(gòu)造三角形，過點D作AC，BC的高線構(gòu)造兩個直角三角形即可證明.

目標(biāo)意識分析：圖中沒有直角三角形，如何構(gòu)造？思維遇到死角.當(dāng)目標(biāo)難以從正面接近，可逆向思考，將試題中的結(jié)論反置為條件，以結(jié)論為解題的抓手.如本題中將證明DE=DF轉(zhuǎn)化為證明三角形全等（包含DE，DF邊的兩個三角形）.要實現(xiàn)新目標(biāo)，結(jié)合題設(shè)條件D為AB的中點，可過點D作高構(gòu)造直角三角形.作高構(gòu)造直角三角形在中學(xué)幾何題目中是十分常見的方法，學(xué)生很容易想到.

證明：如圖2，過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為M，N，可得∠DMA=∠DNB=90°.由AC=CB，得∠A=∠B.再由D是AB的中點，得DA=DB.因此在△ADM與△BDN中，∠A=∠B，∠DMA=∠DNB、DA=DB，所以△ADM≌

△BDN（AAS），則DM=DN.又∠ACB=120°，

∠EDF=60°，所以∠DEC+∠DFN=180°.因為∠DEC+∠DEM=180°，所以∠DEM=∠DFN.在△DME與△DNF中，∠DME=∠DNF，∠DEM=∠DFN，DM=DN.所以△DME≌△DNF（AAS）.證得DE=DF.

思路2：主抓條件∠DEF=60°，聯(lián)想60°通常在等邊三角形中出現(xiàn)，考慮在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.

目標(biāo)意識分析：抓住條件∠DEF=60°，確定解題目標(biāo)為在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.考慮在BF邊上取一點G，使得∠BDG=30°，則DG=GB.再根據(jù)等腰三角形三線合一性，CD是AB邊的高線，所以△CDB是直角三角形.再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，發(fā)現(xiàn)G為BC中點.又∠DGF=∠DCG=60°，所以CG=DG，等邊三角形DCG構(gòu)造完成.

證明：如圖3，連接DC，取BC的中點G，連接DG.又CD是AB邊的高線，所以△CDB是直角三角形，則CG=DG=GB，于是∠B=∠BDG=30°，∠DGF=60°，所以△DCG為等邊三角形，可知∠CDG=60°，DC=DG.由∠EDF=60°，知∠EDC+∠CDF=60°，又∠FDG+∠CDF=60°，所以∠EDC=∠FDG.又∠DCE=∠DGF=60°，所以△DEC≌△DFG（ASA）.證得DE=DF.

思路3：主抓條件∠A=∠B，AD=BD，出現(xiàn)邊角重合，考慮可以通過構(gòu)造折疊圖形來證明全等.

目標(biāo)意識分析：抓住已知條件∠A=∠B（角重合），D為AB的中點（邊重合），因此，新目標(biāo)為構(gòu)造全等三角形.如BD邊所在的三角形有△DFB，就可考慮將△DFB按照角進(jìn)行折疊，在AC邊取與BF相等的線段構(gòu)造全等三角形，或者找AD邊所在的三角形ADE，通過折疊，在BC邊構(gòu)造全等三角形.因此本題可以分為兩種證法.（1）在AC上截取AH=BF.（2）在BC上截取BH=AE.

證明：如圖4，在AC上截取AH=BF.因為D為AB的中點，所以AD=BD.在△ADH與△BDF中，AD=BD，∠A=∠B，AH=BF，所以△ADH≌△BDF（SAS），則DH=DF，∠AHD=∠BFD.因為∠ACB=120°，∠EDF=60°，所以∠DEC+∠CFD=180°.又∠DFB+∠CFD=180°，所以∠DEC=∠BFD，即∠AHD=∠DEC.所以∠EHD=∠DEH，從而證得DE=DF.

思路4：因為∠ACB=120°，∠EDF=60°，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)D，E，C，F(xiàn)四點共圓.

目標(biāo)意識分析：題設(shè)條件中∠ACB，∠EDF兩角互補，發(fā)現(xiàn)D，E，C，F(xiàn)四點共圓.解題的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為在圓中證明兩條弦相等，把DE，DF兩弦放在△DEF中，此時新的解題目標(biāo)就成為證明∠DEF=∠DFE.

證明：因為∠ACB+∠EDF=180°，所以D，E，C，F(xiàn)四點共圓.

如圖5所示，在圓中，∠DEF=∠DCF，∠DFE=∠DCE.又因為在等腰三角形ABC中，CD平分∠ACB，

所以∠DCF=∠DCE=60°，從而∠DEF=∠DFE，證得DE=DF.

2 解題反思

2.1 加強(qiáng)目標(biāo)意識培養(yǎng)，提升解題能力

目標(biāo)意識與解題活動相輔相成.教師應(yīng)在解題活動中，著力培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識，提升學(xué)生解題能力.

（1）引導(dǎo)學(xué)生重視目標(biāo)導(dǎo)向性，明確解題目標(biāo)

重視目標(biāo)的導(dǎo)向性，有利于學(xué)生對問題的深刻剖析，在解題過程中，有些問題目標(biāo)往往表達(dá)含蓄、難于把握.因此，應(yīng)使目標(biāo)“看得見”“摸得著”，進(jìn)而找到解題的突破口.

例如在本題中，教師通過以下三方面培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識，幫助學(xué)生明確解題目標(biāo).

方面一：抓住已知條件，明確解題的目標(biāo).

“注重已知”是波利亞對解題的建議.在解題時，一定要抓住題設(shè)條件，思考是否有類似的結(jié)論或命題.可以進(jìn)行大膽的猜想，考慮是否可以構(gòu)造條件來與已知條件相輔，由一般到特殊，再從特殊到一般，一番思考后，解題思路將逐步清晰，解題目標(biāo)也就隨之形成.

本題中主抓條件AC=CB，∠ACB=120°，容易得到△ABC為等腰三角形，∠A=∠B.再由條件D為AB的中點，得到AD=BD.根據(jù)∠A=∠B，AD=BD兩條件發(fā)現(xiàn)邊、角重合，明確解題目標(biāo)為構(gòu)造折疊圖形證明全等（思路3）.若主抓條件∠EDF=60°，將解題目標(biāo)確定為構(gòu)造等邊三角形（思路2）.

方面二：利用整體觀點，明確解題目標(biāo).

在解題過程中，如果目標(biāo)特征難以確定時，全局意識可幫助我們由條件導(dǎo)出整體結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)簡便的解法，達(dá)到解題的目的.

本題中，發(fā)現(xiàn)條件中∠ACB，∠EDF兩角互補，看起來毫無關(guān)聯(lián)，但當(dāng)我們利用整體觀點時，就會發(fā)現(xiàn)這兩個角是四邊形DECF的對角，根據(jù)圓的性質(zhì)，得出四點是共圓的（思路4）.此思路簡約自然，最大限度地合理利用了已知條件.

方面三：借助反置思維，明確解題目標(biāo).

反置思維就是把試題中的結(jié)論反置為條件，以結(jié)論為解題的抓手，并與題設(shè)的部分（或整體）條件有機(jī)結(jié)合，通過轉(zhuǎn)化，得出一個題設(shè)條件的“結(jié)論”，這個“結(jié)論”便是解題的目標(biāo).

本題中，從題設(shè)入手無法快速確定解題目標(biāo)，可將結(jié)論DE=DF當(dāng)為條件，結(jié)合D為AB的中點，過點D作高構(gòu)造直角三角形，通過轉(zhuǎn)化得到解題目標(biāo)為證明包含DE，DF邊的三角形全等.

（2）引導(dǎo)學(xué)生評判解題的過程，優(yōu)化思維結(jié)果

目標(biāo)意識隨時監(jiān)控著思維活動，評價解題的過程.例如，所選方法能否成功解題，解題過程是否繁雜，是

否存在最優(yōu)解法，等等，這些都需要目標(biāo)意識的調(diào)控.目標(biāo)意識幫助我們避開彎路，尋找捷徑，使解題過程更簡潔優(yōu)化.

例如本例題中，首先，目標(biāo)意識確保了我們所選的四種方法都“走得下去”；其次，當(dāng)我們的解題步驟繁瑣時，目標(biāo)意識會驅(qū)使我們重新審題，檢查是否漏了條件或過程錯誤；最后，在解題完成后，目標(biāo)意識促使我們進(jìn)行反思，還有沒有其他的方法，最優(yōu)解法是什么等，針對本題的目標(biāo)，思路4是最優(yōu)解題路徑，證明過程最為簡捷.

2.2 關(guān)注一題多解訓(xùn)練，培養(yǎng)發(fā)散思維

大部分的中考試題其實都源于教材上的例習(xí)題，這些題目往往蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識與思想.教師在解題教學(xué)中要認(rèn)真研讀課標(biāo)、教材，要善于利用“一題多解”，對問題進(jìn)行不同角度的剖析，拓寬學(xué)生思維的深度與廣度.

同時，教師更要充分挖掘例題的功能和價值，讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中“做一題，學(xué)一法，會一類，通一片”，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，提升核心素養(yǎng).