近日，筆者在參加全市鄉(xiāng)村共同體數(shù)學教研活動中，聽了一節(jié)鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校的初三數(shù)學課，課題是“二次函數(shù)的應用”.課后，筆者進行了師生訪談交流，并對學生進行了檢測分析，交流結果與分析數(shù)據(jù)引發(fā)了筆者對本節(jié)課一個教學片段的思考.

1 教學實錄片段

教者出示題目：某公司銷售一批產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件成本是40元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（單位：元）與產(chǎn)品的日銷售量y（單位：件）之間滿足一次函數(shù)關系，部分對應數(shù)據(jù)如表1.

（1）求日銷售量y與單件售價x的函數(shù)關系式.

（2）每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元，當天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若售價為50元/件時，每天能賣出500件.商場想采用提高售價的方法來增加利潤.已知這種商品每件漲價1元，銷量就減少10件，為當天獲取的利潤不少于8 000元，應怎樣定價？

師：這是一道常見的二次函數(shù)的應用問題，現(xiàn)在請一個同學來展示一下第（1）問.

生1：設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法將點（45，25）和（50，20）代入，解得k=-1，b=70，所以一次函數(shù)解析式為y=-x+70.

師：很好，再請一個同學來展示一下第（2）問.

生2：因為每件產(chǎn)品的利潤為（x-40）元，日銷售量為（-x+70）件，設總利潤為z元，所以可得z=（x-40）（-x+70），再利用配方法可以求出結果.

師：很好，同學們非?？焖俚亟鉀Q了前面兩個小問.下面請大家思考一下第（3）問，先獨立思考，再互相交流一下（學生思考幾分鐘時間）.

生3：設每件漲價x元，則售價為（50+x）元/件.設總利潤為z元，則z=（50+x-40）（500-10x）.因為當天獲取的利潤不少于8 000元，所以可以得到（50+x-40）（500-10x）≥8 000.不等式我不會解了.

師：將z=（50+x-40）（500-10x）配方，可得y=-10（x-20）2+9 000.又z≥8 000，這個不等式的解法估計大部分同學想不到.究竟怎么解決呢？請大家看投影展示.

由圖1可知，當10≤x≤30時，8 000≤y≤9 000，所以單件產(chǎn)品定價為60元至80元時，日利潤不少于8 000元.

然后，教者開始講授其他新課內(nèi)容了．

2 課后師生交流，檢測反饋分析

這道例題的教學，看似讓學生理解了解法，也充分展示和暴露了學生的思維過程，但這樣的講法只是徒有其表，尤其是第（3）問的講解只是教師展示了答案，并強調了注意點，真正留給學生的解題經(jīng)驗與數(shù)學思想寥寥無幾.教者依然沒有擺脫題海思維，這樣的例題教學收效甚微.筆者以為這道數(shù)形結合題的教學不太成功，教師沒有深入研究問題，沒有將問題的本質充分展示給學生.這道習題教學的意義是什么？學生的典型錯誤在哪里？借助這次講評，學生有沒有理解數(shù)形結合的意義？為此，筆者課后與師生進行了充分交流，并重新設計了兩道測試題用來檢測數(shù)形結合教學的質效.

2.1 課后與教師的互動交流

筆者：您選擇這道題目的目的是什么？

教者：因為這種題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，屬于二次函數(shù)應用的熱點，很典型，而且學生做這類題也有難度，整體的達成度不高.

筆者：您講評這道習題的側重點在哪？

教者：因為這道題前兩問學生能解決．但第（3）問很多學生做不出來，我主要講第（3）問，用數(shù)形結合方法解決實際問題.

筆者：您認為前兩問學生的達成度有多少？

教者：前兩問比較簡單，我沒有具體統(tǒng)計，學生的準確性應該還可以吧.

筆者：您認為第（3）問的講解學生聽懂了多少？

教者：我已經(jīng)讓學生回答，學生沒答出，因為數(shù)形結合對于學生來說是一個難點，學生都是用不等式來解決，而初中階段一元二次不等式學生沒辦法解決，所以給學生展示了比較完整的解答過程，同時也進行了強調，應該收到了良好的效果.

2.2 課后與部分學生的交流

筆者：這種題型平時遇到的多嗎？

學生（眾人）：經(jīng)常遇到.

筆者：對于這道題，你們都能聽懂嗎？假如現(xiàn)在再面臨同樣的問題，能熟練求解嗎？

學生1：前面兩問聽懂了，但是第（3）問的解法不是太明確，以后我再遇到估計做對的把握不大．

筆者：第（2）問的結果老師沒有呈現(xiàn)，你們算出來了嗎？

學生（眾人）：我也不知道對不對，老師說配方，我用的是公式法.

筆者：第（3）問老師不是已經(jīng)完整地展示了解題過程嗎？怎么還會有疑問呢？

學生3：我首先想到的是運用不等式的知識來解決問題，至于后面老師為什么要畫圖象，怎么會想到畫圖象，圖象畫出來怎么用，我還是比較費解的.

筆者：你覺得老師設置的這幾個問題，關聯(lián)性與層次性是否明顯？

學生4：我覺得這三個問題有一定的關聯(lián)性，但層次不明顯，之間的跨度有點大，結構不是太合理.

2.3 測試情況及統(tǒng)計分析

是否如老師所言，對于類似的問題學生能夠熟練求解？如果給出類似的習題，學生還能解決嗎？為此，筆者設計了兩個問題用以檢驗學生的學習效果，問題如下：

（1）如圖2，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖象相交于點A（-2，4）和B（8，2），則能使y1gt;y2成立的x的取值范圍為.

（2）（2016＼5揚州）某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元（a＞0）．未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天降1元．通過市場調研發(fā)現(xiàn)，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件．在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，a的取值范圍應為.

兩道檢測題的統(tǒng)計分析見表2.

雖然是鄉(xiāng)村薄弱學校，但是通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，學生檢測的結果也太差了，班級36人參加測試，兩題全對的只有1人．由此說明，通過這個例題的教學，學生并沒有真正領悟到如何看圖象，遇到實際問題還不能夠借助函數(shù)圖象靈活解決問題．

3 教學思考

（1）關注學生的體驗，讓學生在問題中感悟學習

學生已有的認知經(jīng)驗是進行數(shù)學學習活動的基礎，當我們遵循這樣的本質規(guī)律，那么新知識的生長點也就具備了，學生就會在已有經(jīng)驗的基礎上，通過教師有效的問題對后續(xù)的學習有所感悟.在課堂教學中，教師應抓住這一本質，搭建新舊知識之間的橋梁，借助開啟學生思維的問題，幫助學生復習已有知識，鋪墊好新學知識.

（2）關注學生的能力，讓學生在問題中探究學習

問題是開啟學生思維的鑰匙，在關注學生能力的同時，教師要設置有層次性、遞進性的問題，由淺入深，由表及里，層層深入，引導學生抽絲剝繭，使得他們的思維在探究中步步深入，體驗學習的樂趣.

（3）關注課堂的輻射，讓學生在問題中創(chuàng)新學習

一節(jié)課給學生留下的不僅是知識，更重要的是思想方法.數(shù)學課堂上，教師要通過數(shù)學抽象、數(shù)學建模，提升學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的素養(yǎng).在實際操作中訓練學生的數(shù)學抽象能力，讓數(shù)學即生活的價值在腦海中自然流淌.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：會用坐標表達圖形的變化、簡單圖形的性質，感悟通過幾何建立直觀、通過代數(shù)得到數(shù)學表達的過程.在這樣的過程中，感悟數(shù)形結合思想，會用數(shù)形結合的方法分析和解決問題.可見，感悟數(shù)形結合思想，會用數(shù)形結合的方法分析和解決問題是新課程標準對數(shù)學教學的基本要求.為此，教師要通過具體現(xiàn)實的數(shù)學情境，引導學生學會從幾何的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，進而學會用幾何直觀和邏輯推理思想去解決問題，切實實現(xiàn)利用問題驅動，引導學生深度參與課堂，進而提升核心素養(yǎng)的培養(yǎng).