王耀 郭偉杰 彭俊金

基于愛(ài)因斯坦引力理論的獨(dú)立聯(lián)絡(luò)形式，由諾特定理可以導(dǎo)出一個(gè)含任意參考背景仿射聯(lián)絡(luò)的推廣Katz-Bicak-Lynden-Bell（KBL）勢(shì)，借此得到一個(gè)守恒量定義式. 本文把該定義式應(yīng)用于漸近anti-de Sitter（AdS）且轉(zhuǎn)動(dòng)的Kerr-AdS黑洞時(shí)空的質(zhì)量與角動(dòng)量的定義，給出了與其他標(biāo)準(zhǔn)方法一致的結(jié)果. 特別地，本文首次構(gòu)造了一個(gè)比通常KBL超勢(shì)中的參考背景聯(lián)絡(luò)更具一般性的新聯(lián)絡(luò)，相關(guān)結(jié)果表明KBL方法中的參考背景聯(lián)絡(luò)不具有唯一性，而對(duì)它的基本要求就是保持理論的協(xié)變性.

Kerr-AdS黑洞； 引力場(chǎng)的守恒荷； KBL方法； Kerr黑洞

O412.1 A 2024.014004

Conserved quantities of Kerr-AdS black holes based on ?a connection independent Lagrangian

WANG Yao ?1 ， GUO Wei-Jie ?1 ， PENG Jun-Jin ?1，2

（1. School of Physics and Electronic Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550001， China；

2. Guizhou Provincial Key Laboratory of Radio Astronomy and Data Processing， ?Guizhou Normal University， Guiyang 550001， China）

On the basis of a connection-independent Lagrangian for Einstein gravity， a generalized Katz-Bicak-Lynden-Bell （KBL） potential that contains an arbitrary affine connection is derived. In light of the potential， a formula for conserved charges can be proposed. In the present paper， such a formula succeeds in the definition of the mass and angular momentum for Kerr-AdS black holes. Particularly， we have constructed a new more general reference background connection in comparison with the Levi-Civita one adopted in the KBL superpotential. This further demonstrates that the reference background connection in the KBL method is not unique and it plays a fundamental role in preserving the covariance of the gravity theory.

Kerr-AdS black hole; Conserved charges for gravitational field; The KBL method; Kerr black hole

1 引 言

愛(ài)因斯坦引力理論中的各類(lèi)黑洞時(shí)空是度規(guī)張量滿(mǎn)足引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程的解，已有研究表明，從天體物理角度來(lái)看，其中最有意義的當(dāng)屬轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞時(shí)空. 1963年，著名學(xué)者Kerr 找到了真空愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程的第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)、漸近平直的黑洞時(shí)空精確解 ?［1］ . 五年后，學(xué)者Carter找到了Kerr時(shí)空的含宇宙學(xué)常數(shù)的推廣解 ?［2］ . 因該解在正宇宙學(xué)常數(shù)時(shí)漸近de Sitter （dS） 而當(dāng)宇宙學(xué)常數(shù)為負(fù)時(shí)漸近anti-de Sitter（AdS），文獻(xiàn)中常稱(chēng)之為Kerr-dS或Kerr-AdS黑洞. 若納入電荷的貢獻(xiàn)，進(jìn)一步得到Kerr-（A）dS黑洞的帶電推廣，即更一般的穩(wěn)態(tài)Kerr-Newman-（A）dS黑洞時(shí)空 ?［3，4］ . Kerr-（A）dS黑洞不僅存在于四維時(shí)空中，還可以推廣到任意高維愛(ài)因斯坦引力中 ?［5］ .

自上世紀(jì)末發(fā)現(xiàn)AdS/CFT對(duì)應(yīng)性以來(lái)，對(duì)漸近AdS黑洞的研究經(jīng)久不衰，其中重要的關(guān)注對(duì)象之一便是Kerr-AdS黑洞. 為了探討Kerr-AdS黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)或開(kāi)展與此相關(guān)的研究，往往需要確定其質(zhì)量與角動(dòng)量等守恒量. 因此，有必要尋找能夠良好定義Kerr-AdS黑洞守恒量的方法. 目前為止，從多種角度著手，人們已經(jīng)發(fā)展出一些能給出Kerr-AdS黑洞的有物理意義的守恒荷的經(jīng)典方法 ?［6-11］ ，其中包括協(xié)變相空間方法 ?［12-14］ ，Katz-Bicak-Lynden-Bell （KBL）方法 ?［15-17］ ，以及Abbott-Deser-Tekin （ADT）定義 ?［18-20］ 等. 若能對(duì)這些已有方法進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)，抑或提出新的方法，將豐富人們對(duì)Kerr-AdS黑洞守恒量的認(rèn)識(shí).

最近，在愛(ài)因斯坦引力框架下，學(xué)者Harada通過(guò)在著名的Einstein-Hilbert拉氏量之上增加一個(gè)含任意仿射聯(lián)絡(luò)的邊界項(xiàng)，得到了所謂的聯(lián)絡(luò)獨(dú)立的拉氏量形式 ?［21］ . 盡管邊界項(xiàng)的變分對(duì)場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程沒(méi)有貢獻(xiàn)，但是，由諾特定理可知，它會(huì)對(duì)守恒流和勢(shì)帶來(lái)貢獻(xiàn). 基于這一點(diǎn)，本文作者郭偉杰和彭俊金在文獻(xiàn)［22］中得到了一個(gè)含任意參考背景聯(lián)絡(luò)的推廣KBL超勢(shì)，并由此進(jìn)一步給出了愛(ài)因斯坦引力的一個(gè)守恒量定義式. 為了檢驗(yàn)這樣的一個(gè)定義式在漸近AdS時(shí)空中的適用性，本文將基于它探討Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量的計(jì)算問(wèn)題. 不僅如此，為了闡釋KBL方法中參考背景聯(lián)絡(luò)的非唯一性問(wèn)題，我們還將考慮尋找更一般的恰當(dāng)?shù)膮⒖急尘奥?lián)絡(luò)來(lái)計(jì)算守恒量. 期待相關(guān)結(jié)果能夠?qū)err-AdS黑洞的守恒量定義以及KBL方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)提供一些新的途徑.

本文余下部分布局如下：在第二節(jié)中，以Einstein-Hilbert拉氏量的獨(dú)立聯(lián)絡(luò)形式為出發(fā)點(diǎn)，基于諾特定理推導(dǎo)出一個(gè)推廣的KBL勢(shì)，并以此給出守恒荷的定義式. 在第三節(jié)中，我們將在兩種不同的參考背景聯(lián)絡(luò)下詳細(xì)計(jì)算Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量，它們與文獻(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果完全一致. 第四節(jié)對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)并對(duì)結(jié)果做一個(gè)簡(jiǎn)單討論.

2 ?基于獨(dú)立聯(lián)絡(luò)形式拉氏量的愛(ài)因斯坦引力的守恒量定義式

本節(jié)將對(duì)文獻(xiàn)［22］中基于拉氏量的獨(dú)立聯(lián)絡(luò)形式來(lái)定義引力場(chǎng)守恒量的方法簡(jiǎn)單回顧，由此給出愛(ài)因斯坦引力理論的守恒量的一般定義式.

廣義相對(duì)論是關(guān)于引力幾何屬性的理論，在引力理論的度規(guī)形式下，刻畫(huà)引力時(shí)空的基本幾何量為度規(guī)張量 g ?μν ?，借助度規(guī)張量及其對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)又可定義與之相應(yīng)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)Γ ?ρ ?μν ?（非張量型量），在度規(guī)與聯(lián)絡(luò)的基礎(chǔ)上，就可定義時(shí)空幾何的Rieman曲率張量并借此構(gòu)造著名的Einstein-Hilbert拉氏量 L ??EH ?= -g （R-2 Λ）（這里 R 指代Ricci曲率標(biāo)量，而Λ為宇宙學(xué)常數(shù)）來(lái)描述廣義相對(duì)論.文獻(xiàn)［21］通過(guò)引入一個(gè)含任意仿射聯(lián)絡(luò) Γ ???ρ ?μν ?的額外全散度項(xiàng)，把通常的Einstein-Hilbert拉氏量表示成如下獨(dú)立聯(lián)絡(luò)形式：

L ??CIΛ ?= -g （R-2 Λ +

μY μ） ?（1）

上式中，邊界項(xiàng) Y μ 讀取為：

Y μ=2P ?μνρσ W ?ρνσ ??（2）

這里與Riemann曲率張量具有相同指標(biāo)對(duì)稱(chēng)性的四階張量 P ?μνρσ ?以及任意仿射聯(lián)絡(luò) Γ ???ρ ?μν ?與Levi-Civita聯(lián)絡(luò)Γ ?ρ ?μν ?的差值張量 W ρ ?μν ?依次定義為：

P ?μνρσ =g ?ρ［μ g ?ν］σ ?， W ρ ?μν = ?Γ ???ρ ?μν - Γ ?ρ ?μν ??（3）

若拉氏量 L ?CI Λ ??對(duì)度規(guī)張量 g ?μν ?與任意仿射聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?μν ?變分，由變分原理可以得到含宇宙學(xué)常數(shù)Λ的真空愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程.

R ?μν - 1 2 Rg ?μν + Λ g ?μν =0 ?（4）

很顯然，仿射聯(lián)絡(luò) Γ ???ρ ?μν ?對(duì)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)方程沒(méi)有貢獻(xiàn). 但是，根據(jù)諾特定理，它會(huì)對(duì)守恒流與勢(shì)帶來(lái)貢獻(xiàn)，文獻(xiàn)［22］已經(jīng)表明，這一特性能夠提供定義引力理論守恒量的又一有效途徑. 在Dirichlet邊界條件下，即在邊界上 δ ?Γ ???ρ ?μν ?與 δg ?μν ?二者同時(shí)消失，可以證明，邊界項(xiàng)的變分可以抵消著名的Gibbons-Hawking-York邊界項(xiàng) ?［23，24］ 的貢獻(xiàn). 不僅如此，聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?μν ?的引入使得拉氏量 L ??CIΛ 在任意仿射聯(lián)絡(luò)變換下僅會(huì)帶來(lái)一個(gè)全散度項(xiàng)，如此不會(huì)改變場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程. 并且，它還能保持整個(gè)理論的協(xié)變性. 特別地，當(dāng)聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?μν ?選取為與任意參考背景時(shí)空對(duì)應(yīng)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)時(shí)，拉氏量 L ??CIΛ 變成導(dǎo)出KBL超勢(shì)的拉氏量 ?［15-17］ .

考慮拉氏量 L ??CIΛ 的由任意光滑矢量場(chǎng) ζ μ 為生成元的微分同胚對(duì)稱(chēng)性，利用諾特定理，得到與該對(duì)稱(chēng)性相對(duì)應(yīng)的守恒流 J μ=

νK ?μν ?.諾特勢(shì)為 ?［22］

K ?μν =

［μ ζ ?ν］ +2ζ ?［μ P ?ν］λρσ W ?ρλσ ??（5）

值得指出的是， 對(duì)拉氏量 L ??CIΛ 進(jìn)行Weiss型變分， 亦可導(dǎo)出上述諾特勢(shì) ?［25］ ；相較于著名的Komar勢(shì) ?［26］ ，這里的勢(shì) K ?μν ?多出了一個(gè)與邊界項(xiàng)相關(guān)的項(xiàng)，如果忽略這樣的一個(gè)額外項(xiàng)，質(zhì)量與角動(dòng)量的Komar積分公式之間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)異常因子2 ?［15，27］ . 給定參考背景度規(guī) g ?（0）μν ?與仿射聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?，拉氏量 L ??CIΛ 與之對(duì)應(yīng)的參考背景拉氏量：

L ?（0） ???CIΛ ?=L ??CIΛ ?（ g →g ?（0） ， Γ ?→ ?Γ ????（0） ） ?（6）

同理，基于諾特定理，可以得到參考背景拉氏量 L ?（0） ???CIΛ ??的與矢量場(chǎng) ζ μ 對(duì)應(yīng)的守恒流 J μ ?（0） =

（0）ν K ?μν ??（0） ?，僅需要把（5）式中勢(shì) K ?μν ?的度規(guī)張量與聯(lián)絡(luò)替換成相應(yīng)的參考背景量就可得到這里的諾特勢(shì) K ?μν ??（0） ?，即

K ?μν ??（0） =

［μ ??（0） ζ ?ν］ +2ζ ?［μ P ?ν］λρσ ??（0） W ?（0）ρλσ ??（7）

本文約定，在（7）式中，算符

（0） ?是與背景度規(guī)張量 g ?（0）μν ?相對(duì)應(yīng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)算符，四階張量 P ?μνρσ ??（0） = g ?ρ［μ ??（0） g ?ν］σ ??（0） ??，而張量 W ρ ???（0）μν ??定義為：

W ρ ?（0）μν =W ρ ?μν （ Γ ?→ ?Γ ????（0） ， Γ → Γ ??（0） ）= ?Γ ???ρ ?（0）μν - Γ ?ρ ?（0）μν ??（8）

由拉氏量 L ??CIΛ 減去參考背景拉氏量 L ??（0） ??CIΛ 得到：

L ??^ ???CIΛ = L ??CIΛ - L ??（0） ??CIΛ ?（9）

又一次利用諾特定理，得到拉氏量 ?L ??^ ???CIΛ 的與矢量場(chǎng) ζ μ 生成的對(duì)稱(chēng)性相對(duì)應(yīng)的守恒流：

J ?^ ??μ=J μ- ?-g ?（0） ???-g ?J μ ?（0） =

ν K ?^ ???μν ??（10）

讓 ?-g K ?μν ?與 ?-g ?（0） ?K ?μν ??（0） ?二者做差得到上式中的諾特勢(shì) ?K ?^ ???μν ?，其取值 ?［22］ ：

K ?^ ???μν =K ?μν ???KBL ?-ζ ?［μ g ?ν］σ ?（Δ Γ ?） ?ρ ?ρσ +g ?ρσ ζ ?［μ ?（Δ Γ ?） ??ν］ ??ρσ -

ζ ?［μ ?（Δg） ??ν］σ W ρ ?（0）ρσ + （Δg） ??ρσ ζ ?［μ W ?ν］ ??（0）ρσ ??（11）

上式中，度規(guī)張量之間的差值 ?（Δg） ??μν ?以及聯(lián)絡(luò)之間的差值 ?（Δ Γ ?） ?ρ ?μν ?分別定義為：

（Δg） ??μν =g ?μν - ?-g ?（0） ???-g ?g ?μν ??（0） ?，

（Δ Γ ?） ?ρ ?μν = ?Γ ???ρ ?μν - ?Γ ???ρ ?（0）μν ??（12）

而愛(ài)因斯坦引力理論的KBL超勢(shì) K ?μν ???KBL 取值 ?［15-17］ ：

K ?μν ???KBL ?= 1 ?-g ?（ -g K ?μν ??Γ ?→ Γ ??（0） ?-

-g ?（0） ?K ?μν ??（0） ???Γ ????（0） → Γ ??（0） ?） ?（13）

由（11）式可以看到，當(dāng)任意聯(lián)絡(luò)，參考背景聯(lián)絡(luò)以及與參考背景度規(guī)對(duì)應(yīng)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)三者彼此完全相同時(shí)，即 ??Γ ???ρ ?μν = ?Γ ???ρ ?（0）μν = Γ ?ρ ?（0）μν ?時(shí)，勢(shì) ?K ?^ ???μν ?與經(jīng)典的KBL超勢(shì) K ?μν ???KBL ??完全一致，與此同時(shí)，拉氏量 ?L ??^ ???CIΛ 也回到了導(dǎo)出KBL超勢(shì)的拉氏量 ?［15-17］ .

L ??KBL ?= -g ［R-2 Λ +

μ ?Γ ?ρ ?ρμ - Γ ?ρ ?（0）ρμ ?-

g ?ρσ

μ ?Γ ?μ ?ρσ - Γ ?μ ?（0）ρσ ?］- -g ?（0） ??R 0-2 Λ ???（14）

這里， R 0=R（g→g ?（0） ） . 基于此，勢(shì) ?K ?^ ???μν ?可看作KBL超勢(shì) K ?μν ???KBL 的含任意仿射聯(lián)絡(luò)的推廣.文獻(xiàn)［22］中已經(jīng)證明，在Dirichlet邊界條件下，勢(shì) ?K ?^ ???μν ?的線性擾動(dòng) δ K ?^ ??μν ?與愛(ài)因斯坦引力的Iyer-Wald勢(shì) ?［12-14］ 完全一致. 此外，當(dāng)與任意聯(lián)絡(luò)及其參考背景聯(lián)絡(luò)相關(guān)部分的貢獻(xiàn)可以忽略時(shí)， δK ?^ ??μν ?與ADT勢(shì)也完全相同 ?［18-20］ . 注意到聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?μν ?與 ??Γ ???ρ ?（0）μν ?的任意性，簡(jiǎn)單起見(jiàn)且不失一般性，可令 ??Γ ???ρ ?μν ?= ???Γ ???ρ ?（0）μν ?，此時(shí)，勢(shì) ?K ?^ ???μν ?簡(jiǎn)化為：

K ?μν ??g KBL ?=K ?μν ???KBL ?-ζ ?［μ ??Δg ???ν］σ W ρ ?（0）ρσ +

Δg ???ρσ ζ ?［μ W ?ν］ ??（0）ρσ ??（15）

與之對(duì)應(yīng)的拉氏量為 ?L ??^ ???CIΛ ?Γ → Γ ???（0） ?， 分析KBL超勢(shì) K ?μν ???KBL 與勢(shì) K ?μν ??g KBL 二者的結(jié)構(gòu)可知， 前者中參考背景聯(lián)絡(luò)由Levi-Civita聯(lián)絡(luò)Γ ?ρ ?（0）μν ?唯一地確定，形式上相對(duì)簡(jiǎn)單，而后者中參考聯(lián)絡(luò) Γ ???ρ ?（0）μν ?是任意自由的，形式上更具一般性. 一旦對(duì) Γ ???ρ ?（0）μν ?進(jìn)行限制（一種簡(jiǎn)單操作就是直接令 W ρ ?（0）μν =0 ），使得與其相關(guān)的項(xiàng)乘以因子 ?-g ?對(duì) ?-g K ?μν ??g KBL 沒(méi)有貢獻(xiàn)，則勢(shì) K ?μν ??g KBL 與 K ?μν ???KBL 二者對(duì)守恒量的貢獻(xiàn)完全等價(jià). 由此可見(jiàn)，在保持愛(ài)因斯坦引力的拉氏量協(xié)變性這一基本前提條件下，作為KBL方法出發(fā)點(diǎn)的拉氏量中的參考聯(lián)絡(luò)并不是唯一的. 這一點(diǎn)將在下一節(jié)中通過(guò)具體計(jì)算Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量來(lái)進(jìn)一步闡釋.

在勢(shì) K ?μν ??g KBL 的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步定義愛(ài)因斯坦引力理論的守恒量. 一般地，若 D 維時(shí)空流形的（ D -1）維超曲面 Σ 具有封閉邊界 ?Σ ，基于勢(shì) K ?μν ??g KBL 的守恒量 Q 定義為：

Q= 1 8π ∫ ??Σ ★K ??g KBL ???（16）

上式中的算符★指代通常的霍奇星算子. 特別地，當(dāng)曲面 ?Σ 落在某一坐標(biāo) x=x 0 處，且參考背景度規(guī) g ?（0）μν =g ?μν | ?x=x 0 ?，此時(shí)，因 （ -g g ?μν ）| ?x=x 0 = -g ?（0） ?g ?（0）μν ?，則勢(shì) K ?μν ??g KBL 中含 ??Δg ???μν ?項(xiàng)對(duì)守恒荷的貢獻(xiàn)可以忽略，這樣，可以直接不予考慮這些項(xiàng)，如此也就回避了參考背景聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?的選取問(wèn)題. 此外，當(dāng)把（16）式用于定義時(shí)空的質(zhì)量與角動(dòng)量等時(shí)，由于 ??Γ ???ρ ?（0）μν ?的任意性，而勢(shì) K ?μν ??g KBL ?覆蓋通常的KBL超勢(shì)，遵循簡(jiǎn)單化原則，可以直接令參考背景聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?等于由參考背景度規(guī) g ?（0）μν ?定義的Levi-Civita聯(lián)絡(luò) ?Γ ?ρ ?（0）μν ?.

3 Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量

在本節(jié)中，基于上一節(jié)得到的守恒荷定義式（16），我們將在兩種不同參考背景聯(lián)絡(luò)之下具體計(jì)算四維Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量這兩個(gè)守恒量.

學(xué)者Carter在1968年找到了廣義相對(duì)論中帶宇宙學(xué)常數(shù)的轉(zhuǎn)動(dòng)不帶電Kerr-（A）dS黑洞解 ?［2］ ，該解可看作轉(zhuǎn)動(dòng)中性Kerr黑洞解 ?［1］ 的含宇宙學(xué)常數(shù)推廣. 在 ?x μ= t，r，θ，φ ??坐標(biāo)下，讓積分常量 m 與 a 分別指代與質(zhì)量和角動(dòng)量相關(guān)的參量，且常量 ?Ξ =1-l 2a 2 ?（在四維時(shí)空中，參量 l 與負(fù)宇宙學(xué)常數(shù)的關(guān)系為 l 2=- Λ/3），漸近AdS的Kerr-AdS黑洞的時(shí)空線元由Kerr-Schild形式表示為：

d s 2 ?KS = d s 2 ?（0） + 2mr Σ l ?μl ?ν d x ?μ d x ?ν ?（17）

其中四維AdS時(shí)空線元d s 2 ?（0） ?（其Riemann曲率張量 R ?μνρσ =-2l 2g ?ρ［μ g ?ν］σ ?）有如下形式 ?［5］ ：

d s 2 ?（0） =- Δ 2Δ θ ?Ξ ??d t 2+ ?Σ ?Δ 1Δ 2 ?d r 2+ ?Σ ?Δ θ ?d θ 2+ ??Δ 1 ?sin ??2θ ?Ξ ??d φ 2 ?（18）

而類(lèi)光矢量 l μ 表示成：

l μ= ?Δ ?θ ?Ξ ?， ?Σ ?Δ 1Δ 2 ， 0， - a ?sin ??2θ ?Ξ ????（19）

若計(jì)算矢量 l μ 與自身的內(nèi)積將發(fā)現(xiàn)其恒定滿(mǎn)足 g ?μν l μl ν=g ?μν ??（0） l μl ν=0 .在（17）（18）與（19）三式中，四個(gè)函數(shù) Δ 1 ， Δ 2 ， Δ θ 與 Σ 依次讀取為：

Δ 1=r 2+a 2， Δ 2=1+l 2r 2，

Δ θ= Ξ +a 2l 2 ?sin ??2θ， Σ=r 2+a 2 ?cos ??2θ ?（20）

可以驗(yàn)證，時(shí)空線元 ds 2 ?KS ?與 ds 2 ?（0） ?均是真空愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程（4）的精確解. 特別地，當(dāng) ?l=0 ，即宇宙學(xué)常數(shù)消失時(shí)，（17）式變成漸近平直Kerr黑洞的時(shí)空線元 ?［1］ .

基于Kerr-AdS黑洞的Kerr-Schild形式（17），我們計(jì)算它的質(zhì)量 M ，與之對(duì)應(yīng)的類(lèi)時(shí)Killing矢量場(chǎng)通常選取為 ξ μ ?（tl） = -1，0，0，0 ?. 參考背景的時(shí)空線元直接由AdS時(shí)空線元d s 2 ?（0） ?確定. 簡(jiǎn)單起見(jiàn)，直接令參考聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν = Γ ?ρ ?（0）μν ?.在這些條件下，計(jì)算勢(shì) K ?μν ??g KBL 的 ?t，r ?分量得到：

-g K ?tr ??g KBL ??ξ ?tl ?= 2m Ξ ?sin θ+3m 1- Ξ ???sin ??3θ ?Ξ ?2 + ??O ?1 r ???（21）

把上式代入公式（16）并在無(wú)窮遠(yuǎn)處 ?r=∞ ?對(duì)曲面 ??Σ ?積分，得到Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量：

M= m ?Ξ ?2 ??（22）

比較可知，這里的質(zhì)量 M 與文獻(xiàn)中通過(guò)其他經(jīng)典方法，包括協(xié)變相空間方法，KBL方法與ADT定義等得到的結(jié)果完全一致 ?［6， 28-32］ .此外，因?yàn)???-g ?（Δg） ??μν ｜ ?r=∞ ≠0 ?，我們還可以考慮其他更具一般性的能夠給出（22）式中有物理意義質(zhì)量的參考聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?，它的部分分量 ??Γ ???r ?（0）αβ ?αβ≠rr;α，β≠θ ?， ??Γ ???ω ?（0）ωt ?與 ??Γ ???ω ?（0）ωφ ?要求滿(mǎn)足以下條件：

Γ ???r ?（0）ρσ = Γ ?r ?（0）ρσ +O r ?p ?ρσ +3 ?， （ρ，σ=t，φ）

Γ ???r ?（0）μν = Γ ?r ?（0）μν +O r ?p ?μν +1 ?， （μν=tr，rt）

Γ ???r ?（0）γλ = Γ ?r ?（0）γλ +O r ?p ?γλ +1 ?， （γλ=rφ，φr）

Γ ???ω ?（0）ωσ = Γ ?ω ?（0）ωσ +O r ?p ?ωσ +1 ?， （ω=t，r，θ，φ;σ=t，φ） ??（23）

（23）式中任意常參量 p ?αβ <0（αβ=ρσ，μν，γλ，ωσ） . 若勢(shì) K ?μν ??gKBL ?中與參考聯(lián)絡(luò)相關(guān)部分記為 ?（ΔK） ??μν =-ζ ?［μ ??Δg ???ν］σ W ρ ?（0）ρσ + ?Δg ???ρσ ζ ?［μ W ?ν］ ??（0）ρσ ?，在條件（23）下，它的 （t，r） 分量取值：

-g ?（ΔK） ??tr ?ξ ?tl ?= ?- mr sin θ ?Ξ ??W ρ ?（0）ρr -W r ?（0）rr ?+O r p ??（24）

這里 p= max ?p ?αβ ??.鑒于（24）式，為了確保 ?（ΔK） ??μν ?對(duì)質(zhì)量沒(méi)有貢獻(xiàn)，還需要額外條件：

Γ ???t ?（0）tr + ?Γ ???θ ?（0）θr + ?Γ ???φ ?（0）φr = Γ ?t ?（0）tr + Γ ?θ ?（0）θr + Γ ?φ ?（0）φr +

O r ?q-1 ???（25）

（25）式中任意常參量 q<0 ，或者稍強(qiáng)一點(diǎn)的如下條件：

Γ ???t ?（0）tr = Γ ?t ?（0）tr + r ?q 1-1 ?， ??Γ ???θ ?（0）θr = Γ ?θ ?（0）θr +

r ?q 2-1 ?， ??Γ ???φ ?（0）φr = Γ ?φ ?（0）φr + r ?q 3-1 ????（26）

上式中，要求任意常參量 q 1，q 2，q 3≤q<0 .綜合可得，同時(shí)滿(mǎn)足條件（23）與（25）的參考背景聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?是恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樗軌虼_保 ?-g ?（ΔK） ??tr = ??O r p ?+O r q ?在類(lèi)空無(wú)窮遠(yuǎn)處消失，從而使得勢(shì) K ?μν ??gKBL ?的積分給出Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量 M . 并且，等于Levi-Civita聯(lián)絡(luò) ?Γ ?ρ ?（0）μν ?的參考背景聯(lián)絡(luò)是受條件（23）與（25）二者約束的參考背景聯(lián)絡(luò)的一種特殊情形 ?p，q→-∞ ?.

計(jì)算Kerr-AdS黑洞的角動(dòng)量時(shí)，與此對(duì)應(yīng)的類(lèi)空Killing矢量場(chǎng)通常選取為 ξ μ ?（φ） = 0，0，0，1 ?. 由于該矢量的 （t，r） 分量均為零，因此，勢(shì) K ?μν ??g KBL 中與聯(lián)絡(luò)差值相關(guān)的所有項(xiàng)均對(duì)角動(dòng)量不做貢獻(xiàn)，此時(shí)，勢(shì) K ?μν ??g KBL 完全可由減去參考背景時(shí)空貢獻(xiàn)的Komar勢(shì)：

J ?μν =

［μ ξ ?ν］ ??（φ） - ?-g ?（0） ???-g

［μ ??（0） ξ ?ν］ ??（φ） ??（27）

替代.基于時(shí)空線元（17）計(jì)算 ?-g J ?μν ?得到

-g J ?tr =2 ?Δ 2 1 ?Σ ?2 + Δ 1 2 Σ ?- a 2 ?Σ ?- a 2Δ 1 ?Σ ?2 ?J ?sin ??3θ ?（28）

（28）式中的常量：

J= ma ?Ξ ?2 ??（29）

便是把 ?-g J ?tr ?代入守恒荷定義式（16）積分得到的Kerr-AdS黑洞的角動(dòng)量. 它正好是Komar積分給出的角動(dòng)量 ?［26］ ，也與其它方法得到的結(jié)果完全吻合 ?［6， 28-32］ .

當(dāng)然，除了上述考慮的Kerr-Schild坐標(biāo)系統(tǒng)，也可以考慮在其它坐標(biāo)系統(tǒng)下，比如Boyer-Lindquist坐標(biāo)下計(jì)算Kerr-AdS黑洞的質(zhì)量和角動(dòng)量. 如果對(duì)Kerr-Schild形式的時(shí)空線元（17）的 t 與 φ 坐標(biāo)執(zhí)行如下坐標(biāo)變換：

d t→ d t+ 2mr Δ 2（Δ 1Δ 2-2mr） ?d r，

d φ→ d φ+ 2mar Δ 1（Δ 1Δ 2-2mr） ?d r ?（30）

就可得到Kerr-AdS黑洞的Boyer-Lindquist坐標(biāo)下的時(shí)空線元. 由于守恒荷定義式（16）是協(xié)變的，因此，只需要利用上述坐標(biāo)變換關(guān)系，再來(lái)利用張量之間相應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系就能導(dǎo)出（22）與（29）兩式給出的結(jié)果. 此外，若把守恒荷定義式（16）應(yīng)用于五維最小超引力中轉(zhuǎn)動(dòng)帶電漸近AdS黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量的計(jì)算，亦可得到文獻(xiàn)［33］ 給出的有物理意義的結(jié)果.

4 結(jié)果與討論

在廣義相對(duì)論的聯(lián)絡(luò)不依賴(lài)?yán)狭浚?）的基礎(chǔ)上，由諾特定理推導(dǎo)出了（15）式中的與時(shí)空微分同胚對(duì)稱(chēng)性一一對(duì)應(yīng)的勢(shì) K ?μν ??g KBL ，它可以看作是通常的KBL超勢(shì)含任意參考背景聯(lián)絡(luò) ??Γ ???ρ ?（0）μν ?的推廣.基于勢(shì) K ?μν ??g KBL 進(jìn)一步得到了守恒荷定義式（16）.為了檢驗(yàn)該定義的有效性，我們分別在 ??Γ ???ρ ?（0）μν ?等于定義在參考背景度規(guī)之上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò) ?Γ ?ρ ?（0）μν ?以及更具一般性的受條件（23）與（25）限制的 ??Γ ???ρ ?（0）μν ?兩種不同參考背景聯(lián)絡(luò)下詳細(xì)計(jì)算了Kerr-AdS的質(zhì)量與角動(dòng)量，得到了由其他標(biāo)準(zhǔn)方法給出的一致性結(jié)果. 相關(guān)結(jié)果表明，在保持整個(gè)理論體系的協(xié)變性要求下，KBL方法中的參考背景聯(lián)絡(luò)并不是唯一的，但是，當(dāng)參考背景聯(lián)絡(luò)回到基于參考背景度規(guī)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)時(shí)，勢(shì)也相應(yīng)地變成通常的KBL超勢(shì)，它的表達(dá)式在形式上最為簡(jiǎn)單.

盡管本文僅探討了中性轉(zhuǎn)動(dòng)且漸近AdS的Kerr-AdS黑洞，對(duì)于它的帶電對(duì)應(yīng)體，即Kerr-Newman-AdS黑洞 ?［3， 4］ ，計(jì)算表明，守恒荷定義（16）式同樣能夠給出該黑洞的有物理意義的質(zhì)量和角動(dòng)量. 其次，對(duì)于四維Kerr-AdS黑洞的任意高維推廣 ?［5］ ，當(dāng)參考背景聯(lián)絡(luò)選定為由參考背景度規(guī)定義的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)時(shí)，如文獻(xiàn)［28］所示，（16）式同樣適用于這些黑洞的質(zhì)量與角動(dòng)量定義，而如何找出類(lèi)似于受條件（23）與（25）限制的參考背景聯(lián)絡(luò)，需要進(jìn)一步的探討. 再次，在KBL方法、ADT定義以及本文采納的方法中，守恒量的計(jì)算均需要預(yù)先選定好恰當(dāng)?shù)膮⒖急尘岸纫?guī)，受著名的協(xié)變相空間方法啟示，是否能夠利用時(shí)空度規(guī)張量中包含的自由常參量生成的解空間而在計(jì)算過(guò)程中回避這一環(huán)節(jié)，非常值得在未來(lái)的工作中進(jìn)行探究. 最后，四維Kerr-AdS黑洞也可以是由Einstein-Hilbert 拉氏量耦合高階曲率項(xiàng)而得到的修正引力理論的解.相應(yīng)地，需要考慮高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)其守恒量帶來(lái)的可能修正.自然地，如何把本文的方法推廣到當(dāng)前倍受關(guān)注的含高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的修正引力理論，也是一個(gè)非常值得深入探討的問(wèn)題.

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收稿日期： ?2023-05-17

基金項(xiàng)目： ?國(guó)家自然科學(xué)基金（11865006）； 貴州省自然科學(xué)基金（［2018］5769）

作者簡(jiǎn)介： ??王耀（1997-）， 男， 貴州遵義人， 碩士研究生， 主要從事相對(duì)論天體物理的研究.

通訊作者： ?彭俊金. E-mail： jjpeng@gznu.edu.cn